關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的一些思考

郭曉玲 楊亞群 張 磊

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院 北京 100083）

0 引言

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，在科學(xué)發(fā)展和實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛，而數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生產(chǎn)生活中各類問(wèn)題的有效途徑。它通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象并加以適當(dāng)簡(jiǎn)化來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，解釋問(wèn)題中的客觀現(xiàn)象、預(yù)測(cè)發(fā)展規(guī)律或控制發(fā)展態(tài)勢(shì)，最終為功能設(shè)計(jì)等方面提供最優(yōu)策略或者較好的方法。

將數(shù)學(xué)建模引入大學(xué)教育對(duì)于開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有著獨(dú)特的功能。

1 重要性及意義

1.1 數(shù)學(xué)建模的作用

高校開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中的各項(xiàng)能力具有重要作用。（1）從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力：為解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，面面俱到考慮所有因素往往不可行，因此培養(yǎng)學(xué)生如何在不失本質(zhì)的情況下合理抽象出數(shù)學(xué)模型的能力對(duì)解決問(wèn)題至關(guān)重要。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力：模型一旦建立，采用怎樣的數(shù)學(xué)理論、使用怎樣的數(shù)學(xué)工具等都直接影響著模型求解的準(zhǔn)確性和精確性。（3）將研究結(jié)果解釋、指導(dǎo)實(shí)際問(wèn)題的能力：理論到實(shí)踐的最終環(huán)節(jié)是科學(xué)運(yùn)用于實(shí)際的關(guān)鍵所在，數(shù)學(xué)建模的這些要求為數(shù)學(xué)和外部世界的聯(lián)系提供了一種有效的方式，讓學(xué)生在知識(shí)、能力及素質(zhì)等方面取得迅速成長(zhǎng)。

1.2 近期發(fā)展?fàn)顩r

圖1：1999-2018年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽院校及參賽隊(duì)伍數(shù)量變化圖

1992年開(kāi)始，由教育部高等教育司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主辦的、每年一屆的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，引起了廣大高校同學(xué)的關(guān)注。從最初的幾十只隊(duì)伍逐漸發(fā)展壯大，到現(xiàn)在已經(jīng)成為覆蓋近1500所院校、4萬(wàn)多支隊(duì)伍、超12萬(wàn)名大學(xué)生的全國(guó)最大基礎(chǔ)學(xué)科競(jìng)賽。歷年參賽數(shù)據(jù)比較如圖1所示，參賽隊(duì)伍的逐漸龐大預(yù)示著競(jìng)爭(zhēng)的激烈性逐漸增加，高校對(duì)于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的成績(jī)也會(huì)相對(duì)看重。如此一來(lái)，各大學(xué)校加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也從側(cè)面反映了數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的重要性。

基于以上正反兩個(gè)方面，完善和發(fā)展數(shù)學(xué)建模課程、解決當(dāng)前國(guó)內(nèi)高校數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)中的具體問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)和發(fā)展具有重要意義。

2 問(wèn)題和現(xiàn)狀

結(jié)合我校數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)實(shí)踐以及各高校面臨的普遍情況，總結(jié)出以下幾個(gè)問(wèn)題：

2.1 師資力量不足

大部分?jǐn)?shù)學(xué)建模教師都是利用自己除本職教學(xué)和科研任務(wù)之外的時(shí)間參與課程培訓(xùn)，教學(xué)和科研任務(wù)的緊張直接限制了教師投入到數(shù)學(xué)建模課程的培訓(xùn)時(shí)間。此外，結(jié)合學(xué)校重視程度較低的情況，部分教師尚未意識(shí)到數(shù)學(xué)建模課程培訓(xùn)的重要性，因此師資教學(xué)隊(duì)伍數(shù)量的不足是當(dāng)下面臨的主要問(wèn)題。

對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的指導(dǎo)教師團(tuán)隊(duì)也存在師資力量不足的情況。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題涵蓋范圍較廣，需要各個(gè)領(lǐng)域?qū)I(yè)的老師一同帶隊(duì)，才能更好的服務(wù)于選題不同的學(xué)生隊(duì)伍。然而，現(xiàn)實(shí)是大部分高校未能做到這一點(diǎn)。

2.2 受眾小、課時(shí)少

數(shù)學(xué)建模課程大部分只針對(duì)數(shù)學(xué)系或者相關(guān)專業(yè)進(jìn)行開(kāi)設(shè)，其他專業(yè)學(xué)生大都只能以選修課的形式接受教學(xué)，課程受眾面較小。

據(jù)了解，“數(shù)學(xué)模型”是國(guó)內(nèi)高校89%數(shù)學(xué)類專業(yè)必修課，課時(shí)以48-64學(xué)時(shí)為主流。然而，若想徹底學(xué)透數(shù)學(xué)模型光靠這些上課學(xué)時(shí)是遠(yuǎn)不夠的，對(duì)于每類模型還必須輔以必要的上機(jī)時(shí)間才能幫助學(xué)生深入的理解模型并學(xué)會(huì)如何求解模型。因此，數(shù)學(xué)建模課程最好安排兩個(gè)學(xué)期的課時(shí)量，然而由于數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生課時(shí)的限制，大部分學(xué)校無(wú)法實(shí)現(xiàn)如此安排。

非數(shù)學(xué)類包括計(jì)算機(jī)專業(yè)“數(shù)學(xué)模型”大都以選修課為主，約占80%，課時(shí)一般在30-45學(xué)時(shí)之間，這樣的課時(shí)量不足以培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)踐的能力。為提升學(xué)生對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣、擴(kuò)大學(xué)校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽隊(duì)伍，就非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模選修課是必要的。然而，由于選修課自身存在的弊端，數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)的第三個(gè)問(wèn)題逐漸暴露。

2.3 選修課建設(shè)存在問(wèn)題

面向非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模選修課盡管已經(jīng)開(kāi)設(shè)，仍存在一定的問(wèn)題。一方面，學(xué)生選課時(shí)，大多根據(jù)選課人數(shù)進(jìn)行判斷，盲目跟風(fēng)，優(yōu)先選擇容易通過(guò)、學(xué)分好拿的課程。真正對(duì)數(shù)學(xué)建模感興趣，想要獲取知識(shí)參加比賽的同學(xué)并不多；另一方面，由于選修課本身的限制，教師不能按照正常課程考核方式布置大量練習(xí)題，但若想真正學(xué)好數(shù)學(xué)建模，需要學(xué)生結(jié)合實(shí)際案例多加練習(xí)與分析、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。因此，如何把控好數(shù)學(xué)建模選修課的教學(xué)，對(duì)任課老師的要求較高，并且十分困難。

2.4 學(xué)生消化課程內(nèi)容不易

數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)不同于往常應(yīng)試教育的模式，它需要學(xué)生將學(xué)習(xí)和應(yīng)用兩者結(jié)合。隨著課程的逐步深入，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的要求逐漸增多并且需要結(jié)合動(dòng)手實(shí)踐能力，此時(shí)由于深入學(xué)習(xí)課程內(nèi)容的困難導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒并逐漸對(duì)課程麻木。學(xué)生難以消化課程內(nèi)容，沒(méi)有實(shí)質(zhì)收獲，欣賞不易，建模仍不會(huì)。

此外，該課程的內(nèi)容不但涉及數(shù)學(xué)學(xué)科還涉及其他學(xué)科的一些知識(shí)，授課過(guò)程中遇到學(xué)生暫時(shí)還未學(xué)到的某些知識(shí)，需要短時(shí)間內(nèi)將相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)補(bǔ)充糅合進(jìn)來(lái)，這樣容易造成學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的碎片化，難以構(gòu)建整體理論體系。

3 解決辦法

針對(duì)以上數(shù)學(xué)建模課程建設(shè)中存在的問(wèn)題和現(xiàn)狀，現(xiàn)提出以下幾個(gè)解決方案：

3.1 優(yōu)化師資隊(duì)伍

通過(guò)學(xué)校政策支持，形成集中的數(shù)學(xué)建模師資力量團(tuán)隊(duì)。此外，可以不定期組織教師外出參觀學(xué)習(xí)，參加數(shù)學(xué)建模相關(guān)會(huì)議，提升教師教學(xué)與競(jìng)賽指導(dǎo)水平。同時(shí)，為構(gòu)建合理的師資隊(duì)伍，在現(xiàn)有的建模師資基礎(chǔ)上不斷吸納年輕教師、博士參與，逐漸形成以老帶新、以點(diǎn)帶面的“傳、幫、帶”態(tài)勢(shì)，鼓勵(lì)新的教師參與建模教學(xué)與指導(dǎo)工作，為學(xué)校課程教學(xué)與建模比賽的可持續(xù)發(fā)展注入活力。

為應(yīng)對(duì)建模比賽賽題多樣化,競(jìng)賽指導(dǎo)教師的編制也應(yīng)趨于多元化和全面化。拿普及范圍最廣的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題設(shè)置來(lái)說(shuō)，為應(yīng)對(duì)連續(xù)和離散型工程數(shù)學(xué)類賽題、運(yùn)籌與網(wǎng)絡(luò)科學(xué)類賽題、數(shù)據(jù)分析類賽題、交叉學(xué)科研究類賽題，可分別安排工程計(jì)算方向、運(yùn)籌優(yōu)化方向、統(tǒng)計(jì)方向等術(shù)業(yè)專攻教師對(duì)學(xué)生建模競(jìng)賽進(jìn)行指導(dǎo)，以便更好的服務(wù)于選題不同的參賽隊(duì)伍。

3.2 增設(shè)通識(shí)課或寒暑培訓(xùn)

探索開(kāi)設(shè)面向全校的通識(shí)課，擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模受眾面，以此讓不同專業(yè)的學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本理論、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的基本能力，幫助其在自身專業(yè)學(xué)習(xí)中探索新發(fā)現(xiàn)。

為彌補(bǔ)課時(shí)少的問(wèn)題，一方面可以通過(guò)課堂布置作業(yè)、推薦相關(guān)課外書(shū)籍與資料拓展數(shù)學(xué)系學(xué)生課堂以外的建模學(xué)習(xí)時(shí)間；另一方面，充分利用寒暑假組織培訓(xùn)，拔高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、程序設(shè)計(jì)、文章寫(xiě)作等綜合能力。大型競(jìng)賽之前，也可集中開(kāi)展賽前培訓(xùn)，針對(duì)不同類型的賽題進(jìn)行訓(xùn)練，幫助學(xué)生從容應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。

3.3 優(yōu)化選修課教學(xué)方式

對(duì)于非數(shù)學(xué)系學(xué)生選修課盲目跟風(fēng)、對(duì)數(shù)學(xué)建模課程不感興趣的問(wèn)題，高校數(shù)學(xué)建模教師可以充分利用學(xué)校數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)等社團(tuán)組織的作用，成立數(shù)學(xué)建模興趣小組、開(kāi)展數(shù)學(xué)建模專題講座，以此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)非數(shù)學(xué)系學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)建模。

至于選修課的特殊性，教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)建模課程自身特點(diǎn)探索優(yōu)化課程教學(xué)方式。（1）以案例式教學(xué)為主，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)帶領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題、尋找工具、解決問(wèn)題，逐步了解數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的一般原理及模式；（2）布置一些實(shí)際建模問(wèn)題作為學(xué)生平時(shí)作業(yè)或最后考核的方式，學(xué)生將通過(guò)自身操作，加深對(duì)問(wèn)題理解，提升數(shù)學(xué)建模綜合實(shí)力；（3）加大平時(shí)成績(jī)?cè)诳偝煽?jī)中的占比，鼓勵(lì)學(xué)生在平時(shí)多學(xué)多練多問(wèn)，注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，以真正實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的目標(biāo)。

3.4 采用交互、討論、啟發(fā)式教學(xué)方法

為增加學(xué)生課堂參與度，提高學(xué)生消化課堂知識(shí)的效率，交互式、討論式、啟發(fā)式教學(xué)方法非常適用于數(shù)學(xué)建模的課程教學(xué)。授課教師需要在課前規(guī)劃課程整體設(shè)計(jì)，包括案例內(nèi)容、相關(guān)知識(shí)拓展、課堂設(shè)問(wèn)等；課中引導(dǎo)同學(xué)開(kāi)展討論，啟發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題發(fā)表自己的見(jiàn)解并就同學(xué)給出的答案及時(shí)進(jìn)行評(píng)述；課后回顧課堂效果，進(jìn)行自我課程評(píng)估、總結(jié)改進(jìn)教學(xué)方法，力求不斷消滅課程授課中存在的問(wèn)題，讓學(xué)生在課堂上真正收獲知識(shí)，獲取數(shù)學(xué)建模的能力。

4 結(jié)語(yǔ)

隨著人類社會(huì)逐步由工業(yè)化社會(huì)向信息化社會(huì)過(guò)渡，以數(shù)字化為特征的信息社會(huì)中數(shù)學(xué)的應(yīng)用向一切領(lǐng)域滲透，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建模并進(jìn)行科學(xué)研究變得十分重要，數(shù)學(xué)建模課程在高校的開(kāi)設(shè)是新形勢(shì)下的歷史必然。但我們知道，數(shù)學(xué)建模課程的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，在實(shí)踐中需要老師不斷進(jìn)行教學(xué)探索和改進(jìn)，怎么解決教學(xué)中面臨的問(wèn)題培養(yǎng)建模創(chuàng)新性人才還有很多艱難的工作去做。