把握知識關聯 實現整體建構
——《平行四邊形的面積計算》教學設計與說明

劉 霞

【教學內容】

人教版五年級上冊第87～89頁。

【教學過程】

一、情境導入，引發猜想

師：王大叔用4 根圍欄圍了一個長方形花圃（如圖①）。已知這個長方形的長是6 米，寬是4米，你能提出哪些數學問題？

生1：這個花圃的周長是多少米？

生2：它的面積是多少平方米？

師：是的，研究平面圖形我們一般既要研究它的周長，也要研究它的面積。它的周長是多少？

生：（6＋4）×2＝20（米），它的周長是20 米。

師：面積呢？

生:6×4＝24（平方米），面積是24 平方米。

師：后來因為修路，王大叔把這個花圃的形狀改變了一下（課件演示把長方形拉成一個平行四邊形，如下圖②）。變成了什么？

圖①

圖②

圖③

圖④

生：（齊）平行四邊形。

師：從剛才的變化中，你有什么發現嗎？

生1：它的周長沒變，是20米。因為平行四邊形的四條邊就是長方形的四條邊。

生2：它的面積好像變小了。

師：是嗎？我們不妨再變一變。（將圖②繼續拉成圖③）你有什么發現嗎？

生：它的周長沒有變，都是20 米。但是，這時的面積變得更小了。

（教師繼續操作，將圖③變成圖④，進一步增強學生對“周長不變，面積變小”的直覺感受）

師：連貫起來看，后面三個平行四邊形的面積變得越來越小了。那每個平行四邊形的面積到底是多少？平行四邊形的面積計算到底與什么有關？這就是我們今天要研究的問題。

【說明：課堂教學的素材要簡約、經濟、精煉。課始創設了4 根圍欄圍長方形花圃的生活情境，在復習周長和面積等知識基礎上，通過三次情境變化——將長方形不斷拉“矮”，從而形成認知沖突，產生進一步探究的需要?！?/p>

二、實踐操作，歸納推理

1.動手操作，初步感知轉化。

師：為了便于研究，我給大家提供了一份方格圖，每個方格的邊長是1 米。你能通過數一數、畫一畫或者剪一剪的方法得出圖②的面積嗎？

（學生動手操作、探究，小組討論、交流）

生：我是先數出圖形中不滿一格的一共是10 個，10÷2=5（格），正好能拼成5 格，然后用13＋5=18（格），面積就是18 平方米。

師：不滿一格算半格，是我們計算不規則圖形的面積的一種很好的方法。

生：我是將這些不完整的方格拼成了完整的方格。然后數一數，一共有18 格，每格1 平方米，一共是18 平方米。（如圖⑤）

圖⑤

圖⑥

生：我是沿這條線將平行四邊形剪出了一個直角三角形，然后將它向左平移，拼成一個長方形。這個長方形的長是6 米，寬是3 米。然后用6×3，就得出它的面積是18 平方米。（如圖⑥）

師：同學們，我們一起來觀察一下，同樣是割補的方法，有什么不同之處，哪種方法更簡便？

生：第一個同學是一個一個割補的，而第二個同學是整體割補的，所以第二種方法更簡便。

生：我的方法是沿這條線將平行四邊形分成了兩個直角梯形；然后把左邊的梯形向右平移，也拼成了一個長方形。長是6 米，寬是3 米，面積是18 平方米。（如圖⑦）

圖⑦

師：仔細觀察這兩種方法，他們都是沿著平行四邊形的什么剪的？

生：高。

師：如果不沿著高剪可以嗎？為什么？

生：不行，因為只有沿著高剪開，才能將它拼成一個長方形，根據長方形的面積我們才能得到平行四邊形的面積。

師：是啊，沿著高剪開就可以把平行四邊形轉化成一個面積相等的長方形，化未知為——（已知），化陌生為——（熟悉），從而解決了問題。轉化是一種很重要的數學思想。

【說明：為學生提供帶有方格的平行四邊形，放手讓他們根據自己的實際經驗選擇不同的方法，并把自己思考的過程展現在《作業紙》上，符合學生的實際水平，也能讓所有學生都參與其中。然后根據學生幾何思維的發展水平逐次呈現典型作品，學生在分享、 對比中經歷了從單位面積的轉化到整體割補轉化的過程，并在多樣化中尋找到統一性（沿著“高”切拼）這一核心和關鍵?！?/p>

2.深入感知，歸納推導公式。

師：現在你能用轉化的方法求出圖③這個平行四邊形的面積嗎？

（學生操作、展示、交流）

師：看來啊，不管是什么樣的平行四邊形，只要沿著它的高剪開，都能轉化成一個長方形。求平行四邊形的面積，就變成了求什么呢？

生：（齊）長方形的面積。

師：每個平行四邊形的背后都隱藏著一個與它面積相等的長方形。長方形的面積＝長×寬，那平行四邊形的面積等于什么呢？

生：平行四邊形的面積＝底×高。

師：為什么？

生：因為長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高，長方形的面積＝長×寬，所以平行四邊形的面積＝底×高。

師：聽明白他的意思了嗎？把你們的推導過程在小組里再說一說。

（學生交流）

師：誰再來說一說？

根據學生的回答形成板書：

師：現在能看出平行四邊形的面積計算到底與什么有關嗎？

生：平行四邊形的底和高。

師：如果用S 表示平行四邊形的面積，用a 和h 分別表示它的底和高，平行四邊形的面積公式用字母就以表示成什么？

生：（齊）S＝a×h。

師：誰能直接計算出圖④這個平行四邊形的面積？

生：6×1＝6（平方米）。

師：你能解釋一下，為什么可以這樣計算嗎？

生：把平行四邊形沿著這條高剪開，就能拼成一個長方形，這個長方形的長是6 米，也就是原來平行四邊形的底，寬是1 米，也就是原來平行四邊形的高，所以用6×1 就能算出它的面積了。

師：看來每一個平行四邊形的背后都隱藏著一個面積相等的長方形。

【說明：教師通過后兩個平行四邊形的面積計算，由淺入深地幫助學生深化對平行四邊形面積計算的理解，引導學生發現“其實每一個平行四邊形的背后都隱藏著一個長方形”，影響平行四邊形面積的是底和高這兩個條件。】

三、鞏固練習，深化理解

1.基礎性練習。

師：你能找出下面平行四邊形背后隱藏的長方形，并計算出它的面積嗎？

分別出示：

（學生練習，匯報）

師：（指第二個平行四邊形）它的面積是多少？

生1：我沿著這條高（12 厘米）剪開，把它轉化成了一個長20 厘米、寬12 厘米的長方形，所以它的面積是12×20＝240（平方厘米）。

生2：我沿著這條高（16 厘米）剪開，把它轉化成了一個長是15 厘米、寬是16 厘米的長方形，面積是15×16=240（平方厘米）。

師：你們聽明白了嗎？為什么會出現兩種思路呢？

生：平行四邊形有兩組對邊，每組對邊都有各自的高。

師：把平行四邊形沿著不同的高剪開，就可以轉化成形狀不同的長方形。原來，每個平行四邊形后面隱藏著什么？

生：兩個不一樣的長方形。

師：（指第三個圖形）這是平行四邊形嗎？

生：是的，它是特殊的平行四邊形。

師：平行四邊形的底是多少？高是多少？

生：它的底就是長方形的長，7 分米；高就是長方形的寬，4 分米。

師：那面積就是多少？

生：7×4=28（平方分米）。

師：同學們，長方形是一種特殊的平行四邊形，其實，我們以前學習的長方形的面積等于長乘寬，就是平行四邊形面積計算的一種特殊應用。而這種特殊應用又幫助我們今天推導出了平行四邊形的面積計算。真是“數學很奇妙，關系最重要”！

【說明：課堂練習是學生深層次理解知識、 完成知識建構的過程。本環節遵循“從一般到特殊”精心設計了三道題目，前兩道題著重基礎，尤其是第二題通過兩種不同的計算方法，強調平行四邊形的底和高的對應關系。第三題立足于“長方形就是特殊的平行四邊形”，感知兩者間的聯系。將長方形的面積計算納入平行四邊形的面積計算，既突出了本節課的學習重點，又幫助學生實現了知識的整體建構，彰顯了數學的簡潔和邏輯?！?/p>

2.例題回顧。

師：現在你能解釋為什么王大伯圍花圃時，周長不變，面積卻為什么越來越小了嗎？

生：因為它的高越來越矮了。

師：誰能說得具體一些？

生：原來它的高是4 米，后來變成了3 米、2 米、1 米，而它的底沒有變，所以它的面積變小了。

師：（指著最后一個平行四邊形）如果把它再往下拉，它的面積會怎么樣？

生：越來越小，最后變成了一條線段。

師：那如果把它拉高呢？

生：面積就會越來越大。

師：什么時候面積最大呢？

生：當它被拉成一個長方形時，它的面積最大。

生：當它的高變成長方形的寬時，它的面積最大。

師：也就是當它的高越來越大，越來越大，最后與這條邊線重合時，它就變成了長方形，這時它的面積就最大了。瞧，圖形的變化讓我們又有了新的發現。

【說明：例題的回顧是對學習內容的總結和再認識。學生通過對比、反思，深切地感悟到平行四邊形的“高”在面積計算中的特殊意義，從而幫助他們打破長方形、正方形面積計算時建立起來的根據圖形的邊線長度計算面積的思維定勢?！?/p>

3.變式練習。

師：這兒還有一個長方形，睜大眼睛看一看，它有了什么變化呢？

（將長方形變成等底等高的平行四邊形）

生：我覺得它的形狀變了，但它們的面積沒有變。

師：為什么呢？

生：因為平行四邊形的高就是長方形的寬，它的底就是長方形的長，所以它的面積沒有變。

4.再次對比。

師：（出示例題圖和剛才的練習圖）對比一下這兩組圖形的周長和面積的變化，你有什么新的發現嗎？

生：我發現第一組圖形的周長不變，面積變了。而第二組圖形的面積不變，周長變了。

生：第一組圖形周長不變，是因為圖形的四條邊長度沒變，但是面積變了，是因為底雖然相等，但是高變得越來越小，面積也就越來越小。而第二組圖形正好反過來了，底和高都沒變，面積就不變，但是因為四條邊的長度在變，周長自然就跟著變化了。

師：你總結得真好！看來，圖形的變化中真的大有玄妙。

【說明：圖形的等積變形和長方形框架的拉升是教材中分開編排的。本節課將它們融合在一起，雖然變化得到的都是平行四邊形，但是不同的變化形式，所得到的結果卻大相徑庭，引導學生發現“變化之中有玄妙”，既強化了新知學習，又突出了面積和周長計算的本質要素，達到了整體建構的目的?！?/p>

四、全課總結，拓展延伸（略）