為學(xué)而教 以學(xué)定教
——《釘子板上的多邊形》教學(xué)設(shè)計

王 輝

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊第108、109 頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.利用格點圖探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍成的多邊形的面積與圍成的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。

2.經(jīng)歷探索釘子板上圍成的多邊形面積與相關(guān)釘子數(shù)之間的關(guān)系的過程，體會規(guī)律的復(fù)雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關(guān)系的簡潔性，發(fā)展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3.獲得探索規(guī)律成功的體驗，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。

【教學(xué)重點】

利用格點圖探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。

【教學(xué)難點】

綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)猜想

師：同學(xué)們,知道今天要學(xué)習(xí)什么嗎？

預(yù)設(shè)：釘子板上的多邊形。

師：接下來就讓我們進(jìn)行一次愉快的探索之旅。

師：瞧！這是1 張點子圖，數(shù)學(xué)上經(jīng)常用它代替釘子板做研究。

師：連接點子圖上的格點我們就可以在上面畫出一些圖形。（在點子圖上依次畫出5 個多邊形。邊畫邊問：這是什么圖形？到長方形時問：誰的面積大？到最后一個圖形問：現(xiàn)在幾號圖形的面積最大？指出：5 號圖形面積最大）

師：仔細(xì)觀察，你覺得點子圖上多邊形的面積的大小可能和什么有關(guān)系？

（學(xué)生猜想）

（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點子圖上多邊形的面積的大小可能和邊上的釘子數(shù)有關(guān)）

（板書：面積 邊上的釘子數(shù)）

【設(shè)計意圖：從已有的經(jīng)驗出發(fā), 幫助學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)的起點,引發(fā)猜想，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣,讓課堂教學(xué)有序推進(jìn)。】

二、自主合作，分層探索

1.引導(dǎo)嘗試，初步感知。

師：同學(xué)們根據(jù)觀察，提出了“猜想”，猜想正不正確，我們還要想辦法驗證。（出示例題的4 個多邊形）請看：這兒有4 個多邊形。

（1）數(shù)數(shù)算算，完成表格。

指名回答：分別口答4 個多邊形的面積。

過渡：“面積”已經(jīng)知道了，剛才同學(xué)們猜想面積和什么有關(guān)？（多邊形邊上的釘子數(shù)）

集體數(shù)出：邊上的釘子數(shù)。

（學(xué)生匯報，教師同時將表格補充完整）

（2）觀察表格，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)。

師：觀察表格，你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系嗎？

預(yù)設(shè)：多邊形的面積＝多邊形邊上的釘子數(shù)÷2，多邊形的面積是多邊形邊上的釘子數(shù)的一半。

師：這樣說起來比較麻煩，數(shù)學(xué)追求簡潔美，怎樣能簡潔地表示出我們剛才的發(fā)現(xiàn)呢？

師：面積我們一般用S 表示，如果用n 表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那剛才發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律可以怎樣表示？

教師確認(rèn)、說明字母表示的關(guān)系式，并板書：S＝n÷2。

3.觀察比較，反思質(zhì)疑。

（1）引導(dǎo)：這個規(guī)律只是由老師提供的這幾幅圖中得到的，是不是完全正確的呢？還要進(jìn)一步驗證。有什么辦法驗證？

（引導(dǎo)學(xué)生再找個圖形來驗證一下是不是符合這個規(guī)律）

（學(xué)生獨立畫圖計算驗證）

（2）匯報：依次出示符合規(guī)律的圖形和不符合規(guī)律的圖形。

師：你有疑問嗎？

師：為什么有的圖形符合規(guī)律，有的不符合規(guī)律？

師：（追問）符合這個規(guī)律的多邊形有什么共同特征？

討論后明確：符合規(guī)律的多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)都為1，不符合規(guī)律的多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)不是1。

（3）小結(jié)：多邊形的面積不僅和多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。這個規(guī)律僅僅限于內(nèi)部是1 枚釘子的情況。我們可以用a 表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，也就是說當(dāng)a＝1 時，S＝n÷2。

（在上面得出的關(guān)系式前補充板書：a＝1）

師：像這樣多邊形內(nèi)部是0枚或者2 枚的，它的面積和邊上的釘子數(shù)有沒有規(guī)律？看來，研究還得繼續(xù)。

【設(shè)計意圖：當(dāng)多邊形的內(nèi)部只有1 個釘子時, 得到規(guī)律的整個過程都是由學(xué)生主動去探究,教師只是合作者、 引導(dǎo)者和組織者的角色。在探索過程中幫助學(xué)生去對比, 一步步深層次地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，整個過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)都是愉悅和主動的。通過表格學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論, 但他們的發(fā)現(xiàn)又是不全面的, 教師及時的介入使得學(xué)習(xí)更加高效。】

2.繼續(xù)研究，拓展認(rèn)識。

（1）提出問題，明確方法。

引導(dǎo)：真好！那你們組準(zhǔn)備研究內(nèi)部是“0”枚釘子數(shù)的還是“2”枚釘子數(shù)的多邊形與釘子數(shù)的關(guān)系呢？

師：怎么內(nèi)部是“2”枚的沒有小組研究？哪組愿意挑戰(zhàn)一下呢？有沒有信心？

（2）各自畫圖，探究規(guī)律。

①分組畫圖，探究規(guī)律。

②匯報分享，總結(jié)規(guī)律。

引導(dǎo)：我們來看一看這表格中的數(shù)據(jù)，你們發(fā)現(xiàn)面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系？

邊匯報邊板書：

a＝2 時，S＝n÷2＋1。

a＝0 時，S＝n÷2－1。

【設(shè)計意圖：如果說“當(dāng)多邊形內(nèi)有1 個釘子” 的研究是扶,那“當(dāng)多邊形內(nèi)有2 個或者0 個釘子”就是半扶半放,而后面內(nèi)部有多個釘子的研究則完全是放。放的過程中進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)和方法的總結(jié),學(xué)生在正確的方法下進(jìn)行有序的研究,這才是真正的學(xué)習(xí)。】

3.引導(dǎo)猜想，概括規(guī)律。

（1）引發(fā)猜想。

提問：我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部釘子數(shù)a＝0，S＝n÷2－1；a＝1，S＝n÷2；a＝2，S＝n÷2＋1。多邊形內(nèi)部有3 個點，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？請同學(xué)們猜一猜。

預(yù)設(shè)：a＝3，S＝n÷2＋2。

師：下面，同學(xué)們能接著說一說嗎？

根據(jù)學(xué)生回答板書：

a＝4，S＝n÷2＋3。

a＝5，S＝n÷2＋4……

2.拓展延伸，揭示規(guī)律。

引導(dǎo)學(xué)生觀察關(guān)系式。

提問：這么多規(guī)律，說得完嗎？能不能用一個規(guī)律來表示呢？

歸納：S＝n÷2＋（a-1）。

師：如果要知道我們的猜想是否正確，還需要咱們進(jìn)一步舉例驗證。

智慧話語：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要舉一反三，大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)驗證！

三、應(yīng)用規(guī)律，回顧反思

1.解決問題。

師：你能用今天所學(xué)的知識求下面圖形的面積嗎？

2.拓展視野。

師：我們今天研究的規(guī)律，奧地利數(shù)學(xué)家皮克做過研究，就是數(shù)學(xué)上著名的“皮克定理”。如果需要進(jìn)一步認(rèn)識和了解，可以閱讀中國的閔嗣鶴撰寫的《格點和面積》這本書，從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的神奇與美妙！

3.回顧小結(jié)。

師：回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程,你有什么體會?

結(jié)語：真不錯！同學(xué)會觀察、會猜想、會在驗證中發(fā)現(xiàn)和研究規(guī)律。非常了不起！