從科學歸納走向深度理解

張翠華

【摘 要】在教學教學中，普遍存在著合情推理教學“思維過程不完整、表征猜想不充分、解釋原委不科學”等問題，嚴重影響了學生推理和創新能力的培育。合情推理教學應凸顯過程性，夯實“發現和提出問題”的教學，注重“結論”的解釋說理，尤其要正視學生認知的“低水平”和數學理解的“高要求”之間的矛盾，著力通過“科學歸納推理”實現“深度理解”，真正讓學生“知其然又知其所以然”。

【關鍵詞】合情推理 提出問題 科學歸納推理 深度理解

波利亞曾說過：“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占據適當的位置。”合情推理教學關乎小學生推理和創新能力的培育，但在教學一線合情推理的教學卻存在著諸多問題。筆者以“3的倍數特征”為例，談一談自己的思考和教學嘗試。

一、“合情推理”教學中的尷尬

（一）合情推理的過程不完整

在教學蘇教版數學“3的倍數特征”時，教材是以百數表中3的倍數為例，借助計數器引導學生發現并概括3的倍數特征，期待學生基于已有經驗產生認知沖突，并通過合情推理初步獲得發現，從而培養學生初步的推理能力，積累相關數學活動經驗。但是，在獲得3的倍數特征后，教材僅僅要求學生舉出幾個反例來“強化”已有“發現”，并沒有立足“一般化”，引導學生去“證明”或解釋說理。這樣組織教學既不符合知識發展的規律，也會增加學生“不求甚解”思想的風險。

（二）“提出問題”的教學不充分

發現問題和提出問題是合情推理思維活動的起始環節。當學生通過對百以內3的倍數的依次研究發現：12（1+2=3），15（1+5=6），18（1+8=9），21（2+1=3）……意識到其中是有規律的，便產生用語言表達的沖動，這就是發現問題的過程。在此基礎上，超越具體上升到一般，嚴謹表述出一個結論性的東西（數學上也稱為命題），這就是提出問題的過程。小學階段提出問題多以自然語言表征為主。從發現問題到提出問題，個體的思維必然要經歷一個從混沌到清晰的過程，問題的本質將進一步得以凸顯，解釋證明的方向將進一步明確。但常見的教學行為是將“發現問題”視作“提出問題”，不再給予學生進一步思考的機會，轉而由教師代為“提出問題”，剝奪了學生“用數學語言表達”的權利，影響了其創新能力的發展。

（三）解釋“原委”的方法不科學

基于合情推理得到的“結論”具有偶然性，正確與否尚需證明。受學生思維發展水平以及數學知識的抽象性兩大因素制約，相關“證明”活動往往以“舉例驗證”的方式展開，以期學生獲得對結論的信服與接納。如讓學生再找一些3的倍數，算出各個數位上數的和是3的倍數;或找一些不是3的倍數的數，算出各個數位上數的和不是3的倍數等。然而再多的舉例驗證還是合情推理，只能進一步強化結論的可信度，并不能解釋或證明其合理性和正確性。事實上也正如許多學生所擔心的那樣——萬一有例外呢？

二、化解“尷尬”的教學嘗試

（1）要凸顯過程性，即引領學生切實展開完整的合情推理過程，并著重強化“發現問題和提出問題”的教學;（2）要追求理解性，即正視學生認知現實的“低水平”與數學理解的“高要求”之間的矛盾，引領學生基于“科學歸納”展開分析、說理，進而實現深度理解。

（一）夯實發現表征過程，明晰命題結構

1.觀察比較，基于經驗尋找

師：老師將大家找到的3的倍數用圓圈圈了出來（見圖1）。

師：仔細觀察，你有什么發現？

生：從1開始每3個數中有1個3的倍數。

生：這里3的倍數都排成了斜行，而且都相差9。比如第一斜行12-3=9，21-12=9，其他斜行也是。

生：以3打頭的那一斜行每個數都是3的倍數，以9打頭的也是這樣。

生：圖中3的倍數個位上0～9的每個數都有。

學生們的發現總是發散的、開放的，但發現問題的視角大都停留在3的倍數的排列特點和大小關系上。少數學生受研究2和5倍數特征經驗的影響，對個位展開研究發現了不是規律的“規律”。接下來教師還是要繼續等待，以“逼出”新的發現，并通過群體的“社會化學習”激發學生對問題本質的認識。

2.切換視角，獲得創新發現

師：我們換個角度來研究，還能有什么發現呢？

生：我發現以3打頭的那一斜行，除了3之外每個數個位和十位的和都是3，如1+2=3，以6或9打頭的數，每個數個位和十位的和都是6或9。

師：這倒是一種新發現，同學們都來研究一下，看是不是這樣？

生：是的。不過我也有新的發現——以30、60和90打頭的這幾個斜行，每個數個位和十位的和都是3的倍數，如3+9=12、6+9=15等。

師：發現又進了一步，真的都是這樣嗎？

生（欣喜）：真的是這樣，都是3的倍數。

生：每一斜行上個位和十位上數的和都是3的倍數。

在課堂學習中，教師營造的“期待”“等待”過程就是一個“孕育”的過程。當學生切換了視角，基于計算、抽象、概括等活動，從不同的對象間找到相同的特點、感受到蘊含其間的規律，并產生了表達的沖動，這便完成了“發現問題”的思維過程。

3.舉例驗證，歸納提出問題

師：如果是三位數、四位數或更大的數有沒有這樣的現象呢？請同學們借助表格再任意舉一些例子，算一算，然后說說自己的發現。

生：只要這個數是3的倍數，那么它各個數位上數的和就是3的倍數。如果一個數不是3的倍數，那么它各個數位上數的和就不是3的倍數。

生：是的，各個數位上數的和是3的倍數，應該就是3的倍數的共同特征。

生：想判斷一個數是不是3的倍數，就可以看它各個數位上數的和。

……

在發現問題的基礎上，引導學生通過舉例驗證進一步確認和強化之前的發現，可以進一步激發學生的表達欲。學生通過對現象特點的歸納、抽象、概括并以文字語言形式表達出來，便完成了“提出問題”的思維過程，即得到了一個猜想。

（二）借助操作直觀探析，把握問題關鍵

1.及時反思，審慎探究

師：我們有了自己的發現。現在最要緊的是要做一件什么事情呢？

生：做練習。

師：不是做練習。我們通過研究幾個例子獲得了發現，這個發現就一定是對的嗎？

生：不一定。因為3的倍數有無數個。

生：是的，我們沒有一個個地研究，萬一有例外呢？

師：大家的想法很好，接下來還要進一步地研究才行。

2.借助直觀，體察關鍵

師：“132”這個數是3的倍數，你能根據數的組成用手中的學具擺出“132”來嗎？

生操作展示（見圖2）。

師：1個百里最多可以分掉多少個3，還剩下幾？3個十里面呢？請大家分一分、圈一圈，然后說說自己的發現（見圖3）。

生：1個百里最多有33個3，圈掉99還剩下1，1個十里最多有3個3，圈掉9還剩下1，3個十就剩下3。

生：剩下的數正好就是“132”。1+3+2=6，6里面正好有2個3。

師：也就是說，從“132”各部分中先圈掉的那些數都是3的倍數，而各部分剩下的數合起來也正好是3的倍數。

師：請大家像這樣再圈一圈“245”，看看又有什么發現。

生：從“245”的各部分中也可以圈掉一些3的倍數，剩下的數正好是“2、4、5”，這些數合起來不是3的倍數，所以“245”不是3的倍數。

師：大家想一想在這兩個數中，決定它們是不是3的倍數的關鍵在哪里？

生：關鍵在分剩下的那些數上。這些數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數，這些數的和不是3的倍數，這個數也就不是3的倍數。

一個猜想的提出總會給人帶來愉悅的精神享受。但此時更重要的是要保持一種審慎的態度，理性對待這一“偉大的發現”，進而展開進一步的充分“論證”，這是展開深度學習必須要葆有的一種優秀品質。借助直觀，根據數的組成學生發現每一個計數單位里總有一個3的最大倍數，這個數無疑就是3的倍數。當剩下的數的和也是3的倍數時，這個數也就一定是3的倍數了。因此判斷一個數是不是3的倍數，關鍵就要看這些“分剩下的數”。至此，學生對其中的原委已經有了較為直觀感性的了解，但距離形成清晰而理性的認知尚有一段路要走。

（三）嘗試數學形式推演，獲得“原委”理解

1.借助直觀，理解抽象

師：其實“132”這個數還可以這樣表示。

板書：132=（100×1）+（10×3）+2

=（99+1）+（9×3+3）+2

=（99+9×3）+（1+3+2）

師：同學們，你們能結合剛才圈一圈的過程說說你對這里算式的理解嗎？

生：“132”是由1個百、3個十和2個一組成的，從1個百里分掉1個99還剩下1，從3個十圈掉3個9還剩下3，剩下的數正好就是“132”各個數位上的數。

生：（99+9×3）一定是3的倍數，（1+3+2）也是3的倍數。所以“132”是3的倍數。

2.基于推演，洞悉本質

師：你能再舉出一些3的倍數，像剛才那樣寫一寫、說一說嗎？

生：354=（100×3）+（10×5）+4=（99×3+3）+（9×5+5）+4=（99×3+9×5）+（3+5+4）。“354”是由3個百、5個十和4個一組成，從3個百里可以分掉3個99還剩下3，從5個百里可以分掉5個9還剩下5，3+5+4=12，12是3的倍數，所以“354”是3的倍數。

生：2538=（1000×2）+（100×5）+（10×3）+8=（999×2+2）+（99×5+5）+（9×3+3）+8=（999×2+99×5+9×3）+（2+5+3+8）。從2個千里分掉2個999還剩下2，從5個百里分掉5個99剩下5，從3個十里分掉3個9剩下3，2+5+3+8=18，18是3的倍數，所以“2538”是3的倍數。

……

師：通過以上的活動，你有什么發現？

生：我發現每個數像這樣分一分，最后剩下的數都是原來的那個數。

生：我發現每個數位（除各位以外）上有幾個計數單位，分掉3的最大倍數后就余幾。余下來的數的和是3的倍數。

生：現在我知道看一個數是不是3的倍數為什么要看各個數位上數的和的道理了。

……

上述的形式化推演實際上就是一個“科學歸納推理”的過程，雖然其不是嚴格意義上的演繹證明，但它是基于對一類事物部分對象的分析研究，通過演繹推理揭示了對象與其屬性之間必然的因果聯系，因而可以用來解釋說理。為降低學生的理解難度，教師先直接給出形式化推演過程讓學生結合之前的直觀操作解釋每一步的含義，賦“抽象操作”以“直觀背景”。再讓學生照樣子寫一寫、說一說，促成學生獲得新的發現——數位上有幾個計數單位，分掉3的最大倍數后總會剩下幾，一個數是不是3的倍數就是由這幾個數決定的。這樣，學生就獲得了判斷一個數是不是3的倍數關鍵特征“原委”的理解。

合情推理的教學，尤其要注重“大膽猜想提出問題”和“審慎分析解釋說理”的教學，讓學生在習得知識的同時有更深刻的理解，在“探究與深究”中發展數學學科核心素養。