在合理推想與完整建構(gòu)中提升課堂品質(zhì)
——以《小數(shù)的意義》教學(xué)為例

朱秋虹

【課前思考】

本課教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生充分體驗(yàn)小數(shù)的產(chǎn)生過程，在形象操作與合理推想中推進(jìn)教學(xué)。同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)”概念抽象的一般過程，獲得有效的方法體驗(yàn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)。

在具體教學(xué)過程中，應(yīng)立足“教會(huì)學(xué)生想”，從一位小數(shù)的意義起，讓學(xué)生完整表達(dá)自己的想法，到兩位小數(shù)的意義，讓學(xué)生能將“想的方法”進(jìn)行結(jié)構(gòu)遷移，再自主推想到三位小數(shù)的意義。讓學(xué)生在自己的思考與表達(dá)中，學(xué)會(huì)歸納、概括，自主建構(gòu)新知。

首先，結(jié)合米尺的產(chǎn)生過程感知小數(shù)產(chǎn)生的需要及小數(shù)的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的過程，從而理解小數(shù)的意義。其次，抓住從“具體的量”的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向?qū)Α俺橄蟮臄?shù)”的意義的理解，從學(xué)生熟悉的有單位的長度、價(jià)格、質(zhì)量，到無單位的圖形中的小數(shù)及數(shù)軸上的小數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的概念抽象的一般過程。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)一位小數(shù)，初步感知一位小數(shù)的意義

1.引入。

出示：1 米長的紙條，用紙條去測量練習(xí)冊的長。

提問：練習(xí)冊的長有1 米嗎？估計(jì)一下，大約是幾米？（0.3 米）0.3 是一個(gè)小數(shù)，這樣的小數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？能結(jié)合1 米長的紙條來說一說嗎？

提供幫助，出示被平均分成10 份的紙條米尺：

小結(jié)：把1 米平均分成10份，其中的3 份，就是0.3 米。因?yàn)? 米=10 分米，所以3 分米是1 米的，3 分米=米=0.3 米。

2.練一練。

提問：1 分米和6 分米的點(diǎn)，說說用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示分別是多少？

3.讀一讀，數(shù)一數(shù)。

引導(dǎo)：上面的每一個(gè)點(diǎn)都可以用分?jǐn)?shù)或小數(shù)來表示嗎？自由地讀一讀這些分?jǐn)?shù)和小數(shù)。

提問：結(jié)合紙條米尺想一想：1 米里有（）個(gè)0.1 米？

4.說一說。

提問：這些小數(shù)是怎么來的？

小結(jié)：因?yàn)榘? 米平均分成10 份，才得到分母是10 的分?jǐn)?shù)，可以寫成這樣的小數(shù)。

（板書：1 米 平均分10 份）

【設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合紙條米尺進(jìn)行數(shù)數(shù)，初步抽象，感知數(shù)軸上的點(diǎn)。在數(shù)的過程中感受小數(shù)的序列，感知1 米里有10 個(gè)0.1 米。】

二、認(rèn)識(shí)兩位小數(shù)，理解兩位小數(shù)的意義

提問：用紙條米尺測量練習(xí)冊的寬，你發(fā)現(xiàn)了什么？0.2 米多一些，又不到0.3 米，到底多長，怎么解決這個(gè)問題？

更新紙條米尺：把0.1 米再平均分成10 份，也就是把1 米平均分成100 份，每份是1 厘米。

1.小組研究。

出示要求：看著米尺想一想，1 厘米等于幾分之幾米？用小數(shù)表示是多少？說說你們是怎么想的？

2.遷移練習(xí)。

（1）跟同桌說說練習(xí)冊的寬。

提問：練習(xí)冊寬幾厘米？是1米的幾分之幾？是幾分之幾米？寫成小數(shù)是多少？

要求學(xué)生能完整表述：如1米=100 厘米，21 厘米是1 米的，21 厘米=米，可以寫成0.21 米。

（2）自主練習(xí)：米尺上找一個(gè)點(diǎn)，先說說是幾厘米，再讓同桌用剛才的方法說一說，寫成分?jǐn)?shù)是多少，小數(shù)是多少。

3.對比歸納。

師：觀察現(xiàn)在的這些分?jǐn)?shù)和小數(shù)，跟剛才說的有什么不一樣？

（分母是100 的分?jǐn)?shù)，小數(shù)點(diǎn)后面有兩位）

（介紹兩位小數(shù)和一位小數(shù)）

4.數(shù)一數(shù)。

提問：看著米尺，你能從0.01米數(shù)到0.10 米嗎？發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)：0.10 米里有10 個(gè)0.01米，1 米里有100 個(gè)0.01 米。

推想：這些兩位小數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？

（將1 分米再均分10 份，1米均分成100 份）

小結(jié)：把1 米平均分成100份，得到了許多分母是100 的分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)可以寫成兩位小數(shù)。

引導(dǎo)：剛才我們認(rèn)識(shí)了一位小數(shù)、兩位小數(shù)，這時(shí)你想到了還會(huì)有……

（學(xué)生舉例三位小數(shù)，如0.001米，0.039 米）

【設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合紙條米尺制作過程，經(jīng)歷兩位小數(shù)產(chǎn)生的過程，感受兩位小數(shù)產(chǎn)生的需要。從一位小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系去感知兩位小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，理解其意義。】

三、合理推想，遷移認(rèn)識(shí)三位小數(shù)的意義

1.同桌觀察米尺進(jìn)行討論。

提問：在米尺上找到你說的這個(gè)三位小數(shù)，跟同桌說一說，你是怎么想到的？

練習(xí)：140 毫米，用米作單位是多少呢？

2.推想。

提問：你還會(huì)像剛才那樣來數(shù)一數(shù)這些三位小數(shù)嗎？推想一下1 米里有幾個(gè)0.001 米？

4.回顧小結(jié)。

提問：對比你們的米尺和黑板上的1 米紙條，說一說這1000份是怎么分出來的？

（將1 厘米再均分10 份，1米均分成1000 份）

師：如果繼續(xù)推想，你想到了什么？

【設(shè)計(jì)意圖：在前兩次的教學(xué)基礎(chǔ)上，學(xué)生自然而然地推想到三位小數(shù)的意義，從制作紙條米尺轉(zhuǎn)向結(jié)合實(shí)際的米尺去推想制作過程，感受將1 厘米再平均分成10 份，每份是1 毫米，也就是將1 米平均分成1000 份，得到了千分之幾可以寫成三位小數(shù)。】

四、拓展對比，建立小數(shù)的內(nèi)在含義

過渡：米尺上的幾分米、幾厘米、幾毫米用米作單位時(shí)都可以用小數(shù)來表示，那么3 角、2 角9分、49 千克，換一個(gè)單位是不是也可以用小數(shù)來表示呢？

1.拓展到其他的數(shù)量。

交流：填的時(shí)候你是怎么想的？2 角9 分和0.29 元這兩種表示方法，你喜歡寫哪一個(gè)？

小結(jié)：把1 元平均分成100份，每份就是1 分，所以幾分也就是1 元的百分之幾，寫成兩位小數(shù)。把1 噸平均分成1000 份，每份是1 千克，有幾千克，也就是1噸的千分之幾，寫成三位小數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)用小數(shù)來表達(dá)更為簡潔。

2.抽象到將“1”平均分。

引導(dǎo)：將1 米、1 元、1 噸進(jìn)行平均分，可以得到許多小數(shù)，那如果是“1”呢？用正方形或正方體表示整數(shù)“1”，涂色部分可以用小數(shù)表示出來嗎？

3.歸納小數(shù)的意義。

提問：小數(shù)是怎么來的？它與什么有關(guān)？一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)分別表示什么意義？

小結(jié)：知道小數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，就知道了小數(shù)的意義。十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以寫成一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)……

【設(shè)計(jì)意圖：這既是豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)素材，更是一種學(xué)習(xí)情境的變化和學(xué)習(xí)能力的遷移。從長度單位轉(zhuǎn)向其他的單位，從具體的量到正方形，逐步抽象，從而形成對“抽象的數(shù)”的意義的理解。】

五、全課小結(jié)，鞏固提升

1.數(shù)軸上的小數(shù)。

（1）數(shù)軸上標(biāo)上0、1，讓學(xué)生找出0.8 和0.08。

提問：上面有小數(shù)嗎？0.8 大約在哪里？怎么確定他指的是否正確呢？

（根據(jù)學(xué)生回答，把1 平均分成10 份，0.8 就是十分之八）

提問：0.08 大約在哪里？為什么？在0 和1 之間你可以找到幾個(gè)小數(shù)？

（2）數(shù)軸上標(biāo)出2，引出比1大的小數(shù)。

提問：這個(gè)點(diǎn)大約是多少？它跟我們剛才說的小數(shù)有什么不同呢？

小結(jié)：除了整數(shù)部分是0 的小數(shù)，還有許多小數(shù)的整數(shù)部分是1、2、3……比1 大的數(shù)。

2.生活中的小數(shù)。

（1）手機(jī)長（）。A.0.9 米 B.0.09 米 C.0.009 米

（2）生活中的1.555 升是多少？

（3）一粒藥片0.15 克，表示什么意思？

【設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合數(shù)軸上的數(shù)及生活中的小數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行估計(jì)與分析，發(fā)展數(shù)感，同時(shí)也再次考量學(xué)生對一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)意義的理解。由此，將小數(shù)的認(rèn)識(shí)納入學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也延伸到后續(xù)的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)中。】

【教后反思】

小數(shù)是學(xué)生生活中接觸比較多的一類數(shù)，理解和掌握小數(shù)的意義有助于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析與解決生活中的現(xiàn)象和問題。

1.把握知識(shí)本源，鋪陳教學(xué)內(nèi)容。

小數(shù)的本質(zhì)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的一種表現(xiàn)形式，它的產(chǎn)生基于生活實(shí)際的需要——當(dāng)整數(shù)無法幫助人們順利完成生活中的計(jì)量時(shí)，小數(shù)就產(chǎn)生了。正是由于小數(shù)就是十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)，它和整數(shù)計(jì)數(shù)系統(tǒng)是統(tǒng)一的。因此，在教學(xué)中既關(guān)注小數(shù)與分?jǐn)?shù)的內(nèi)在聯(lián)系，又引導(dǎo)學(xué)生感受小數(shù)與整數(shù)一樣蘊(yùn)含“十進(jìn)”“十分”關(guān)系。安排了測量情境，在情境中讓學(xué)生體驗(yàn)小數(shù)產(chǎn)生的需要。這樣的安排有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決問題。

小數(shù)在形式上就是分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)改寫而來。這種小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間形式上的聯(lián)系，既體現(xiàn)了小數(shù)的本質(zhì)意義，又給學(xué)生提供感知的抓手，教材內(nèi)容的編排也充分運(yùn)用了這一聯(lián)系。教學(xué)中緊密結(jié)合小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間形式上的聯(lián)系組織教學(xué)內(nèi)容，逐步將學(xué)生對小數(shù)意義的理解引向深入。

2.啟迪學(xué)生合理推想，展開教學(xué)過程。

教材安排學(xué)生在兩次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)后逐步認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，其目的就是合理降低學(xué)生體驗(yàn)小數(shù)意義的難度。分?jǐn)?shù)是“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)中形象與抽象的飛躍，學(xué)生對于分母是10、100、1000……這樣的分?jǐn)?shù)很難用形象的操作去體驗(yàn)，計(jì)量與計(jì)量單位換算的引入有效克服了這一挑戰(zhàn)，讓學(xué)生在單位進(jìn)率的基礎(chǔ)上有了推想的依據(jù)。這種半形象半抽象的操作與推想符合中高年級學(xué)生的思維能力，是學(xué)生“跳一跳”可以實(shí)現(xiàn)的。因此在教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷了米尺上分米、厘米、毫米的構(gòu)造過程，幫助學(xué)生理解操作中三次平均分的內(nèi)涵，從而為相應(yīng)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生打下推想的基礎(chǔ)。

有了分?jǐn)?shù)的鋪墊，學(xué)生對于相關(guān)小數(shù)演變的推想就成為了必然。此時(shí)結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)安排比較小數(shù)形式的發(fā)展，讓學(xué)生在一般邏輯的指引下從一位小數(shù)推想到了兩位小數(shù)、三位小數(shù)、四位小數(shù)……這樣的教學(xué)活動(dòng)組織有利于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，在活動(dòng)中不斷收獲成功的體驗(yàn)，逐步完成對小數(shù)的意義的整體感知。這樣的感知不僅提升了學(xué)生的數(shù)感，還培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理的能力。

3.經(jīng)歷概念抽象過程，形成知識(shí)的自我建構(gòu)。

小數(shù)的概念最終是抽象的結(jié)果，學(xué)生只有在多層次的體驗(yàn)基礎(chǔ)上，逐漸脫離感知中所依賴的現(xiàn)實(shí)對象才能完成抽象概括。在教學(xué)中，首先讓學(xué)生在長度計(jì)量和單位換算中初步體驗(yàn)小數(shù)的產(chǎn)生過程；接著組織學(xué)生在人民幣單位、質(zhì)量單位等換算中進(jìn)一步體驗(yàn)小數(shù)與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系；而后啟發(fā)學(xué)生將圖形看成整數(shù)“1”進(jìn)行平均分得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體的量”的認(rèn)識(shí)到“抽象的數(shù)”的意義的過程，逐漸擺脫對計(jì)量單位以及進(jìn)率的認(rèn)知依賴；最后引導(dǎo)學(xué)生對小數(shù)的意義進(jìn)行抽象的概括。這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

為了幫助學(xué)生順利完成最終的抽象概括，用“這樣的小數(shù)是怎樣產(chǎn)生的”這一大問題引導(dǎo)學(xué)生在每一個(gè)學(xué)習(xí)階段進(jìn)行有意義、有目的的反思，最后用“知道小數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，就知道了小數(shù)的意義”這樣的總結(jié)性提示，幫助學(xué)生在第一時(shí)間將知識(shí)抽象整合，實(shí)現(xiàn)對小數(shù)意義的完整建構(gòu)。