以《天衣無縫》為例淺談綜合實踐課在初中數學教學中的實施

高麗威，齊 麗，柏秀澤

（吉林大學附屬中學，吉林長春130021）

綜合實踐活動是基于學生的直接經驗、密切聯系學生自身生活和社會生活、體現對知識的綜合運用的實踐性課程，是初中階段7～9 年級學生的一門必修課程。教育部在2001 年6 月頒布的《基礎教育課程改革綱要（試行）》明確要求增設綜合實踐活動課程，同年教育部啟動新一輪課程改革中頒發的《國家九年義務教育課程綜合實踐活動指導綱要》對綜合實踐活動的性質做出了明確的界定。2011 年頒布的《課程標準》在教學內容中設置了四個部分，綜合與實踐是其中一個重要組成部分，這部分內容既反映了數學課程標準與數學教學改革的要求，也為學生提供了通過綜合實踐課去做數學、學數學、理解數學的機會，搭建了一條由常規教學向實踐探究式教學轉化的橋梁，為教師的“教”和學生的“學”指出了明確的方向?！稑藴省分赋觯骸熬C合與實踐”是指一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和方法解決問題。綜合實踐課面向全體學生開設，以學生自主選擇、直接體驗、探究實踐為課程學習的基本方式，以貼近學生現實的生活實踐、社會實踐、科學實踐的主題為課程研究的基本內容，以學生個性養成為課程基本任務的非學科性課程。

教育部在《綜合實踐活動的實施與管理》中指出：“探索如何不斷保持學生的好奇心以及探究與學習的天性，并創設條件，使其養成探究與學習的必要能力，使得他們對與未知世界的探索成為終身的樂趣?！?019 年教育部發布的重要文件《考試命題意見》中要求提高探究性、開放性、綜合性的試題比例，同年又出臺了《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》。國家在綜合實踐課的實施上不斷給予政策支撐和理論依據，充分說明綜合實踐課程符合時代和社會發展的需要，已經成為必修課教學中不可或缺的重要組成部分。但在中學教學的具體實施中仍存在很大的困難。對常規教學的操作時間越長、經驗越足，對綜合實踐課這個“新”課型的接受就顯得愈發困難。綜合實踐課不同于常規課程的地方在哪里？如何體現？綜合實踐課要達成怎樣的教育目標？效果如何？綜合實踐課是否涉及到數學知識的滲透？如何體現？這些都是我們一線數學教師要思考的問題。接下來，就以《天衣無縫》為例，闡述一下綜合實踐課具體的實施過程。

一、參考教材

華東師大版八年級上冊77頁閱讀材料《圖形中的裂縫》中闡述了薩姆勞埃德《趣題大全》中的一道趣題：將圖1 按所畫線條剪開，再按圖2 拼合，方格線的面積竟然增加了一個平方單位！為什么面積增加了？

圖1

圖2

二、教學目標

1.學生通過動手操作實踐，親歷探究過程，獲得探究體驗。借助幾何直觀和空間想象感知正方形與長方形在剪拼過程中形狀和大小的變化，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維；

2.在探究活動中，學會發現并確定探究問題，提出合理的解決問題的方案，收集、整理數據，提取信息并對數據做出分析、推斷；

3.鼓勵學生高度概括、準確表達，發現一般性結論，進而應用數學抽象的思維方法解決問題；

4.學生在探究的過程中，既要求自主又兼顧合作，交流協作，分享信息，完善創意等。

三、教學過程

1.情境導入、激發興趣

請四位同學參與一場超級模仿秀，模仿大屏幕給出的圖片中的小孩子的表情（圖3），由全體同學做評委，裁定誰模仿的最像？然后老師出示答案（圖4）。

圖3

圖4

用生活中的實例讓學生明白：耳聽為虛、眼見也不一定為實。學會用數學的眼光看世界，多角度看問題，明白“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的道理，實踐出真知。此時提出薩姆勞埃德的“裂縫”問題，讓學生產生“內有蹊蹺”的想法，進而有想動手實踐檢驗的愿望。

2.動手操作、發現問題

奏響第一樂章：“發現縫兒”

學生通過閱讀書上的材料，按薩姆勞埃德的方式將 階正方形網格進行剪拼，在拼接的過程中忽然發現：原來長方形中間出現了一條縫。

那么如何從數學的角度給予這個事實一個合理的說明呢？鼓勵學生想出解決辦法，達成“不能只停留在事物的表面現象的層面”的共識，要學會理性地分析、合理解釋數學現象。教師不要片面地認為綜合實踐課就是一場熱熱鬧鬧的“秀”，動手操作、實踐探究都是為了更好地理解、學習數學而服務的。

啟發學生思考：如圖5 所示，連結AE，借助勾股定理可知，

由于AC+EC＞AE，所以可以判斷A、C、E 三點不共線，且形成了一個鈍角三角形，由此判斷中間出現了裂縫。

圖5

教師抓住機會繼續追問，雖然通過勾股定理可以說明中間有條窄窄的縫兒，但是縫的面積有多大呢？如何來求解？這個問題對于學生來說并不難，可以直接用面積差來求解：

半條縫兒的面積是0.5，那么整條裂縫的面積即為1，即S疊=1。

從不同角度出發，通過幾何推理證明了薩姆勞埃德拼得的長方形中間出現了裂縫，而且裂縫的面積為1，這個發現為本節綜合實踐課搭建了很好的臺階。此時仍以教師的引導為主，當學生的思考逐漸步入正軌，教師就悄悄放手，讓學生自己去嘗試、去挑戰。

接下來學生自己來做一次魔法師，在5×5 階正方形網格中按照薩姆勞埃德的方式剪拼出一條縫，看看會有怎樣的發現。

因為是開放式的實踐活動，學生剪拼出的結果五花八門，如圖6所示：

圖6

教師對學生的剪拼作品給予肯定，綜合實踐課鼓勵學生存在“不一樣”。只有不斷地被肯定，學生以后才敢于大膽地去想、去做、去表達。

學生會思考為什么展示的剪拼作品不一樣，對照閱讀材料中薩姆勞埃德式剪拼手法，他們會發現：

①經格點連線將正方形網格分成四塊，其中包含兩塊直角三角形、兩塊直角梯形；

②直角三角形的短直角邊和直角梯形的上底長度相同，才能使其完美地拼接在一起；

③拼成的新圖形為長方形。

不同的剪拼方式帶來不同的研究方向、對應不同的研究結果，那我們本次研究活動就圍繞上述“薩姆勞埃德式”剪拼方式進行。學生因為新的收獲蠢蠢欲動，教師抓住時機鼓勵學生繼續將5×5 階正方形網格按照薩姆勞埃德的剪拼方法拼成長方形。教師觀察學生的操作情況，及時地糾錯、指導，并指引學生不斷地將創意變成現實。

奏響第二樂章：研究“縫兒”

學生剪拼方法一：如圖7，超直白的裂縫！當將長度為5的正方形邊長分為1和4兩段時，發現真的出現了裂縫，且S縫=1。

圖7

學生剪拼方法二：如圖8，“縫”的“疊”變，當我們將長度為5的正方形邊長分為2和3兩段時，驚喜地發現竟然可以產生“疊”，且S疊=1。

圖8

發現了“疊”，學生很激動，因為即便都是標準的剪拼方式，也會有“縫”和“疊”的區別。綜合實踐課的魅力慢慢顯現出來，學生自主探究實踐中獲得的認知是他自己的“成果”，這個成果得來并不難，但卻是獨特的、跟自己的努力息息相關的，這種收獲的喜悅和成就感是在老師一廂情愿進行知識傳授的過程中無法得到的。

有了剛才剪拼過程中獲取的經驗，學生可以輕車熟路地在3×3階正方形網格中繼續按薩姆勞埃德式方法剪拼，開始第二輪動手操作，并展示剪拼成果，如圖9所示：

圖9

圖形中再次出現裂縫，而且S縫=1。

和學生共同回顧：8×8 階網格中，出現了S縫=1；5×5 階網格中，出現了S疊=1 ；3×3 階網格中，出現了S縫=1，這種有規律的變化到底是偶然還是必然？我們一起來分析一下：

華羅庚曾經說過這樣一句話：數少形時少直觀，形少數時難入微。為了探究清楚為什么出現這種規律性的變化，觀察圖形在剪拼過程中出現的數據，如圖10所示：

圖10

3×3 階網格剪拼過程中出現了四個數據，分別是（1，2，3，5），表示將邊長3分為1和2，拼成2×5階矩形；

5×5 階網格剪拼過程中出現了四個數據，分別是（2，3，5，8），表示將邊長5分為2和3，拼成3×8階矩形；

3×3 階網格剪拼過程中出現了四個數據，分別是（3，5，8，13），表示將邊長8 分為3 和5，拼成5×13階矩形。

把這些數據按照從小到大的順序排列：1，2，3，5，8，13…我們驚奇地發現，這個數列從第三個數字開始，每個數字都是前兩項的數字之和，原來是一組“斐波那契數列”在圖形中彰顯其魔力。那么進一步思考，這跟圖形中出現的“縫”和“疊”又有什么關系呢？要解決這個問題，要首先關注“縫”和“疊”的面積的求法：

S疊或縫=S正方形-S長方形

教師提出的每個問題都富含技巧，既要結合學生目前所獲取的經驗，又要不著痕跡地引導他們的思考向前邁進。教師的問題是一條暗藏的線索，引領學生自己去發現數學的奧妙，充分獲得學習的成就感。如圖11所示：

圖11

此時學生經過討論和研究會覺得一切都豁然開朗，即：當中間數的平方與前后兩數乘積的差為+1，出現1 平方單位的重疊；當中間數的平方與前后兩數乘積的差為-1，則出現1 平方單位的裂縫。從斐波那契數列中任意圈出四個相鄰數據，比如（3，5，8，13），前三個數字表示正方形邊長的分割方法，后三個數字中，若中間數的平方減去其前后兩數的乘積，結果為+1，則表示長方形有平方單位的重疊；結果為-1，則表示長方形有1平方單位的裂縫。

在學生的操作、實踐、思考和推理的過程中，兩位偉大的數學家，一位是1170 年出生在意大利的斐波那契，一位是1841 年出生在美國的薩姆勞埃德，他們穿越了近700 年的時空，實現了一場智慧的穿越，靈魂的牽手，數形結合也在綜合實踐課中煥發出無限的魅力和能量，吸引著學生繼續探究。

3.邏輯推理、方法升級

通過提出的新問題設計裂縫，讓學生從實踐中總結并思考，讓學生解決問題的方法完美升級，從直觀感受到實踐探究，再到邏輯證明。

奏響第三樂章：設計“縫兒”

難道只有斐波那契數列中的數據才會產生正方形剪拼時“縫”和“疊”的奇幻效果嗎？讓我們再次走進探究之路，讓斐波那契數列中沒有的數據15做正方形的邊長，讓15×15 階正方形網格在學生智慧的小手中開花。用相同的剪拼原則、不同的剪拼方式創造出多種多樣的“縫”和“疊”。學生依據薩姆勞埃德式剪拼方法將邊長分成不同的數據后，將剪拼結果粘貼在黑板上，如圖12所示，并互相點評、深入思考、提出問題、找尋規律。

圖12

此時拼成的長方形中有縫有疊，由圖形拼接的方式建立起基本的數學模型可知，如圖13，縫或疊的面積即可以統一表示為：，代入不同的a值即可求出縫或疊的面積。

圖13

從黑板上學生的貼圖和計算結果可以發現，當a 值由小變大時，先是裂縫的面積由大變小，后來是重疊的面積由小變大。學生發現沒有S=0的情況，也就是沒有無縫的圖形，為什么不存在無縫兒？如何才能實現無縫兒？

經歷了前面層層遞進的探究過程，此時學生的思維已經充分展開，慢慢學會提出問題，并通過合作、交流去想方設法地解決心中的疑問，這才是綜合實踐課最具魅力的時刻。

奏響第四樂章：創造“天衣無縫兒”

學生經過討論和思考發現，剛剛研究一直是從正方形格點出發進行分割，分割的邊長均為整數，會不會是在分數的時候出現了無縫的拼接呢？有了研究方向，鼓勵學生在一張邊長為單位1 的正方形紙板上創造出完美的天衣無縫。從之前獲取的經驗可知，無縫其實就是讓正方形和剪拼后拼成的長方形面積相等。

圖14

學生獲得了極大的成就感，一條完美的思考、探究、解決問題的研究之路在學生的小手里一步步剪拼出來、推導出來，在學習上獲得的愉悅感比單純的玩、單調的學習都更能激發學生的興趣和潛能，讓他們逐步完善自己、完善思維方式。

4.回顧反思、總結提升

在整堂課程實施過程中都鼓勵學生積極參與、互動互助，讓學生真正感受到數學的魅力和自己的實力，增強數學學習興趣和自信。

思考為什么斐波那契數列中的縫和疊都是1，而其他分割方式會出現很大的縫或疊呢？因為斐波那契數列中相鄰的兩數之比接近0.618，而且數列無限延伸下去時，面積為1 的裂縫和整個圖形的面積相比會越來越不明顯，看起來會非常接近于無縫的拼接，這也許是為什么薩姆勞埃德選擇了8×8 階網格而非3×3 階網格的一個原因。孩子們的分析剛好驗證了之前的猜測，天衣無縫并沒有出現在整數分割上，但也不是分數，而是一個無理數。本節課充分體現了幾何直觀和邏輯推理相結合，數學抽象和數據分析相依賴，充分踐行了數學建模思想和數形結合思想，正可謂：天衣無縫展雙翼，數形結合一點通。

綜合實踐課《天衣無縫》實施的過程，其實就是不斷啟發學生的創造性思維發展的過程，也是教師積極鼓勵學生參與課堂活動、讓學生成為學習主體的過程。教師在綜合實踐課上真正成為學生學習的合作者、引導者，通過課前精心的準備把精彩的課堂充分還給學生，幫助、引導學生在實踐中獲取真知。

綜合實踐課幫助學習薄弱的孩子重新建立起自信心。興趣是最好的老師，綜合實踐課設置的問題都是學生感興趣、并且每個孩子都具備參與的能力，這樣可以更加有效地讓課程抓住孩子的注意力，比如課前的模仿、方格紙的剪拼等。我們常常說教育不能放棄任何一個孩子，但是常規課堂上客觀存在部分孩子跟不上整個班級的節奏，進而失去自信心和學習興趣的情況。而綜合實踐課是通過動手操作來逐步獲取認知的，孩子們很容易在實踐中有所發現，只是不同的學生對同一個問題認知不同罷了。這樣，即便是數學思維較弱的孩子也會在實踐中有所得，可以通過自己的展示和表達獲得老師、同學的關注和肯定，進而激發起學習的興趣和自信。

綜合實踐課讓課堂成為一個傳遞智慧之處，學生通過展示、交流來完善自身的想法，做到互相促進，共同進步。小組合作、師生合作不再是“擺設”，而是真正的彼此需要、密不可分。教師在綜合實踐課上并非是唯一的權威，“三人行必有我師，師不必強與弟子，弟子也不必不如師”。學生在實踐中獲取的經驗是隨機的、獨特的，可能是教師在預設中不曾見過或想到的，但只要是正確的，教師都應當給予肯定和鼓勵，并讓學生和大家分享自己的成果，讓其自身收獲成就感的同時，也讓其他同學產生共鳴。

綜合實踐課對教師提出了較高的要求和挑戰。以《天衣無縫》為例的綜合實踐課程，一堂課的備課要投入的時間和精力可能是常規課的幾倍。因為教師在其中鋪設的都是“暗線”，把收獲成就感的機會都悄悄地拱手相讓。講，很容易；讓學生收獲成就感而不是教師個人魅力的彰顯，這很難。課堂不再是教師的“一言堂”，堅持讓學生自主選擇、主動參與，發展學生的創新精神和實踐能力，為學生提供開放的個性發展空間。綜合實踐課的設計也要克服脫離學生自身生活和社會生活的傾向，從學生感興趣的情境入手，引領學生走向現實的社會生活，促進學生與生活的聯系，為學生的個性發展提供開放的空間。

總之，綜合實踐課在實施過程中應注重學生的親身體驗和積極實踐，設計與開發強調學生樂于探究、勤于動手和勇于實踐，注重學生在實踐性學習活動過程中的感受和體驗，超越單一的接受學習，親身經歷實踐過程，體驗實踐活動，真正實現學習方式的變革。