基于問題解決理論的“數(shù)學分析”概念教學模式探究
——以“曲率”概念教學為例

李榮玲

（滇西科技師范學院 數(shù)理學院，云南 臨滄 677000）

1 引言

人類認識世界和改造世界的過程就是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程[1]。《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》中明確指出，高等教育要“著力培養(yǎng)信念執(zhí)著、品德優(yōu)良、知識豐富、本領過硬的高素質專門人才和拔尖創(chuàng)新人才”，其核心就是要培養(yǎng)具有用馬克思主義思想、觀點和方法發(fā)現(xiàn)并解決問題的高素質研究型創(chuàng)新人才。“數(shù)學分析”是高等院校數(shù)學專業(yè)的核心基礎課之一，由于其概念性強、內容高度抽象以及邏輯推理嚴謹?shù)忍攸c，在培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力方面始終起到不可替代的作用。為此，國內不少專家學者對數(shù)學分析課程改革進行了積極探索，但從現(xiàn)有的研究成果上看，研究者關注的重點多放在教學的內容上，而對教法的研究相對較少。教學實踐中，教師重視了授“魚”，忽略了授“漁”，包辦了提出問題、分析問題、解決問題全過程。教師把教學重點放在講授“是什么”上，而忽略了“哪里來”“怎么辦”“為什么”“ 是什么會引起什么” 以及“ 不是什么會是什么” 等問題，教師代替了學生對數(shù)學知識的抽象過程，代替了對問題的提出和問題解決過程的思維體驗。也就無可避免地出現(xiàn)學生學完“數(shù)學分析”課程，還認為0.9˙≈1 的情況了[2]。凡此種種，對于我們培養(yǎng)“具有用馬克思主義思想、觀點和方法發(fā)現(xiàn)并解決問題的高素質研究型創(chuàng)新人才”極為不利，也不得不說是“數(shù)學分析”課程教學的一大“憾事”。因此，以問題解決教學理論指導“數(shù)學分析”概念教學，對于培養(yǎng)學生創(chuàng)新性思維，進而提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力具有重要而深遠的意義。

2 問題解決教學一般理論

國外對問題解決理論研究最早開始于20 世紀初期，20 世紀80 年代開始，隨著國內教育教學改革不斷深入，國內專家學者對問題解決教學理論開始廣泛研究，并取得較為豐碩的成果。所謂問題，指的是個體想做某件事情，但不能馬上知道對這件事所采取的一系列行動的一種情景（Newell, A. and Simon）。所謂問題解決，指的是由一定情境引起的，按照一定的目標，應用一系列認知活動和技能等，經過一系列思維操作，使問題得以解決的過程[3]。所謂問題解決教學，指的是教師有效指導學生提出問題、分析問題、解決問題，幫助學生主動地獲取知識、應用知識、解決問題的一種教學方式，其核心是學生個體主動建構、進而進行有意義學習。從學生問題解決學習方式的角度，問題解決教學設計的類型主要有知識接受型設計、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型設計以及課題研究型設計三種[4], 三種教學設計無好壞優(yōu)劣之分，而是依據(jù)不同教學內容所選擇的不同的設計模式，其核心是使學生完整體驗提出問題、分析問題、解決問題、產生遷移的思維過程，進而達到提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力的目的。

3 數(shù)學分析中概念的問題解決教學模式——以“曲率”概念教學為例

根據(jù)問題解決理論，“數(shù)學分析”中概念的問題解決教學模式可歸結為五個步驟：（1）創(chuàng)設實踐情境、提出問題；（2）激活認知結構、分析差距；（3）探索問題障礙、尋找突破；（4）驗證解決方案、得出定義；（5）強化過程反思、形成圖式。現(xiàn)以“曲率”概念教學為例，借以闡釋此教學模式。

3.1 創(chuàng)設實踐情境、提出問題

“曲率”概念的核心就是用于闡釋曲線的彎曲程度。教師通過學生常見的“彎曲”曲線（見圖1），誘導學生提出問題。即，如何比較圖1 中點A、B、C 三點的彎曲程度，進一步思考并提出“如何定量描述‘彎曲程度’”的問題。

圖 1 彎曲公路圖

3.2 激活認知結構、分析差距

教師給出一條光滑的曲線弧段，先確定兩點M1，M2過兩點分別作切線，此時，兩條切線之間有一個夾角，記作Δα1，再取定第三點M3，做切線，與第二條切線又構成另一個夾角Δα2（如圖2）。

圖 2 “弧段彎曲程度越大，轉角越大”示意圖

圖 3 “轉角相同，弧段越短彎曲程度越大”示意圖

此時，教師可通過組織學生開展小組合作學習，通過充分激活學生認知結構，探究規(guī)律。通過觀察，使學生分析歸納出第一個結論：弧段彎曲程度越大，轉角越大。同理，再給出兩條光滑的曲線弧段，這兩條曲線段，有兩條共同的切線，即有相同的轉角，但是弧長明顯不同（如圖3）。學生通過不斷觀察并總結出規(guī)律。即，弧長越長彎曲程度越小，弧長越短，轉角越大。進而得出第二個結論：轉角相同，弧段越短彎曲程度越大。

3.3 探索問題障礙、尋找突破

有了上述兩個基本結論作為基礎，學生可逐步認識到，曲線的彎曲程度是由轉角來刻畫的，而造成轉角的變化就是基于弧長的變化。因此，考察曲線的彎曲程度就是考察以弧長為變量的轉角函數(shù)，即y = α (s)。與此同時，教師要適時提出“距離上的彎曲程度”和“點上的彎曲程度”兩個概念，使學生在頭腦中逐步建立起曲率概念的本質的概念意向——“點上的彎曲程度”——函數(shù)在局部性態(tài)。教學中，適時激活學生 “微分思想”認知結構，進而提出解決問題的基本思路：“作自變量的改變量，考察因變量改變量與自變量改變量之比的極限”。

3.4 驗證假設、得出結論。

設曲線C 是光滑的，|MM′|=|Δs|，M→M′ 切線轉角為|Δα|，（如圖4）

圖 4 點M曲率推導示意圖

圖 5 拋物線各點曲率直觀圖

3.5 強化過程反思、形成圖式

基于問題解決理論開展教學，強化過程反思是關鍵環(huán)節(jié)。要通過曲率概念知識產生過程“現(xiàn)實問題”——“數(shù)學化”——“嚴密數(shù)學推理”——“得出結論”的過程反思，并通過應用舉例，把“曲率”納入學生認知結構中，最終形成圖式。

4 結語

數(shù)學分析中的概念大致可以分為兩類，一類為直接源于生活實踐的概念，如極限、連續(xù)、導數(shù)、定積分、曲率等；另一類為數(shù)學概念再抽象概念，如一致連續(xù)、一致收斂、廣義積分、極值點、拐點等。但無論是哪一種概念，都具有很強的“ 實踐性” 特征[5]，都可以通過用問題解決教學理論來指導教學，達到即掌握概念本身、又提高問題解決能力，進而培養(yǎng)學生用實踐的觀點、生活的觀點等馬克思主義認識論解決現(xiàn)實問題的思維，培養(yǎng)學生學會用馬克思主義思想、觀點和方法解決問題的能力。