利用數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)第二個重要極限公式的探索

李林婧

（文山學(xué)院 教師教育學(xué)院， 云南 文山 663099）

極限是大學(xué)數(shù)學(xué)中一個有力的工具，導(dǎo)數(shù)、微分與積分等重要概念的學(xué)習(xí)都是建立在極限基礎(chǔ)之上的。而第二個重要極限是極限中的重要內(nèi)容，可用來推導(dǎo)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和求解不定式極限，在經(jīng)濟、生物、計算科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛實際應(yīng)用。所以學(xué)好第二個重要極限公式為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)尤為重要。但目前大學(xué)數(shù)學(xué)教材中對第二個重要的極限公式的證明并不做要求。雖然第二個重要極限的嚴格證明不需要文科學(xué)生掌握，但是直接給出公式的方式也讓學(xué)生學(xué)得很突兀。導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生對概念本質(zhì)與計算不能深層次理解，在解題過程中盲目照搬不能靈活應(yīng)用。因此，適合于學(xué)生習(xí)得的教學(xué)方法探究，對于學(xué)生理解概念及靈活應(yīng)用公式將起到積極作用。

1 導(dǎo)入歷史名題，通過類比聯(lián)想與枚舉法幫助學(xué)生理解公式

美國數(shù)學(xué)教育家M.克萊因指出“數(shù)學(xué)教學(xué)必須尋求激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣”。歷史上人們遇到的數(shù)學(xué)困難同樣也會被課堂上的初學(xué)者所經(jīng)歷，沿著數(shù)學(xué)家們解決問題的路徑走一遍，將更有利于對知識的深度理解。因此可以借助數(shù)學(xué)歷史名題，在真實情境中有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動機和探究興趣。

例如，公元前 1700 年的古巴比倫泥版上有一道復(fù)利問題： 年息20% ，問何時本利和翻一番？

分析：這道題有復(fù)利和不按照復(fù)利計算兩種情況，在此只討論復(fù)利的情況。

如果本金是 1，期數(shù)按一年計算一次利息，那么第一年的本利和是1.2；

期數(shù)按照半年復(fù)利一次，那么第一年的本利和為；

期數(shù)按照一個季度復(fù)利一次，那么第一年的本利和為；

通過現(xiàn)代信息技術(shù)我們可以計算出n 不斷增大時第一年本例和的變化情況。從表1 中可以看出，年利率一定時，雖然分期復(fù)利，期數(shù)增加本例和也會增大，但不能無限制增多。n 越大的時候，本利變化趨勢越穩(wěn)定。[1]

表1 第一年的連續(xù)復(fù)利問題

表2 n 與xn 的部分取值列表

2 分析與綜合，抓住本質(zhì)特征通過模型方法幫助學(xué)生靈活記憶公式

在各個版本的大學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)習(xí)第二個重要極限時都可以見到具有相同形式、特征的三個公學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常困惑于混淆公式，以及不能分清什么情況下運用什么公式，這直接導(dǎo)致不知道如何選取公式求極限。在上一環(huán)節(jié)對極限的意義做了簡單解釋，學(xué)生對第二個重要極限的本質(zhì)有了一定了解。現(xiàn)在仔細分析三個公式，雖然字母變量不同、表現(xiàn)形式也不同，它們卻有兩個共同特征：底數(shù)都是“1+無窮小量”；指數(shù)都是“底數(shù)中該無窮小量的倒數(shù)”（即是一個無窮大量）。因此，我們可以把三個公式歸結(jié)為一個模型：(1+g(x))1g(x) →e（其中g(shù)(x)是一個無窮小量，指數(shù)則是g(x)的倒數(shù)）。

也就是說，當對一個含有次方的函數(shù)求解極限，如果次方為無窮大量，可以考慮使用第二個重要極限公式。進而判斷底數(shù)是否能夠變換為“1+無窮小量”，指數(shù)是否可以變換為 “該無窮小量的倒數(shù)”。只要滿足這兩個條件，則可以歸結(jié)為求該模型的極限的問題。

3 分類分層講解習(xí)題，利用化歸的方法幫助學(xué)生靈活掌握解題要點

對于利用第二個重要的極限解題，很多教師都做過相關(guān)的教學(xué)設(shè)計。有的教師通過證明兩個更抽象的引理，再利用引理套用計算極限；有的教師出于防止學(xué)生混淆三個公式的目的，在遇到x→∞時，先令t 轉(zhuǎn)化為t→0 的極限進行計算；有的教師設(shè)計了第二個重要極限公式計算的五步法，要求學(xué)生套用步驟計算；有的教師設(shè)計了判斷“1∞”的多種計算方法[3]；有的教師依據(jù)計算結(jié)果，定義了一些公式讓學(xué)生記憶。這些教學(xué)都能夠基本解決此類型的極限問題，但有的方法過于抽象講解復(fù)雜，有的方法照搬步驟不夠靈活，這些都是學(xué)生難于理解與掌握的原因。

因此從學(xué)生角度出發(fā)，嘗試引入化歸的方法將原問題轉(zhuǎn)化為已知模型的問題進行求解。具體步驟：（1）判斷指數(shù)，若“指數(shù)→∞”則進行第二步；（2）判斷底數(shù)，“（底數(shù)－1）→0”進行第三步；（3）構(gòu)造模型，將原來的極限問題轉(zhuǎn)化為(1+g(x))1g(x)→e的問題從而獲得結(jié)果。化歸的方法使問題變得清晰了，對于學(xué)生眼中大量比較難的題目也簡單易求了。

講解方法確定后，例題的選擇也非常重要。下面借助幾個學(xué)生錯誤率高、解決起來比較困難的典型例題[4]，講解如何利用化歸的方法轉(zhuǎn)化為第二個重要極限公式最終獲得結(jié)果。對于能夠一題多解的問題也盡量呈現(xiàn)了多種解法，達到幫助學(xué)生整理解題方法、發(fā)散思維的目的。

3.1 指數(shù)與“底數(shù)-1”沒有直接互為倒數(shù)的極限問題

法一分析：底數(shù)是“分數(shù)”（底數(shù)直接構(gòu)造“1+無窮小量”）

法二分析：底數(shù)是“分數(shù)” （分子、分母都構(gòu)造“1+無窮小量”）

（底數(shù)分子、分母同時除以x）

（2）判斷底數(shù)，x→0 時，

法三分析：底數(shù)是“分數(shù)” （化為對數(shù)恒等式）

（考慮將函數(shù)分解為乘方的積，應(yīng)用“指數(shù)→∞”，化歸為已知模型求解）

（2）判斷底數(shù)，-x→0，其中1-x 可看作1+(x)=

3.2 自變量既不是“趨于∞”也不是“趨于0”的極限問題

分析：雖然自變量趨于常數(shù)，但對冪指函數(shù)進行判斷仍有意想不到的效果

（2）判斷底數(shù)，x→1 時，x→1→0

3.3 三角函數(shù)的冪指函數(shù)極限問題

分析：該三角函數(shù)問題也是一個冪指函數(shù)問題，

可以考慮先對指數(shù)與底數(shù)進行判斷

3.4 某些無特征的函數(shù)極限問題

分析：某些函數(shù)看起來無特征，但可以寫成冪指函數(shù)形式

4 借助思維導(dǎo)圖，整理解題方法使學(xué)習(xí)變得系統(tǒng)高效

第二個重要極限公式能夠解決指數(shù)趨于無窮大且底數(shù)趨于1 的冪指函數(shù)的極限問題。除此以外，此類冪指函數(shù)求極限也可以通過化為對數(shù)恒等式方法解決。下面借助思維導(dǎo)圖（圖1），將第二個重要極限公式解決冪指函數(shù)求極限的習(xí)題類型做一個梳理。

圖 1 利用第二個重要極限通過化歸的方法解決冪指函數(shù)求極限問題

第二個重要的極限是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點內(nèi)容，教師難教、學(xué)生難學(xué)。學(xué)生如果不理解本質(zhì)情況下機械記憶公式，解題時就容易出現(xiàn)一些誤解。如：認為只能在自變量變化趨勢是x→0 和x→∞才符合公式的適用范圍；忽略底數(shù)中的差的關(guān)系而直接套用公式；認為只有底數(shù)是“1+”的情況才能使用公式；忽略“底數(shù)-1”趨于0 的情況判斷；遇到三角函數(shù)就束手無策等。建議教師在課堂結(jié)課時進行歸納，幫助學(xué)生總結(jié)解題的誤區(qū)。借助(1+g(x))1g(x)→e 模型后，學(xué)生利用化歸的方法觀察判斷，解題就變得輕松了。通過對小學(xué)教育專業(yè)學(xué)生進行教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)此種方法很適合于高中是文科方向的學(xué)生理解和學(xué)習(xí)，在教學(xué)中也取得一定效果。