“起承轉(zhuǎn)合”——“圖形的測量”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)四部曲

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)就是學(xué)生將所學(xué)集結(jié)后，構(gòu)筑新的結(jié)構(gòu)并潛移默化，形成個人的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。“圖形的測量”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是通過“起承轉(zhuǎn)合”四部曲，形成學(xué)習(xí)的整體過程，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，形成整體教學(xué)結(jié)構(gòu)，循環(huán)推進(jìn)，專注提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí);圖形的測量;關(guān)聯(lián);連續(xù);循環(huán)

所謂結(jié)構(gòu)化，是指將逐漸積累起來的知識加以歸納和整理，使之條理化、綱領(lǐng)化，做到綱舉目張。從漢語詞典來看，結(jié)即集結(jié)，構(gòu)即構(gòu)筑，化即潛移默化。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，即為將所學(xué)集結(jié)后，構(gòu)筑新的結(jié)構(gòu)并潛移默化。

美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)就是從數(shù)學(xué)知識的本原出發(fā)，著眼于數(shù)學(xué)整體知識的建構(gòu)，通過對學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)部各關(guān)鍵元素之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)分析，建立起課時內(nèi)容與同單元其他課時內(nèi)容、同領(lǐng)域其他單元內(nèi)容、同學(xué)科其他領(lǐng)域內(nèi)容以及學(xué)科外世界的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)分析，做到縱向連貫，橫向融通，不斷豐盈課時內(nèi)容的深刻內(nèi)涵和豐富外延，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從由外而內(nèi)的結(jié)構(gòu)理解，到由內(nèi)而外的創(chuàng)生發(fā)展。

文章作法講究“起承轉(zhuǎn)合”。“起”是開始;“承”是“起”的延續(xù)，尋找既能承接“起”，又能啟下的元素;“轉(zhuǎn)”跟“承”有情緒邏輯上或事實(shí)邏輯方面的關(guān)系;“合”將做情緒、邏輯、意義上的揭示和升華。寫文章如此，“圖形的測量”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)亦如此。

一、 起——溯源：回到本源，聚焦測量本質(zhì)

史寧中教授指出，度量就是計算所要度量的圖形包含多少個度量單位。王林、沈重予主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)》中進(jìn)一步闡述了測量的方法：“測量的本質(zhì)就是用具有同一屬性的測量單位去填充、覆蓋或匹配。”從中可以看出，圖形的測量本質(zhì)是數(shù)出有多少個度量單位的累加。如測量長度就是測量多少厘米、分米、米的累加，測量面積即有多少個面積單位的累加，測量體積亦然。所以，圖形的測量初始學(xué)習(xí)起源于長度和長度單位、面積和面積單位、體積和體積單位。學(xué)生在初始階段先行認(rèn)識度量單位，才有下一步的度量單位累加。在這一階段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)驗連續(xù)，在原有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)新舊知識的無縫對接，初步建立度量單位的形象，培養(yǎng)量感。

如在“長度單位”的教學(xué)中，通常從長度的本質(zhì)出發(fā)，喚起學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗，在用不同物品測量長度、比較長度的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生產(chǎn)生統(tǒng)一度量單位的需求，同時借助身體這個天然的“度量單位”建立長度單位1mm、1cm、1dm、1m的表象，培養(yǎng)量感。學(xué)生經(jīng)歷長度度量單位的建構(gòu)過程，在豐富的測量活動中學(xué)會選擇合適的長度度量單位測量物體的長度。緊接著在豐富的觀察、找尋、測量、比較等實(shí)踐活動中，學(xué)生不僅建構(gòu)了關(guān)于長度單位的知識結(jié)構(gòu)，多元表征建立長度表象，加深對長度本質(zhì)的理解，同時也習(xí)得認(rèn)識度量單位的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。后續(xù)在學(xué)習(xí)“面積單位”“體積單位”等同質(zhì)內(nèi)容時，遷移學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)行認(rèn)知連續(xù)、經(jīng)驗連續(xù)和思想方法結(jié)構(gòu)練習(xí)，架構(gòu)起其自身結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)過程。

舉一個簡單的例子：在前兩年的試題檢測中有這樣一個問題：“根據(jù)要求畫出到點(diǎn)A的距離等于3cm的所有點(diǎn)。”這道題考查學(xué)生對圓概念的本質(zhì)特征，當(dāng)時樣本得分率僅45.67%，可見學(xué)生學(xué)習(xí)過程中對圓“一中同長”的本質(zhì)特征理解不夠，對圓概念整體建構(gòu)不到位。這樣的問題考查的是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是否圍繞本質(zhì)進(jìn)行意義建構(gòu)，這要求我們要回歸概念的本質(zhì)，重構(gòu)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。

二、 承——順應(yīng)：關(guān)聯(lián)元素，探尋測量方法

圖形的關(guān)鍵元素是點(diǎn)、線、面。如：正方形的元素有邊和角，圓的元素有圓心、半徑、直徑、圓周，而長方體的元素即頂點(diǎn)、棱和面。圖形的測量就是關(guān)聯(lián)起圖形的關(guān)鍵元素即線與面，探尋基礎(chǔ)圖形測量的一般方法。如在一維長度測量中，學(xué)生認(rèn)識了周長的含義即數(shù)出包含有幾個長度單位，周長即為幾。長方形、正方形根據(jù)其元素（邊）的關(guān)系，探尋周長的計算方法C長=2（a+b）和C正=4a;再如在初始課“長方形、正方形的面積”學(xué)習(xí)中，我們沿著長（長方形的關(guān)鍵元素）數(shù)出包含幾個1cm2的小正方形，沿著寬包含有幾行，從而通過數(shù)出填充或覆蓋長方形的度量單位有幾個，得出長方形、正方形的面積計算方法是幾（長×寬）個度量單位。同樣的，在三維立體圖形“長方體、正方體的體積”學(xué)習(xí)中，這個學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)同樣適用，沿著長、寬、高（關(guān)鍵元素）分別數(shù)出包含有幾個度量單位，從而簡便計算出所填充的度量單位的個數(shù)。從這種簡便的計量疊加度量單位的方法中，獲得測量圖形的方法：V長=abh。

這個學(xué)習(xí)階段，順應(yīng)本質(zhì)理解，關(guān)聯(lián)其關(guān)鍵元素。如在一般三角形、四邊形、五邊形等的周長計算方法即是簡便計量幾條邊分別包含有多少個長度度量單位的總和;測量長方形、正方形面積的方法也是簡便計量整個面需要填充多少個面積度量單位的疊加;長方體、正方體的體積也是如此，即數(shù)出度量單位疊加的本質(zhì)。就這樣，學(xué)生關(guān)聯(lián)關(guān)鍵元素，通過認(rèn)知練習(xí)，探求度量基本圖形的一般方法，初步形成學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，以其關(guān)聯(lián)元素，建構(gòu)起基本圖形的測量研究方法。連續(xù)經(jīng)驗、認(rèn)知及思想方法，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)、結(jié)構(gòu)化認(rèn)知和結(jié)構(gòu)化思維，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維自然發(fā)生，逐步培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的方式、習(xí)慣和觀念。

三、 轉(zhuǎn)——遷移：連續(xù)建構(gòu)，遷移測量策略

進(jìn)入這個學(xué)習(xí)階段，我們要站在學(xué)科核心素養(yǎng)視角下，厘清接下來的學(xué)習(xí)內(nèi)容的前沿后續(xù)和重要作用，充分認(rèn)識內(nèi)容之間的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，看到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和層級關(guān)系，做好相互滲透、融合和銜接，形成層次分明、不斷遞進(jìn)、便教利學(xué)的整體知識結(jié)構(gòu)。

此時，單純順應(yīng)結(jié)構(gòu)已然不夠，需要更多學(xué)習(xí)策略的遷移和轉(zhuǎn)化。例如，在平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程中，用到割補(bǔ)法。在不改變圖形面積的情況下，通過改變圖形的形狀，建構(gòu)平行四邊形的底和高與長方形的長和寬的元素關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。三角形和梯形甚至組合圖形，也采用同樣的方法結(jié)構(gòu)，在不改變圖形面積的情況下，改變圖形的形狀，建構(gòu)元素關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出面積公式，引導(dǎo)學(xué)生突破知識結(jié)構(gòu)的限制，從知識結(jié)構(gòu)走向方法結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生方法結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。學(xué)生的方法結(jié)構(gòu)一旦形成，就會具有很強(qiáng)的遷移能力和靈活的應(yīng)用能力，可以遷移到其他類似的單元問題學(xué)習(xí)中去。如，圓的面積計算公式推導(dǎo)中，在改變形狀而不改變大小的前提下，盡可能化曲為直，關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化前后圓的周長和近似長方形的長、圓的半徑和長方形的寬之間的聯(lián)系。依然是建立在關(guān)鍵元素關(guān)聯(lián)前提下，遷移轉(zhuǎn)化策略，同時滲透了化曲為直和極限思想。在構(gòu)建方法結(jié)構(gòu)的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。往下，在圓柱體體積計算學(xué)習(xí)階段，學(xué)生自然而然在不改變面積、體積的情況下，改變它們的形狀，使之變成自己學(xué)過的形體來解決，從而很容易把新知納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。方法不僅可以遷移到類似單元、類似問題學(xué)習(xí)內(nèi)容中去，還可以遷移到其他領(lǐng)域不同單元不同類型的問題學(xué)習(xí)中，

如從圖形領(lǐng)域到代數(shù)領(lǐng)域。借助圖1

利用所學(xué)的面積計算公式，探索（a+b）2=a2+2ab+b2。倘若止步于此，那還稍顯不夠，我們要和學(xué)生一起讀懂它，探究它。學(xué)習(xí)過程中再加入這樣一個問題，請計算：20212-20202。這個問題其實(shí)就是對a2-b2的探索，有的學(xué)生可能列豎式，有的學(xué)生可能用乘法分配律倒騰半天。這時候提供這樣數(shù)形結(jié)合的情境：你能看懂它的思路嗎？它是把20212-20202理解為兩個邊長分別是2021和2020的正方形面積相減，如圖2，即：

20212-20202

=2021×（2021-2020）+2020×（2021-2020）

=2021+2020

=4041

像這樣，遷移轉(zhuǎn)化策略，多元表征溝通數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，溝通幾何與代數(shù)領(lǐng)域間的連續(xù)，內(nèi)容不一樣，方法結(jié)構(gòu)是一樣的，需要遷移才能建構(gòu)起學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。

再如：學(xué)習(xí)圓柱側(cè)面積的時候，我們可以通過側(cè)面展開，同質(zhì)化長方體、正方體的側(cè)面積，并類比延伸到三棱柱、五棱柱、六棱柱等柱體的側(cè)面積。學(xué)生經(jīng)歷：側(cè)面展開（化曲為直，化體為面）——找聯(lián)系（關(guān)聯(lián)相關(guān)元素）——推結(jié)論（結(jié)構(gòu)化過程），發(fā)現(xiàn)所有柱體的側(cè)面積都可以用底面周長×高（S側(cè)=Ch）來計算。這樣的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程可以承接到柱體的體積方面，學(xué)生已有認(rèn)知和思想方法的連續(xù)，就如打通了任督二脈，思維自然發(fā)散出去，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)已然形成。這樣的遷移，可以有效打通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷完善學(xué)生的方法結(jié)構(gòu)，拓展數(shù)學(xué)思考的空間，提升數(shù)學(xué)思考的品質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

四、 合——循環(huán)：往復(fù)提升，建構(gòu)發(fā)展圖式

經(jīng)歷前面的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生已初步形成自己學(xué)習(xí)的一般化結(jié)構(gòu)。接下來就是將知識、認(rèn)知、思想方法等不斷納入自身學(xué)習(xí)體系的過程。教師所要做的就是不斷創(chuàng)造這樣的情境，便于學(xué)生自覺或不自覺地進(jìn)入往復(fù)提升的學(xué)習(xí)進(jìn)程中。如五年級學(xué)習(xí)完直線圖形的面積計算后，提供這樣的問題：S=（3+a）×5÷2，以上可能是什么圖形的面積計算公式？思考a有幾種可能？分別是什么情況？學(xué)生在這樣的知識體系梳理中，自然而然明白其內(nèi)部邏輯，建構(gòu)起整個平面圖形面積的結(jié)構(gòu)。

再如圖3，學(xué)完圓周長后，我們可以加入如“圓周長的奧秘”“圓面積的奧秘”這樣的探究活動，思考當(dāng)

d大=d小和時，C大與C小和之間的關(guān)系。學(xué)生通過化繁為簡，舉例說明、推理驗證發(fā)現(xiàn)當(dāng)d大=d小和時，C大=C小和。再延伸到圓面積的探究中，適當(dāng)留白，留待學(xué)生自主發(fā)展。創(chuàng)造這樣的探究機(jī)會，讓學(xué)生的思維在嘗試中生長，在探究中滲透思想方法，在往復(fù)循環(huán)中發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

學(xué)生在探究中觀察、舉例、表達(dá)、推理，借助多元表征，促進(jìn)經(jīng)驗碰撞、內(nèi)化與積累，建構(gòu)具有個人獨(dú)特理解特色的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展具有個人特色的結(jié)構(gòu)圖示。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段“圖形的測量”系列認(rèn)知結(jié)構(gòu)：長度（周長）—面積（長方形的面積—平行四邊形的面積—三角形、梯形、圓的面積）—體積（長方體、正方體的體積—圓柱的體積）。這里蘊(yùn)含著兩重結(jié)構(gòu)：首先，以起始課為系列的結(jié)構(gòu)一：周長—面積—體積，其結(jié)構(gòu)是通過長度、面積、體積單位的疊加，數(shù)出長度、面積、體積的本質(zhì)，從而得出基本圖形的計算結(jié)構(gòu)。其次，是以轉(zhuǎn)化策略為系列的結(jié)構(gòu)二，通過將“未知”的平行四邊形、三角形等轉(zhuǎn)化為“已知”長方形后進(jìn)行相應(yīng)的計算結(jié)構(gòu)提取。整個過程序列，學(xué)生經(jīng)歷了以下結(jié)構(gòu)化過程（如圖4）：整體分析—參與學(xué)習(xí)—建構(gòu)圖式—發(fā)展素養(yǎng)。

“圖形的測量”結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)就是通過：溯源—回到學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以元素關(guān)聯(lián)形成知識結(jié)構(gòu)，關(guān)聯(lián)主題結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識系統(tǒng);遷移方法，形成學(xué)習(xí)的策略結(jié)構(gòu);在往復(fù)提升中，整體分析從而形成完整的教學(xué)結(jié)構(gòu)。循環(huán)發(fā)展，建構(gòu)個人學(xué)習(xí)圖示。小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)就是通過知識結(jié)構(gòu)的整體分析，包括明晰聯(lián)結(jié)生活的知識產(chǎn)生過程、理解知識內(nèi)部以及知識之間的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系、調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，并在此基礎(chǔ)上回到學(xué)生真實(shí)的生活世界，引導(dǎo)學(xué)生參與挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)，建構(gòu)自己的認(rèn)知圖式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

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作者簡介：陳雪霞，福建省廈門市，廈門第二實(shí)驗小學(xué)。