追根溯源，推動(dòng)教與學(xué)的改進(jìn)和發(fā)展
——對(duì)一道『超綱』題的分析與反思

管小冬

數(shù)學(xué)期末考試剛結(jié)束，五年級(jí)數(shù)學(xué)組組長(zhǎng)就向我反映，教師們認(rèn)為試卷“解決問題”部分有一道題超綱了（題目如下），學(xué)校在組織閱卷時(shí)能否“手下留情”。

學(xué)校組織五年級(jí)部分同學(xué)到社區(qū)參加“迎端午”活動(dòng)。分組情況如下：每組3 人，最后一組少2 人；每組4 人，最后一組少3 人；每組5 人，最后一組只有1 人。參加活動(dòng)的最少有多少名同學(xué)？

教師們認(rèn)為“超綱”，是因?yàn)檫@道題涉及“三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)”和“同余”兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而課標(biāo)、教材對(duì)此均未作要求。

考慮到評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)需校際一致，所以最終閱卷時(shí)并未對(duì)這道題“手下留情”。但閱卷結(jié)束后，我第一時(shí)間就查閱了這道題的答題情況：全年級(jí)922 名學(xué)生，正確率73.3%，不高，但整體情況比教師們的預(yù)估要好。這一點(diǎn)其實(shí)也不難理解，這樣的“超綱”題，在平時(shí)練習(xí)中也出現(xiàn)過，甚至還不止一次。只是，在翻閱試卷的過程中，學(xué)生們的解答過程引發(fā)了我對(duì)這道題及相關(guān)教學(xué)進(jìn)一步的分析與反思。

一、為什么會(huì)這樣？

翻閱中我發(fā)現(xiàn)，近乎所有學(xué)生，無(wú)論解答正確還是錯(cuò)誤，過程都非常“簡(jiǎn)潔”且“一致”。以下是我摘錄的學(xué)生的典型解答過程，其中圖一為正確解答，圖二為錯(cuò)誤解答。

圖一

圖二

顯然，學(xué)生們?cè)陂喿x、分析后，都是先求出3、4、5 這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)——60，然后再根據(jù)自己的理解做進(jìn)一步的處理。錯(cuò)誤大多出在對(duì)問題中“三數(shù)同余”的正確分析與理解上。但922 名學(xué)生中，僅3 名學(xué)生在解題時(shí)使用了列舉的方法，且都出現(xiàn)了錯(cuò)誤。這有些出乎我的意料。

我們知道，在“公因數(shù)和公倍數(shù)”這部分內(nèi)容的教學(xué)中，幾個(gè)版本的教材都是引導(dǎo)學(xué)生通過列舉找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)或公倍數(shù)，借此進(jìn)一步理解公因數(shù)和最大公因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的含義。那么，是什么原因?qū)е聦W(xué)生在解題時(shí)鮮用列舉法呢？那些解答過程特別“簡(jiǎn)潔”的學(xué)生，是在草稿本上列舉了？還是有別的原因呢？

為此，我在學(xué)校執(zhí)教過五年級(jí)的教師中進(jìn)行了一次問卷調(diào)查。問題如下：

問題一：在公因數(shù)、公倍數(shù)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，你重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生使用的是什么方法？

問題二：你教過學(xué)生如何求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)嗎？重點(diǎn)指導(dǎo)的是什么方法？

共37 位教師參加了問卷調(diào)查。問題一中，37 位教師均提到了列舉法與短除法，但33 位教師重在使用短除法，僅4 位教師重在使用列舉法；問題二中，37 位教師均教學(xué)過如何用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，其中10 位教師還介紹過列舉、大數(shù)翻倍等其他方法。

在隨后的訪談中我發(fā)現(xiàn)，不少教師都經(jīng)歷過舊版本教材的教學(xué)，那時(shí)“分解質(zhì)因數(shù)”“短除法求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)”等都屬教材內(nèi)容。教材改版后，雖刪減了這部分內(nèi)容，但教師們?cè)诮虒W(xué)中都會(huì)自覺補(bǔ)上。顯然，教師們大都沒有很好地理解教材刪減這部分內(nèi)容的原因。對(duì)此，北師大版教師用書上明確指出，“‘短除法’雖高效簡(jiǎn)便易用，但技巧性較強(qiáng)，學(xué)生不易理解其算理，容易形成機(jī)械性練習(xí)，故此將之放到‘你知道嗎？’板塊中，學(xué)生做一般性了解即可。”這樣的編排，也是重在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握“列舉”這種常見的解決問題的數(shù)學(xué)思考方法，并在此過程中不斷增進(jìn)對(duì)公因數(shù)、公倍數(shù)相關(guān)知識(shí)的概念性理解。而在實(shí)際教學(xué)中，教師們不但著重補(bǔ)充介紹了“短除法”，甚至將之作為解決這部分內(nèi)容相關(guān)問題的最佳方法進(jìn)行了強(qiáng)化指導(dǎo)。進(jìn)而就忽視、弱化了學(xué)生對(duì)“列舉”這一常用方法的體驗(yàn)、理解與掌握。

如此，僅3 名學(xué)生在解決上述問題時(shí)使用了列舉法，且都出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其原因不言而喻。正是教師們“超綱”地教，“過度”地教，導(dǎo)致了學(xué)生們過早、過“充分”地感受到了短除法的“易學(xué)易用”，進(jìn)而拋棄了“過程繁瑣”的列舉，轉(zhuǎn)投短除法的懷抱。

由此，當(dāng)學(xué)生遇到上面這道“超綱”題時(shí)，最直接的反應(yīng)便是先要求3、4、5 這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，無(wú)形中弱化了對(duì)問題中數(shù)量特征、相互關(guān)系的深入思考，進(jìn)而導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤。

二、這道題“超綱”了嗎？

從教與學(xué)的角度分析了上述題目出錯(cuò)的原因后，我又仔細(xì)地翻閱了人教版、蘇教版、北師大版等幾個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材。再次學(xué)習(xí)之后，一個(gè)追問在我腦海中悄然浮現(xiàn)：這道題“超綱”了嗎？

按我們慣常的理解，“超綱”是指題目超過了教學(xué)大綱的要求。“大綱”是課改前的說法，對(duì)應(yīng)當(dāng)下應(yīng)該是指《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”），這是各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫時(shí)的指導(dǎo)與依據(jù)。“課標(biāo)”對(duì)這部分內(nèi)容的要求，主要有兩點(diǎn)：1.了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；2.能找出10 以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。顯然，這兩點(diǎn)主要是從基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的維度提出的要求。對(duì)照這樣的要求，這道題出現(xiàn)在期末考核中顯然是超綱了。

但繼續(xù)查閱課標(biāo)及各版本教材，我發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段學(xué)習(xí)“公因數(shù)與公倍數(shù)”這部分內(nèi)容，更多是服務(wù)于后續(xù)的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。即學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算時(shí)涉及到的通分與約分，均涉及公因數(shù)、公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)與技能。同時(shí)，通過對(duì)后續(xù)小學(xué)及初中數(shù)學(xué)教材的查閱，我還發(fā)現(xiàn)：1.三個(gè)數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)均未作為正式教學(xué)內(nèi)容在后續(xù)教材中出現(xiàn)過；2.與此相關(guān)的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，教材呈現(xiàn)的例題與練習(xí)中，三個(gè)異分母分?jǐn)?shù)中總有兩者的分母是倍數(shù)關(guān)系。如蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第五單元“分?jǐn)?shù)加法和減法”例2后的“試一試”即為在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教材中，“同余”從未作為教學(xué)內(nèi)容出現(xiàn)過。

對(duì)此，我又進(jìn)一步思考，究竟什么是“超綱”？如果只是因?yàn)榻鉀Q問題中涉及到的相關(guān)知識(shí)、技能從未作為正式教學(xué)內(nèi)容在教材中出現(xiàn)過，便可稱之為“超綱”，那教學(xué)的意義與價(jià)值何在？學(xué)生在數(shù)學(xué)上的發(fā)展何在？往更深遠(yuǎn)處思考，數(shù)學(xué)發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步、文明日新月異又該從何談起？

如果我們暫時(shí)拋棄緊守的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，從基本思想感悟與基本經(jīng)驗(yàn)積累的角度來看待這道題，那便會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)它也談不上“超綱”。因?yàn)椋瑥慕鉀Q問題的角度來看，這道題恰可考查學(xué)生能否使用合適的方法尋找出契合題意的答案，而非考查其是否掌握了“三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)”及“同余”相關(guān)的知識(shí)與技能。

我想，如果教師們沒有重在“超綱”教學(xué)，而是側(cè)重于指導(dǎo)學(xué)生掌握列舉這一常用的解決問題的方法，側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生思考、交流如何根據(jù)題意優(yōu)化列舉過程，那么，當(dāng)上述題目出現(xiàn)時(shí)，教師們反映的將不再是“這道題‘超綱’了”，而是“我的學(xué)生一定行！”。

三、后續(xù)教學(xué)如何改進(jìn)？

分析至此，我想，最重要的還是“在后續(xù)教學(xué)中，我們應(yīng)該如何改進(jìn)”。以下是我的一些思考，與大家分享，希望能起到拋磚引玉之效。

1.重視在基本方法的運(yùn)用中積累經(jīng)驗(yàn)、深入思考。

很多時(shí)候，作為教師的我們?cè)诮虒W(xué)中往往會(huì)自覺或不自覺地突出一些數(shù)學(xué)的公式、定理、算法。因?yàn)橹灰獙W(xué)生掌握了，帶來的便是解決問題的高效。然而，正如曹培英老師所強(qiáng)調(diào)：“只知怎樣算，不知為什么這樣算，充其量只是搬弄數(shù)字的操作技能。”我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到，對(duì)學(xué)生而言，更重要的是在基本方法的運(yùn)用過程中不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，深入數(shù)學(xué)思考。小學(xué)階段，讀題、分析數(shù)量關(guān)系、畫圖、列舉等等，都是學(xué)生應(yīng)掌握并樂于使用的基本方法，也都是我們應(yīng)重視的。

以“公因數(shù)和公倍數(shù)”部分的教學(xué)為例，教學(xué)中我們更應(yīng)突出引導(dǎo)學(xué)生在理清問題要求的基礎(chǔ)上，就“如何正確列舉”“怎樣優(yōu)化列舉過程”等問題展開思考與交流。在這樣的過程中，進(jìn)一步增進(jìn)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，對(duì)“列舉”這一基本方法的價(jià)值認(rèn)同。同時(shí)，應(yīng)避免如“短除法”之類的相關(guān)算法的提前出現(xiàn)與過度教學(xué)。因?yàn)椋@往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生不加思考地理解與運(yùn)用。更因?yàn)椋瑢?duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，經(jīng)歷過程、學(xué)會(huì)思考要遠(yuǎn)比掌握一種雖簡(jiǎn)潔卻不甚理解的方法重要得多。

回到期末試卷中的那道題，我想，作為教師的我們，更應(yīng)期待學(xué)生能夠呈現(xiàn)出以下思維狀態(tài)：（1）在審視問題后，確定可以通過列舉尋找到正確答案；（2）根據(jù)題意，或一一列舉，尋找答案；或思考怎樣列舉更便捷高效；（3）得出答案后，作進(jìn)一步的審視與反思，確定答案是否正確，并能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤及時(shí)進(jìn)行調(diào)整。因?yàn)椋鉀Q問題沒有“通法”，數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解、解決問題能力的不斷提高，有賴于學(xué)生在基本方法運(yùn)用過程中積累經(jīng)驗(yàn)與深入思考。

2.重視在解決問題的過程中培養(yǎng)反思、 質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

從前文呈現(xiàn)的圖二中我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在求出3、4、5 的最小公倍數(shù)60 后，僅僅是根據(jù)自己的理解，再將60 減去1，便不加甄別地認(rèn)為這就是正確答案。在3 名使用列舉法解決問題的學(xué)生中，也出現(xiàn)了類似情況（如下圖）。

顯然，前者缺少答案得出后需及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)的意識(shí)，僅僅滿足于獲得答案；后者更是在列舉未能找到符合要求的答案后不了了之。其實(shí)，稍加回顧與反思便會(huì)發(fā)現(xiàn)：（1）第二行在列舉到29 后，出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）只要列舉過程無(wú)誤，繼續(xù)列舉下去便能找到符合要求的答案。但兩者恰恰都缺少了這樣的意識(shí)與習(xí)慣。

試想，如果學(xué)生初步具備了及時(shí)檢驗(yàn)、反思、質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，那么，在遇到類似的題目時(shí)，也能在獲取初步答案后，經(jīng)由檢驗(yàn)、反思、質(zhì)疑等環(huán)節(jié)形成自己的初步判斷，并借此獲得更為深入的思考與領(lǐng)悟。而這種基于過程，經(jīng)由深入思考、分析所獲得的收獲與發(fā)展，也將促成學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)積累、數(shù)學(xué)思考等方面更進(jìn)一步的發(fā)展。

以上是基于對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤解答過程的審視而獲得的啟示。雖然我們一直都在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生反思、質(zhì)疑等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，但顯然做得還不夠。教學(xué)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)結(jié)果檢驗(yàn)、過程回顧、反思質(zhì)疑等環(huán)節(jié)的作用與價(jià)值，使之成為其解決問題過程中的自覺行為。

3.重視從素養(yǎng)發(fā)展的角度進(jìn)行命題設(shè)計(jì)。

除從“教與學(xué)”的角度進(jìn)行分析與反思外，我們也應(yīng)從如何更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)這一角度進(jìn)行反思，使考核不僅具備評(píng)價(jià)功能，更能推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步形成與發(fā)展。

就這道期末考題而言，在問題呈現(xiàn)后我們不妨增加如下幾個(gè)引導(dǎo)環(huán)節(jié)：（1）你能根據(jù)題意，使用列舉的方法解決這個(gè)問題嗎？（2）回顧你的列舉過程，再結(jié)合題目想想，有哪些地方列舉得可以再簡(jiǎn)潔些？（3）你得出的答案正確嗎？試著在下面進(jìn)行檢驗(yàn)。（4）通過檢驗(yàn)，你發(fā)現(xiàn)“每組3 人，最后一組少2 人；每組4 人，最后一組少3 人；每組5 人，最后一組只有1 人”這些不同說法之間的聯(lián)系了嗎？

如此，將這道題從教師們認(rèn)為的知識(shí)與技能“超綱”，轉(zhuǎn)為對(duì)學(xué)生使用列舉這一基本方法解決問題、對(duì)所得答案進(jìn)行檢驗(yàn)、對(duì)解決問題過程進(jìn)行回顧與反思等多方面能力的考查與評(píng)價(jià)。同時(shí)，也使評(píng)價(jià)兼具了引領(lǐng)學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，促成數(shù)學(xué)思考發(fā)展的功能。

以上是我對(duì)期末一道“超綱”題的分析與反思。一道題似乎微乎其微，但只有我們真正從教與學(xué)的角度出發(fā)，不放棄對(duì)每一個(gè)問題的追根溯源，堅(jiān)持以成因剖析推動(dòng)教與學(xué)的改進(jìn)和發(fā)展，方能積少成多，聚沙成塔，使每一位學(xué)生都能在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。