培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的核心要點(diǎn)探析

楊艷紅

（文山實(shí)驗(yàn)小學(xué)，云南 文山 663099）

數(shù)學(xué)被稱為“思維體操”，正如著名數(shù)學(xué)教育家g.Polya（1983）所強(qiáng)調(diào)的那樣，“數(shù)學(xué)是一門激發(fā)人的思維的學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)最重要的目的就是學(xué)會更聰明地思考[1]?！币虼?，數(shù)學(xué)作為發(fā)展學(xué)生思維能力最重要的學(xué)科，對思維品質(zhì)培養(yǎng)也成為數(shù)學(xué)教育最重要的任務(wù)。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂。無論是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)概念，還是解決數(shù)學(xué)問題，甚至是建構(gòu)“數(shù)學(xué)知識”，都要?dú)w功于數(shù)學(xué)的思維方法。范習(xí)昱認(rèn)為：數(shù)學(xué)思維靈活的學(xué)生可以根據(jù)新的條件，從不同角度、不同層次、不同方法迅速確定思考的方向（發(fā)散）； 能夠靈活運(yùn)用各種法則、公式、定理、規(guī)律等，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑（轉(zhuǎn)換）；能舉一反三，觸類旁通，搜尋最優(yōu)解決方案（適應(yīng)）[2]。然而，良好的思維品質(zhì)只有通過符號化、化歸、類比、建模等思想滲透，長期有效培養(yǎng)才能逐步形成。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須把基礎(chǔ)知識的教學(xué)與學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展結(jié)合起來，使每一個(gè)知識點(diǎn)的教學(xué)成為學(xué)生智力發(fā)展的階梯。教師在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中，應(yīng)注意探索重要的思維品質(zhì)，并以滲透數(shù)學(xué)思維方法為契機(jī)，使學(xué)生的思維品質(zhì)在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識過程中得到發(fā)展。

1 挖掘符號化思想，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素說：“什么是數(shù)學(xué)？ 數(shù)學(xué)是符號和邏輯?！币虼?，數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)中起著重要的作用。只要一個(gè)受過小學(xué)教育的人面對一個(gè)更常見的數(shù)學(xué)公式：C=πD，他就知道這意味著什么，不管他來自哪里。數(shù)學(xué)的符號語言可以在任何地方使用，無論國家或種族，并成為國際公認(rèn)的語言。

首先對實(shí)際問題的理解用數(shù)學(xué)符號表達(dá)； 其次符號思維本質(zhì)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是充分把握每一個(gè)數(shù)學(xué)符號的豐富內(nèi)涵和現(xiàn)實(shí)意義。 因此，無論是操作符號、元素符號、組合符號、關(guān)系符號等，都要注意以上兩點(diǎn)。 例如：在教學(xué)數(shù)學(xué)符號“10”的認(rèn)識時(shí)，讓小朋友體驗(yàn)與每個(gè)人一雙手的手指數(shù)“同樣多”的物體個(gè)數(shù)，都能用符號“10”表示。 同時(shí)還讓小朋友看著“10”與具體的圖片舉實(shí)例加以說明，如：說出10 個(gè)手指、10 個(gè)小朋友、10 朵花、10 輛汽車等等。在具體情境中感知10，能夠理解并運(yùn)用符號表示出10。對于小學(xué)階段，一年級的數(shù)的認(rèn)識是培養(yǎng)符號意識的基礎(chǔ)，它幫助學(xué)生逐漸認(rèn)識可以抽離具體情境使用符號進(jìn)行運(yùn)算。進(jìn)而在高年級才能進(jìn)一步理解符號的使用、用數(shù)學(xué)符號表達(dá)與思考。

小學(xué)生把客觀事物和現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)符號是不容易的。 因?yàn)榉柣且粋€(gè)從具體到表現(xiàn)，再到抽象再到符號化的過程。因此，逐步培養(yǎng)小學(xué)生的抽象概括能力是很有必要。例如，在應(yīng)用教學(xué)中，經(jīng)常要求學(xué)生找出關(guān)鍵點(diǎn)，在描述復(fù)雜關(guān)系時(shí)，訓(xùn)練學(xué)生集中分析、提煉數(shù)量關(guān)系。它不僅有利于解決問題，而且能不斷提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯思維能力，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

像這樣5+□＜9 一個(gè)簡單的不等式：如果低年級學(xué)生做，“□”可以填（0、1、2、3）許多個(gè)自然數(shù)，如果高年級學(xué)生來做，可以說這意味著無數(shù)個(gè)的數(shù)（取值范圍為0 ≤□＜3）可用字母代替。學(xué)生便可看出：當(dāng)用字母表示數(shù)，這個(gè)字母都能包含多個(gè)數(shù)。 我們深深地意識到，符號可以變直觀為抽象，以其濃縮的形式表達(dá)很多信息。 同時(shí)，符號化的使用可以大大簡化推理過程，加快思維過程，提高單位時(shí)間的計(jì)算效率。

在教學(xué)中有意識地挖掘“符號化”思想，就能為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)基礎(chǔ)，發(fā)展邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2 巧用化歸思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思維方式之一。所謂“化歸”，可以理解為“轉(zhuǎn)化”與“回歸”的含義。 作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，在教學(xué)中要注意并正確運(yùn)用“轉(zhuǎn)換思維”，它不僅能促進(jìn)學(xué)生對事物發(fā)展過程的把握，而且能加深對事物內(nèi)部結(jié)構(gòu)、本質(zhì)屬性、縱橫關(guān)系的理解，事物的數(shù)量特征。例如：

2.1 巧用已知定律轉(zhuǎn)化繁瑣計(jì)算，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律

這四個(gè)計(jì)算問題中的大多數(shù)，雖然正確的結(jié)果可以按照通常的計(jì)算順序逐步計(jì)算，但由于數(shù)據(jù)較大，往往比較復(fù)雜。 如果能利用常值數(shù)據(jù)變換使其結(jié)構(gòu)符合一定的“模型”，并且適合于利用所學(xué)的規(guī)律和性質(zhì)來求解。

如：計(jì)算1.25×32×0.25

當(dāng)32 分解為8×4 時(shí)，使用交換律和結(jié)合律是非常方便的。 將第二個(gè)因數(shù)20 變形為（19+1），用乘法分配律解答比較方便。

2.2 巧用“變形計(jì)”轉(zhuǎn)化面積計(jì)算，突出化歸思想

對于一些復(fù)雜的組合圖形，可以通過旋轉(zhuǎn)、平移、折疊、裁剪、填充等方法對原始圖形進(jìn)行變換，使原始問題清晰明了，自然解決。

例如：如下圖1 所示，已知大三角形的面積為36 平方厘米，計(jì)算圓形內(nèi)小三角形的面積。

圖 1

圖2

在圖1 中，很難看出大小三角形之間的面積關(guān)系。如果把圓形內(nèi)小三角形“旋轉(zhuǎn)”180°得到圖2，將容易看出4 個(gè)完全一樣的小正三角形。這時(shí)，答案自然生成。小正三角形的面積是36÷4 ＝9（cm2），有效地挖掘了數(shù)形結(jié)合這一核心素養(yǎng)。

在小學(xué)教科書的內(nèi)容中，除了長方形和正方形的面積計(jì)算公式外，還將其它平面圖形的面積計(jì)算公式是通過轉(zhuǎn)化成已學(xué)習(xí)圖形和等積變形的方法推導(dǎo)出來的。 在實(shí)際教學(xué)中，教師要抓住機(jī)會，利用這些圖形的等積變形，對其進(jìn)行改造和思想轉(zhuǎn)移。

2.3 巧用數(shù)量轉(zhuǎn)化思想，打破定勢思維

小學(xué)階段的有些習(xí)題，按平時(shí)解題習(xí)慣將已知數(shù)量進(jìn)行分析組合，總是覺得困難重重，甚至是苦于“條件不足”。但如果打破之前的定勢思維，由此及彼，從一個(gè)嶄新的視角去分析題目中的數(shù)量關(guān)系，就能找到正確解題思路。

如：圖3 是一堵直角梯形的墻面。涂陰影部分用去涂料3 千克。如果按照這樣計(jì)算，涂完這堵墻面需用涂料多少？

圖 3

按照常規(guī)解題思路，要通過面積，單位量，總量之間的關(guān)系解答，必須先算出墻面面積。但從已知條件入手，按慣性思維將一籌莫展。假如另辟蹊徑，先求陰影部分面積與整個(gè)墻面面積的比，再根據(jù)陰影部分用去涂料3 千克這一已知量，推算出整個(gè)墻面用去涂料的總量，方可輕而易舉地達(dá)到解答。

陰影部分面積∶整個(gè)梯形面積=

3 滲透類比思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是具體形象思維較強(qiáng)，抽象邏輯思維處于逐步形成的階段。發(fā)展思維的著眼點(diǎn)應(yīng)該是“逐步過渡”。因此，在教學(xué)過程中，更多地運(yùn)用重視比較、推理、猜想能力的培養(yǎng)，滲透類比思想。通過知識的相似點(diǎn)、同一知識變式、計(jì)算方法、應(yīng)用題中某些條件進(jìn)行變換比較，在思想上確定這一事物與另一事物，或者這種特征與另一種特征的相同點(diǎn)或不同點(diǎn)的過程，揭示科學(xué)概念，認(rèn)識事物本質(zhì)的有效思維方法。

3.1 對相似的不同知識點(diǎn)進(jìn)行比較

3.2 對同一數(shù)學(xué)知識進(jìn)行變式比較

梯形概念教學(xué)時(shí)，演示以下變式圖：

“只有一組對邊平行的四邊形”叫梯形。在正常教學(xué)中，我們通常用標(biāo)準(zhǔn)位置來解釋梯形。這樣，學(xué)生會被非本質(zhì)屬性蒙蔽，導(dǎo)致產(chǎn)生認(rèn)知概念的錯(cuò)誤。把圖（2）（3）（4）這幾種位置的圖形理解為不是梯形。在教學(xué)梯形概念時(shí)，教師要有意識地出示圖（3）兩條左右平行邊，兩條長的在上，短的在下平行邊的圖（2），兩條傾斜的平行邊圖（4）等，通過觀察比較，學(xué)生可以理解圖（2）（3）（4）的位置雖然是不同的，但它們的本質(zhì)屬性都是“只有一組對邊平行的四邊形”，也都是梯形的。促使學(xué)生能進(jìn)一步全面、正確地掌握梯形的概念。

3.3 對不同的計(jì)算方法進(jìn)行比較

在教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，找出最佳的計(jì)算方法，使學(xué)生思維更具靈活性。

3.4 借題發(fā)散對條件進(jìn)行變換比較

對應(yīng)用題中某些條件與結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q比較。如：學(xué)生學(xué)習(xí)解決分?jǐn)?shù)問題的知識后，出示這樣一道應(yīng)用題：“一堆煤，原計(jì)劃每天燒3 噸，可以燒96 天，改建爐灶后，實(shí)際每天只燒煤2.4 噸，這堆煤實(shí)際可以燒多少天？”要求保持解題結(jié)果不變，改變“實(shí)際每天只燒2.4 噸”這一個(gè)條件，學(xué)生思考后得出以下幾種說法：

通過這種轉(zhuǎn)化和比較，不僅深化學(xué)生所學(xué)知識，而且在解答應(yīng)用題的過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

由此可見，類比思想應(yīng)用得法，學(xué)生就能觸類旁通，對數(shù)學(xué)知識理解的就更加深刻，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，拓展思維空間。

4 建構(gòu)模型思想，激發(fā)數(shù)學(xué)意識

數(shù)學(xué)模型是將一類具有共同屬性或特點(diǎn)的事物用數(shù)學(xué)語言符號來表達(dá)，并將日常生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的一種思維方法。

以執(zhí)教《小數(shù)除以整數(shù)的小數(shù)除法》一課為例，通過設(shè)計(jì)具體的操作活動(dòng)，完成從實(shí)物到模型的過度，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想，幫助學(xué)生理解小數(shù)除法筆算的算理。教學(xué)伊始，創(chuàng)設(shè)學(xué)生身邊的情境，我校組織圖書義賣活動(dòng)，“跳蚤書市在義賣活動(dòng)中，四個(gè)小伙伴合作收獲了45.4 元，現(xiàn)在要平均分給四個(gè)小伙伴”，思考怎么分，從而將問題轉(zhuǎn)化為將45.4元平均分成四份的數(shù)學(xué)問題，在這里為學(xué)生提供學(xué)具——實(shí)物模型“人民幣”，進(jìn)行“分錢”的探究活動(dòng)，旨在通過具體的探究活動(dòng)，借助“人民幣”了解“分”的過程。也許有老師會認(rèn)為五年級的學(xué)生了，沒有必要感受分的過程，直接對豎式進(jìn)行講解就可以了。但通過對學(xué)生前測結(jié)果的分析，我們看到50%的學(xué)生可能都已經(jīng)對豎式有所了解了，但只有不足10%的學(xué)生能夠講清楚豎式中每一步所代表的含義。說明“會做”不一定“能懂”。怎么讓學(xué)生“懂”？只有讓學(xué)生親自體會到分的過程，并能用豎式將分的過程表達(dá)出來，才能真懂。因此，必須強(qiáng)調(diào)的是，每個(gè)人的錢都要放在相應(yīng)的位置，并邊分邊用豎式記錄，為了幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在為學(xué)生提供實(shí)物學(xué)具時(shí)，精心設(shè)計(jì)了人民幣每張的面值：4 張10 元、5 張1 元、4 張一角的人民幣樣幣學(xué)具，旨在制造矛盾沖突——學(xué)生在動(dòng)手分的過程中，分10 元的過程很快，但分1 元時(shí)遇到問題了，5 元錢平均分給4 個(gè)人，每人1 元，還剩一張1 元，怎么繼續(xù)分呢，豎式到這里也沒法再進(jìn)行記錄，怎么辦？這時(shí)候有的學(xué)生找老師幫忙了?！袄蠋熌芙o我們換零錢嗎？”當(dāng)從老師處換到了10 個(gè)1 角的硬幣時(shí)，學(xué)生切身體會到“一元換10 角”“10 角與剩下的4 角合為14 角”的過程，而這個(gè)過程記錄到豎式中，學(xué)生對豎式的這部分也了然于胸。換完錢才能繼續(xù)分，每人3 角，還剩下2 角。學(xué)生又把2 角換成20 分后繼續(xù)分，最后每人分到11.35 元。由于整個(gè)分的過程都按照要求記錄在豎式中，所以學(xué)生對于豎式的算理也有了初步理解。

初步理解筆算算理的基礎(chǔ)上，再追問，讓學(xué)生領(lǐng)悟并掌握其內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生以小組形式到黑板前面演示時(shí)，把分錢的過程和相應(yīng)豎式的每一步一一對應(yīng)起來。此時(shí)，循序漸進(jìn)的提問直接指向問題的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生理解算理。如，當(dāng)學(xué)生分錢剩下1 元時(shí)，追問：“剩下1 元怎么分？”學(xué)生答“把1 元換成10 角?！弊穯枺骸盀槭裁匆獡Q成10 角?”“因?yàn)槭Ｏ碌? 元不夠每人再分1 元了只能換成10 角和剩下的4 角合起來繼續(xù)分，每人分3 角?！痹僮穯枺骸霸谪Q式中怎么記錄每人分到的這3 角錢？”這個(gè)問題旨在突破該課的重點(diǎn)問題——小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該點(diǎn)在什么位置。（生：3 角應(yīng)該寫在十分位上），小數(shù)點(diǎn)位置自然水到渠成。經(jīng)歷整個(gè)分錢的過程和除法豎式的完美結(jié)合，學(xué)生對算理的理解十分清晰明了。接著，繼續(xù)請別的學(xué)生到前面指著豎式再次回憶分錢的過程，又幫助所有學(xué)生回顧、加深理解的過程。正是因?yàn)閷W(xué)生親自經(jīng)歷了分錢、換錢的過程，并且邊分邊記錄，才會對算理有更清晰的認(rèn)識，對算法也才會更熟練地掌握，同時(shí)也在學(xué)生心理埋下了建模思想的種子。

接下來，從實(shí)物模型過渡到半抽象模型（如圖4），要求學(xué)生運(yùn)用新學(xué)到的知識解決生活中問題，不僅為學(xué)生提供實(shí)物模型，還為學(xué)生提供半抽象模型，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)模型與豎式，領(lǐng)悟豎式的算理與算法，這樣從實(shí)物模型過渡到半抽象模型，再到豎式的算理與算法的過渡也符合學(xué)生的心理特點(diǎn)，使學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過程。

圖 4

此案例，可以看到對于學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)階過程中，經(jīng)歷了實(shí)物直觀、動(dòng)手操作、質(zhì)疑解惑、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想、完成實(shí)物模型到半抽象模型的過渡、進(jìn)而了解和掌握知識本質(zhì)的過程。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師應(yīng)做到：一是為學(xué)生提供熟悉的生活情境，促使學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生解決問題的欲望；二是精心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引發(fā)矛盾沖突，促使學(xué)生深入思考，解決矛盾沖突；三是為學(xué)生提供有價(jià)值的學(xué)具，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想，激發(fā)數(shù)學(xué)意識。

教學(xué)實(shí)踐證明，教師的視野與境界決定孩子的高度。數(shù)學(xué)教師是否具有“數(shù)學(xué)建?！钡囊曇昂汀皵?shù)學(xué)建?！钡木辰?， 注重?cái)?shù)學(xué)建模的理念，注重?cái)?shù)學(xué)思維的課堂教學(xué)， 正是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素質(zhì)“用數(shù)學(xué)思考、用數(shù)學(xué)看、用數(shù)學(xué)語言說”的內(nèi)涵要求。學(xué)生從中所獲得的思維方法以及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，必將成為日后孵化出更高數(shù)學(xué)能力的營養(yǎng)成分，最終促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的長足發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維方法的內(nèi)涵非常豐富。數(shù)學(xué)思維方法的滲透過程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要過程。 因此，作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該把小學(xué)教材中涉及的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來。恰當(dāng)運(yùn)用符號化，化歸，建模等教學(xué)策略，不斷向小學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思維方法，促進(jìn)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)由“量變”向“質(zhì)變”的飛躍。