單指標(biāo)混合效應(yīng)模型的有效估計(jì)及變量選擇

闕 燁

（淮南師范學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 淮南 232038）

混合效應(yīng)模型廣泛應(yīng)用于分析相關(guān)數(shù)據(jù)，如縱向數(shù)據(jù)和重復(fù)測量數(shù)據(jù)等。Pang 和Xue(2012)[1]討論了單指標(biāo)混合效應(yīng)模型在縱向數(shù)據(jù)下的估計(jì)方法，使用調(diào)整邊界效應(yīng)的估計(jì)方程得到單指標(biāo)部分的估計(jì)，同時(shí)使用局部線性光滑的方法估計(jì)聯(lián)系函數(shù)。而單指標(biāo)模型首先考慮P 維協(xié)變量X 的線性組合，把所有的協(xié)變量投影到一個(gè)線性空間上，然后在這個(gè)一維線性空間上擬合一個(gè)一元函數(shù)。由于指標(biāo)β0TX 合并了X 的維數(shù)，把P 維協(xié)變量降到一元指標(biāo)，從而使得單指標(biāo)模型避免了多元非參數(shù)回歸中出現(xiàn)的“維數(shù)災(zāi)禍”問題。鄒清明(2008)[2]研究了單指標(biāo)模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題。Ma 等(2014)[3]研究了部分線性單指標(biāo)模型在重復(fù)測量數(shù)據(jù)下的估計(jì)問題，并利用多項(xiàng)式樣條近似非參數(shù)函數(shù)，利用二次推斷函數(shù)估計(jì)線性參數(shù)部分。Wang 和Wang(2015)[4]討論了單指標(biāo)預(yù)測模型中發(fā)散指標(biāo)參數(shù)的樣條估計(jì)與變量選擇問題。關(guān)于參數(shù)估計(jì)和變量選擇的文獻(xiàn)還有很多，具體可參看文獻(xiàn)[5-7]，而本文主要研究單指標(biāo)混合效應(yīng)模型的估計(jì)和變量選擇問題：

式中，β0是p×1 維指標(biāo)系數(shù)向量，bi是零均值且協(xié)方差矩陣為D（這里D 是正定矩陣）的獨(dú)立q×1 隨機(jī)效應(yīng)向量，g(·)是未知聯(lián)系函數(shù)，εij具有零均值和方差σε2＞0 的獨(dú)立隨機(jī)向量，隨機(jī)變量Xij和Yij可以被觀測，Zij為固定設(shè)計(jì)矩陣。假設(shè)bi和εij相互獨(dú)立。

1 估計(jì)方法及理論結(jié)果

設(shè)Yi=(Yi1,…, Yim)T，Xi= (Xi1, …, Xim)T，G(Xiβ0) =εim)T。那么，通過變換可以將模型（1）表示成如下的形式：

初值β0可以模擬線性模型獲得，接下來將給出G(·)，β，的估計(jì)過程。

1.1 估計(jì)非參數(shù)分量

令Ui=Xiβ0，使用B 樣條將聯(lián)系函數(shù)G(Ui)近似表示為G(Ui)=(g(Ui1),…, g(Uim))T= Bi(Ui)c，則（2）式可以表示為, …, n。這里，得到

1.2 參數(shù) β的估計(jì)

接下來將給出參數(shù)β 的估計(jì)值。為了模型的可識別性，根據(jù)薛留根（2012）[12]，假設(shè) β =1，且它的第一個(gè)非零元素為正數(shù)，更多細(xì)節(jié)可參看Lin 和Kulasekern（2007）[13]。因此在假設(shè) β =1 下關(guān)于β極小化目標(biāo)函數(shù)：

1.3 方差的估計(jì)

參數(shù)和非參數(shù)部分的估計(jì)量的漸近方差依賴于方差分量，因此本節(jié)討論方差部分的估計(jì)值，所使用的估計(jì)方法類似于Pang 和Xue（2012）[1]和薛留根（2012）[12]。假設(shè)模型（1）的協(xié)方差矩陣為向量，并假設(shè)殘差的均值為0，且與g(·)具有相同的協(xié)方差陣，bi和εij服從正態(tài)分布，因此可以得到Y(jié)i～N(G(Xiβ0),V )，用β0和g(·)的最終估計(jì)結(jié)果β?和g?*(·)代替，能夠獲得的正態(tài)似然函數(shù)：

1.4 變量選擇研究

變量選擇是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析必不可少的工具。在實(shí)例應(yīng)用中，真模型常常預(yù)先是未知的，一個(gè)欠擬合的模型會產(chǎn)出有偏差的估計(jì)和預(yù)測值，一個(gè)過擬合的模型會降低參數(shù)估計(jì)和預(yù)測的效率，因此在最終模型中一些不重要的變量應(yīng)該被忽略以提高模型的擬合精度。本文采用平滑剪切絕對偏差（SCAD）規(guī)則化方法研究模型（1）的變量選擇問題。利用SCAD 懲罰，定義懲罰最小二乘目標(biāo)函數(shù)Lps(β0, c)=和G(Ui)的懲罰多項(xiàng)式樣條估計(jì)可分別定義為β?PS=

1.5 理論結(jié)果

定理1 在附錄（A1）-（A6）的條件下，有

2 數(shù)值模擬

例 考慮如下形式的模型：

其 中β0=( 3 ,1, 0.5, 0,0,0,0,0,0,0)T，Xij是10 維隨機(jī)變量且Xij～U(0, 2)，bi～N(0, 1)，εij～N(0, 0.16)，g(u)=16(u-1)2，Yij可以從（4）式中產(chǎn)生。樣本的觀察數(shù)n 分別取50,100,150，且每個(gè)個(gè)體的重復(fù)測量數(shù)為5。在模擬的過程中，通過擬合線性模型得到參數(shù)的初值β0。

表 1 估計(jì)值β?與真實(shí)值β0 的內(nèi)積的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

圖 1 g(·)的實(shí)際曲線和估計(jì)曲線圖

圖 2 g?(·)的500個(gè)RMSEs的箱線圖

當(dāng)n=100，圖1 給出了g(u)=16(u-1)2的實(shí)際曲線圖和估計(jì)曲線圖，可以看出估計(jì)曲線圖和實(shí)際曲線圖是幾乎吻合的，說明了上述估計(jì)方法在數(shù)據(jù)模擬方面是優(yōu)良的。圖2 給出了n=100 的情況下g?(·)的500 個(gè)RMSEs 值的箱線圖，從圖形中可以看出RMSE 的值非常小。最后，通過模擬得出σb2和σε2的估計(jì)值分別是0.886 3 和0.192 2。

最后，我們通過數(shù)值模擬來研究1.4 節(jié)中提出的變量選擇方法（SCAD），類似于Li 和Liang（2008）[15]，我們用GMSE（廣義均方誤差）來評價(jià)參數(shù)分量β?的估計(jì)精度，其定義為GMSE= (β?-β0)TE (ZZT)(β?-β0)，并 且 利 用 平 均 平 方 誤 差 的 平 方 根（RASE）來評價(jià)非參數(shù)分量的估計(jì)精度，其定義為N 為用于計(jì)算g?(u)的格子點(diǎn)，取N=200。我們使用1.4 節(jié)提出的基于SCAD 的變量選擇方法進(jìn)行研究，基于200 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，關(guān)于參數(shù)分量和非參數(shù)分量的模擬結(jié)果如表2 所示。其中“C”表示把真實(shí)零系數(shù)估計(jì)成0 的平均個(gè)數(shù)，“I”表示把真實(shí)非零系數(shù)估計(jì)成0 的平均個(gè)數(shù)。

從表2 可以看出，隨著樣本容量n 的增大，基于變量選擇方法的結(jié)果越來越接近于真實(shí)模型，并且對應(yīng)參數(shù)分量的GMSE 和對應(yīng)非參數(shù)分量的RASE 均隨著n 的增加而減小。

表 2 基于SCAD 的變量選擇結(jié)果

3 附錄

下列正則條件將用于定理的證明。

（A1）協(xié)變量X, Z 是有界的。

（A2）未知聯(lián)系函數(shù)g(·)的二階導(dǎo)數(shù)是有界連續(xù)的。

（A3）存在常數(shù)r = max{4, s}，使得E( Xiir)＜∞，E( bir)＜∞和E( εiir)＜∞。

（A4）令γii= αi+ εii，表示第r 個(gè)個(gè)體的誤差值，且存在常數(shù)c0使得E[γ2]≤c0＜∞。

（A5）對任何i，(XiT1β,…, XiTmβ )T的聯(lián)合密度存在；對任何j1≠j2，βTXij的邊際密度fj(u)和(XiTj1β, XiTj2β )的聯(lián)合密度fj1j2(u, s)分別在u0∈Uw和(u0, so∈Uw×Uw)處是連續(xù)可微的；存在某個(gè)j 使得fj(u)在u∈Uw和接近β0的β 點(diǎn)上一致有界的遠(yuǎn)離0，其中Uw是w(u)的支撐集。

為了證明定理1，我們引用Mack 和Silverman（1982）[16]中的結(jié)果。

引理1設(shè)(ξ1, η1),…(ξn, ηn)是iid 隨機(jī)變量，其中ηi是一維隨機(jī)變量，進(jìn)一步，假設(shè)＜∞和合密度函數(shù)。設(shè)K (·)是具有有界支撐的有界正函數(shù)，并滿足Lipschitz 條件。如果對某個(gè)τ＜1 - s-1，有n2τ-1h →∞，則

定理1的證明 設(shè)c 表示任意正的常數(shù)，引用引理1 可以證得：對u∈Uw和β∈Bn一致成立

定理2 的證明該證明過程由定理1 和薛留根（2012）[12]中定理9.3.2 推導(dǎo)可以得出，因此省略該過程。

定理3 的證明定理3 的證明方法和Pang 和Xue（2012）[1]中定理3 的方法相似，因此省略其證明過程。