拔去實驗障礙之釘，領(lǐng)略快樂發(fā)現(xiàn)之旅

王興偉

【摘 要】小學數(shù)學實驗活動是以自主探索與合作交流為主要方式的學習活動。開展數(shù)學實驗不僅有利于學生掌握和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，更有利于培養(yǎng)學生抽象、建模、創(chuàng)新等核心素養(yǎng)。本文以“釘子板上的多邊形”為例，就如何克服影響數(shù)學實驗活動的方向、方法、形式、路徑等障礙因素做了一些理論和實踐的探索。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學實驗 障礙 釘子

“釘子板上的多邊形”是一節(jié)綜合實踐活動課，是在學生已學完用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上進行教學的。由于釘子板上的多邊形面積涉及多邊形內(nèi)部釘子數(shù)、邊上釘子數(shù)和“1”三個變量之間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系比較復雜，學生在探究時往往不能從整體去考慮，顧此失彼，思維也不能得到有效提升。如何設(shè)計有效的探索活動，讓學生快樂地經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，從關(guān)注活動轉(zhuǎn)向提升思維，利用研究活動培養(yǎng)抽象和建模能力，就成了本節(jié)課的落腳點。本課，筆者采用拔釘子的手法來引領(lǐng)學生開展數(shù)學探究實驗。

一、環(huán)節(jié)一：猜想比較，拔掉選擇問題時的障礙之釘

師：同學們，今天我們一起來研究“釘子板上的多邊形”，看到這個課題，你想研究哪些項目？

學生紛紛發(fā)言，有的說想研究多邊形的面積，有的說想研究周長，還有的說想研究一個圖形有多少個釘子……

師：大家剛才說的都和多邊形面積有關(guān)。老師這里有一個釘子板，上面有一個長方形，長畫3格，寬畫2格，每相鄰兩個釘子的距離都是1厘米，用什么方法算出它的面積呢？

生1：用計算法，3×2=6平方厘米。

生2：用數(shù)方格法，一排3格，兩排是6格，就是6平方厘米。

師：除了計算和數(shù)方格的方法，還可以用釘子數(shù)來探索面積。大家猜一猜，你覺得釘子板上多邊形的面積還會和什么有關(guān)呢？

生1：可能和外部的釘子數(shù)有關(guān)。

生2：可能和邊上的釘子數(shù)有關(guān)。

生3：還有可能和內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

師：猜想只是我們研究問題的第一步，僅僅靠猜想還不夠，下面我們來對猜想進行驗證。

[設(shè)計意圖]小學生受年齡、知識和生活經(jīng)驗所限，往往對研究問題的確定存在著較大的隨意性。本課一開始，教師立足于學生的生活實際，通過對計算長方形面積方法的對比，主動給學生創(chuàng)設(shè)提問的機會，鼓勵學生猜想所研究的內(nèi)容，學生在直觀感知中思考、發(fā)現(xiàn)，從而很快確定了研究的主題。民主和諧的學習氛圍很容易激發(fā)學生對數(shù)學實驗產(chǎn)生濃厚的興趣。

二、環(huán)節(jié)二：自主體驗，拔掉構(gòu)建過程中的障礙之釘

教師提出要求：求出這4個多邊形的面積（見圖1），數(shù)出每個多邊形邊上的釘子數(shù)，填入實驗記錄單1中（見表1）。學生獨立完成后組織全班進行交流，師生展開對話。

師：誰來說說它們的面積分別是多少？多邊形邊上的釘子數(shù)又是多少？

（學生逐一匯報）

師：觀察一下這個表格中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：多邊形的面積越大，多邊形邊上的釘子數(shù)就越多。

生2：多邊形邊上的釘子數(shù)是面積數(shù)的2倍。

生3：多邊形的面積數(shù)是多邊形邊上的釘子數(shù)的一半。

師：用S表示面積，n表示邊上的釘子數(shù)，能否想個簡潔的式子來表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

生：S=n÷2。

師：這個發(fā)現(xiàn)對于所有的多邊形都適用嗎？請同學們?nèi)我猱嬕粋€圖形，數(shù)出它邊上的釘子數(shù)和面積數(shù)，快速驗證一下！

（學生任意畫一個多邊形，數(shù)出釘子數(shù)和面積數(shù)，教師再次組織全班交流）

生1：我畫的圖形邊上有8枚釘子，面積是4平方厘米，符合這個規(guī)律。

生2：我畫的圖形也符合這個規(guī)律，圖形邊上有7枚釘子，面積是3.5平方厘米。

生3：我畫的圖形不符合這個規(guī)律，圖形邊上有8枚釘子，面積是5平方厘米。（內(nèi)部有2枚釘子）

生4：我的也不符合。（內(nèi)部有3枚釘子）

師：為什么有的符合而有的不符合呢？老師將符合規(guī)律的收集起來，（實物投影出示）觀察一下，這些圖形有什么共同點？

生1：我發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，符合S=n÷2規(guī)律的多邊形內(nèi)只有一枚釘子。

生2：不符合這個規(guī)律的圖形，它里面都不是一枚釘子。

師：現(xiàn)在我們來看一下剛才的規(guī)律，你覺得需要滿足什么條件？

生：多邊形的內(nèi)部只能有一枚釘子。

師：我們用字母a表示中間的釘子數(shù)，只有當a=1時，S=n÷2才成立。

[設(shè)計意圖]教師通過開展“填表格”和“畫圖形”這兩個活動，引導學生觀察、列舉、比較，深刻理解了釘子數(shù)和面積的關(guān)系。隨著數(shù)學實驗的不斷深入，學生不斷突破原有的認知，對公式變量之間的關(guān)系逐漸清晰，繼而構(gòu)建出知識體系，思維不斷拔節(jié)，數(shù)學模型初步建立。

三、環(huán)節(jié)三：適切引領(lǐng)，拔掉合作交流中的障礙之釘

師：你們還想研究什么樣的情況呢？

生：我想研究多邊形里面有2枚釘子的情況。

師：要獲得這個規(guī)律，有兩條途徑，一條是由老師直接告訴你，另一條是由你和你的小組成員在操作中探索獲取。你選擇哪一種？

生：我們喜歡小組同學自己去研究。

教師出示實驗活動要求：每人在點子圖上只畫出1個內(nèi)有2枚釘子的多邊形。數(shù)一數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)和面積數(shù)，填入實驗記錄單2中（見表2）。然后在小組中說說自己的發(fā)現(xiàn)。

師：大家在議論什么？遇到了什么困難？

生：我們從一個數(shù)據(jù)中不太容易找到規(guī)律。

師：是啊，那如何找更多的數(shù)據(jù)呢？

生：我們將小組中的數(shù)據(jù)合起來可以嗎？

師：當然可以，那還等什么呢？

（學生高興地和小組成員熱烈地交流起來）

師：哪組同學來匯報一下你們的研究成果？為了防止忘記，我請一名同學做老師的小助手。

生1：我畫的多邊形里面有2枚釘子，邊上有6枚釘子，面積是4平方厘米。

生2：我畫的多邊形里面有2枚釘子，邊上有9枚釘子，面積是5.5平方厘米。

…………

師：我們一起觀察、比較收集到的數(shù)據(jù)，你能找尋到它們的相同之處嗎？

生1：內(nèi)部都有兩枚釘子。

生2：面積不再是S=n÷2了，后面要加上1。

師：比較內(nèi)部有1枚或2枚釘子的兩個規(guī)律，你覺得它們有什么異同點？

生：算面積時都要n÷2，一個要加1，一個不要加。

師：你覺得這個加1可能和誰有關(guān)系？

生：和內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。

[設(shè)計意圖]在這個環(huán)節(jié)，教師給出了“如何研究多邊形內(nèi)有2枚釘子規(guī)律”的研究任務后，學生發(fā)現(xiàn)必須要從大量的數(shù)據(jù)中才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，他們意識到僅靠自己無法完成，必須通過小組合作才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。實驗中，學生先個別舉例，再在小組內(nèi)搜集整理，最后全班交流。教師給足學生充分討論的時間和空間，鼓勵學生在現(xiàn)象中尋找和思考，用數(shù)據(jù)說話。當學生探究遇到困難時，教師適時介入，通過引導學生之間、組組之間互相碰撞、質(zhì)疑，最后抽象概括，發(fā)現(xiàn)第二個規(guī)律。在知識和智慧的共享中，學生的交流與合作真正發(fā)揮了作用。

四、環(huán)節(jié)四：分層疊加，拔掉獲取結(jié)論障礙之釘

師：同學們看板書，當a=1時，S=n÷2;a=2時，S=n÷2+1。請大膽猜想，你覺得a=3有怎樣的規(guī)律？a=4呢？

生1：我猜想a=3時，S=n÷2+2。

生2：我猜想a=4時，S=n÷2+3。

（教師分別板書這兩個公式，并打上問號）

師：這只是我們的猜想，還要驗證。有了剛才的經(jīng)歷，你覺得該怎樣研究呢？

生：我們像剛才一樣，先畫幾個圖形，再算一算面積，數(shù)一數(shù)釘子數(shù)，最后在數(shù)據(jù)中找相同點，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：自己選擇一種情況，先推想規(guī)律，再通過圍一圍、算一算進行驗證，把你的想法填寫在實驗記錄單3中（見表3）。

師：a還可以是什么？

生：還可以是5、6、7……

師：大膽推想一下，如果a是5規(guī)律是什么？6呢？

（學生回答規(guī)律，教師相機對應板書）

師：上述規(guī)律說得完嗎？（教師板書填上省略號）為什么當a=1時，S=n÷2后面不加呢？

生：加1后再減1等于不加了。

師：當a=0時，S會等于？

生： S=n÷2+0-1，就是S=n÷2-1。

師：當a=0，S=n÷2-1，這個規(guī)律對嗎？我們需要驗證。

（教師呈現(xiàn)圖2中2個圖形，讓學生驗證一下。學生驗證后發(fā)現(xiàn)，符合規(guī)律）

師：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么，你能用一個式子就能將這么多式子概括出來嗎？

生： S=n÷2+a-1。

（教師將所有公式都畫上一個圈，在下面板書：S=n÷2+a-1）

師：其實同學們剛剛發(fā)現(xiàn)的公式數(shù)學上叫“皮克定理”，我們今天和皮克一樣，研究發(fā)現(xiàn)了這個定理，真了不起！

[設(shè)計意圖]在這個結(jié)論的抽象過程中，教師逐層疊加，讓學生完成抽取結(jié)論的“四部曲”——首先讓學生猜想和驗證內(nèi)部有3枚、4枚釘子的規(guī)律，接著引導學生把概況得到的規(guī)律合情推理，類比推廣到內(nèi)部有5枚、6枚乃至更多枚釘子，然后再引導學生從反面來理解規(guī)律，通過探討“當a=0時，S會等于什么”，呈現(xiàn)2個相應的圖形來驗證，最后把上述探究的規(guī)律高度凝練和簡潔化。當學生發(fā)現(xiàn)只要用一個公式就可以表示所有的規(guī)律時，他們驚嘆于數(shù)學的神奇，進而有效建立了數(shù)學系統(tǒng)思維，領(lǐng)略到數(shù)學的簡潔美。

在以上教學過程中，教師從認知的源頭出發(fā)，讓學生經(jīng)歷了四次數(shù)學實驗活動。這些探究活動，層層遞進，由表及里，不斷地向規(guī)律的核心靠近。教師用拔釘子的方法，將影響學生數(shù)學實驗活動的障礙之釘一根根拔去，最終師生一起探尋數(shù)學的奧秘。整個實踐活動，學生不斷在“猜想—驗證—概括”的過程中循環(huán)實驗，師生共同建構(gòu)，實現(xiàn)了知識共享、情感交流、心靈溝通等多層次的互動，教師把知識的傳授、思維的訓練、方法的指導、能力的培養(yǎng)、思想方法的滲透有機結(jié)合了起來，學生感受到了數(shù)學學習的有趣好玩與挑戰(zhàn)性，同時點燃了創(chuàng)新的火花，這樣的教學顯現(xiàn)出無限生機。

注：本文系全國教育科學規(guī)劃課題“新教改背景下區(qū)域推進幸福教育的實踐研究”、江蘇省基礎(chǔ)教育教學改革實驗前瞻性重大研究項目、江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題“幸福教育育人模式的區(qū)域?qū)嵺`探索”“區(qū)域推進‘非遺文化進校園的創(chuàng)新探索”研究成果，課題批準號為FHB120486。