探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

李 敏

(安徽省廣德中學(xué) 242200)

數(shù)學(xué)是一切自然科學(xué)的核心.而自然界的運(yùn)動(dòng)、發(fā)展有其內(nèi)在規(guī)律，數(shù)學(xué)也蘊(yùn)藏著深刻的內(nèi)在規(guī)律.人們對數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理性認(rèn)識(shí)，可稱之為數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)思想是人們對紛繁、復(fù)雜數(shù)學(xué)現(xiàn)象的抽象認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)思想中濃縮著大量有價(jià)值的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

高中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，可以幫助學(xué)生降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率；繼而減輕教師的教學(xué)壓力.數(shù)形結(jié)合，即屬于一種具有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)思想.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

空間形式與數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的兩大主題.為了詳細(xì)研究空間形式、數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了兩大分支：代數(shù)學(xué)與幾何學(xué).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往采用封閉式教學(xué)模式：在上代數(shù)課時(shí)，在黑板上寫下密密麻麻的符號與算式；在上幾何課時(shí)，在黑板上畫出各種圖形.教師的封閉式教學(xué)，又使學(xué)生進(jìn)一步感到數(shù)與形之間壁壘森嚴(yán)，存在著不可逾越的鴻溝.

但實(shí)際情況卻并非如此.空間形式與數(shù)量關(guān)系二者之間的確存在著相互區(qū)別，但二者之間又存在著相互聯(lián)系.早在17世紀(jì)，笛卡爾便建立了平面直角坐標(biāo)系，成功地將代數(shù)與幾何聯(lián)系了起來，變幾何證明為代數(shù)計(jì)算.1964年，一代數(shù)學(xué)大師華羅庚教授明確提出了“數(shù)形結(jié)合”的思想.華羅庚教授認(rèn)為：幾何與代數(shù)是永遠(yuǎn)聯(lián)系的統(tǒng)一體，缺乏圖形的數(shù)字缺乏直觀性，缺乏數(shù)字的圖形無法對其展開細(xì)致的抽象思維.因此，必須將數(shù)與形結(jié)合起來.

對于如何精確的定義“數(shù)形結(jié)合”，不同的專家有著不同的解讀.為行文方便，在本文中，我們將“數(shù)形結(jié)合”描述為：數(shù)量關(guān)系具有精確性、抽象性的特點(diǎn)，幾何圖形具有形象性、直觀性的特點(diǎn)；因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以綜合運(yùn)用抽象思維與形象思維，采用直觀的圖形來反映抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系，使數(shù)與形實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化，從而提升解決數(shù)學(xué)問題的效率.

二、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

1.高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的困境

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著困境.據(jù)2019年一次對高中生、高中數(shù)學(xué)教師的隨機(jī)抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)：77%的被調(diào)查學(xué)生表示高中數(shù)學(xué)難學(xué)、難懂；68%的被調(diào)查學(xué)生表示自己不喜歡上代數(shù)課；73%的被調(diào)查學(xué)生表示自己不喜歡上幾何課；65%的被調(diào)查教師表示高中數(shù)學(xué)課難上(幾乎所有被調(diào)查的數(shù)學(xué)教師都認(rèn)為自己班上的學(xué)生在計(jì)算數(shù)學(xué)問題的過程中往往陷入繁瑣的運(yùn)算步驟).

因此，我們應(yīng)當(dāng)針對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的困境，在教學(xué)中主動(dòng)應(yīng)用包括“數(shù)形結(jié)合”在內(nèi)的各種數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)并增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

2.探究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

下面，我們將結(jié)合《集合》教學(xué)，探究如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.眾所周知，集合的概念較為抽象，集合題往往設(shè)置一些復(fù)雜、麻煩的已知條件，缺乏審題能力的學(xué)生往往會(huì)陷入五里云霧.采用數(shù)形結(jié)合，便可化繁瑣為簡潔.

在上《集合》課時(shí)，教師可以向?qū)W生們提出這樣一道題：“浙江省嘉興市××高中一年級(3)班，有40個(gè)同學(xué).他們分別報(bào)名參加漫畫、音樂、舞蹈三個(gè)俱樂部；有的同學(xué)報(bào)名參加了一個(gè)俱樂部，有的同學(xué)報(bào)名參加了兩個(gè)俱樂部，還有的同學(xué)報(bào)名參加了三個(gè)俱樂部.但每個(gè)俱樂部到底有多少個(gè)同學(xué)參加呢？我們對這些具體的數(shù)字可一點(diǎn)兒也不知道.我們知道的是：

①在40個(gè)同學(xué)中，每個(gè)同學(xué)都參加了至少一個(gè)俱樂部；

②有些同學(xué)沒有參加漫畫俱樂部；在這些沒有參加漫畫俱樂部的同學(xué)中間，有一部分同學(xué)參加了音樂俱樂部、舞蹈俱樂部.在這些或者參加音樂俱樂部、或者參加舞蹈俱樂部的同學(xué)中間，參加音樂俱樂部的同學(xué)人數(shù)是參加舞蹈俱樂部同學(xué)人數(shù)的2倍.

③有些同學(xué)只參加了漫畫俱樂部，沒有參加其它俱樂部.這些只參加漫畫俱樂部的同學(xué)人數(shù)比其余同學(xué)中參加漫畫俱樂部的人數(shù)多一個(gè)人.

④這40名同學(xué)中，有些同學(xué)只參加了一個(gè)俱樂部.在這批同學(xué)中間，有50%沒有參加漫畫俱樂部.

請大家告訴我，有多少個(gè)同學(xué)只參加了音樂俱樂部？又有多少個(gè)同學(xué)參加了漫畫俱樂部？”

這道集合題具有相當(dāng)?shù)碾y度.僅僅讓學(xué)生審題，便會(huì)急得學(xué)生滿頭大汗.班上的先進(jìn)生肯定會(huì)要求教師再將本題的各種已知條件講一遍，一一寫在黑板上；然后用設(shè)X、Y的方法設(shè)計(jì)方程式，來逐項(xiàng)求解.但這道題已知條件中并沒有給出精細(xì)的數(shù)值，采用設(shè)X、Y的方法進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，反而會(huì)走進(jìn)一條死胡同.

這時(shí)，教師便可以在黑板上畫出A、B、C三個(gè)圓，然后向?qū)W生講解：“同學(xué)們請看，我們可以設(shè)A為參加漫畫俱樂部的人數(shù)，設(shè)B為參加音樂俱樂部的人數(shù)，設(shè)C為參加舞蹈俱樂部的人數(shù).請大家注意：這三個(gè)圓存在著互相交叉的部分.”

然后教師在這三個(gè)圓的交叉部分分別填上a、b、c、d、e、f、g，并向?qū)W生們解釋：“這道題目看似復(fù)雜，光聽已知條件就很拗口.可是，用圖形來表示的話，我們便可以看見：這個(gè)高一(3)班同時(shí)參加3個(gè)俱樂部的人數(shù)，可以設(shè)為g.同時(shí)參加漫畫俱樂部、舞蹈俱樂部的人數(shù)，可以設(shè)為e.同時(shí)參加音樂俱樂部、舞蹈俱樂部的人數(shù)，可以設(shè)為f.同時(shí)參加漫畫俱樂部、音樂俱樂部的人數(shù)，可以設(shè)為d.這樣，在A中，可得到余下的，僅僅參加漫畫俱樂部的人數(shù).我們將這一人數(shù)設(shè)為a；在B中，可得到余下的，僅僅參加音樂俱樂部的人數(shù)，我們將這一人數(shù)設(shè)為b；在C中，可得到余下的，僅僅參加舞蹈俱樂部的人數(shù)，我們設(shè)為c.現(xiàn)在，讓我們重新看一次已知條件，我們可以直觀地發(fā)現(xiàn)：

沒有參加漫畫俱樂部的人數(shù)=c+f+b

僅僅參加一個(gè)俱樂部的人數(shù)=a+b+c

請大家看，這道復(fù)雜的集合題是不是變得越來越清晰了呢？我還可以寫出其它式子，但現(xiàn)在我不打算寫它們.我想請一位聰明的同學(xué)來到黑板上，根據(jù)我們已知的條件，將a、b、c、d、e、f、g之間的數(shù)字關(guān)系表示出來.之后，教師只需選擇一位先進(jìn)生走上臺(tái)來，讓他根據(jù)已知條件，在黑板上寫出：

a+b+c+d+e+f+g=40

b+f=2·(c+f)

a-1=d+e+g

a=b+c

然后，這位先進(jìn)生便會(huì)豁然開朗，意識(shí)到不必設(shè)X、Y也可以計(jì)算出這道題的答案.這時(shí)，臺(tái)下的學(xué)生們也會(huì)恍然大悟.教師只需要讓學(xué)生們自己動(dòng)筆，他們便會(huì)計(jì)算出

a=11

b=10

c=1

d+e+g=10

a+d+e+f=21

這樣，學(xué)生們會(huì)對“數(shù)形結(jié)合”留下深刻的印象，會(huì)驚嘆教師只用3個(gè)圓，10個(gè)字母，就把如此復(fù)雜的題目描述得一清二楚，解決起來也很便捷.這時(shí)，教師便可以趁熱打鐵，鼓勵(lì)學(xué)生們在做集合題時(shí)主動(dòng)變數(shù)量關(guān)系為圖形，再利用圖形來解決數(shù)學(xué)問題.

數(shù)形結(jié)合揭示了數(shù)量關(guān)系與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，是重要的數(shù)學(xué)思想.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，可以有效激活學(xué)生的形象思維，幫助學(xué)生理解各種抽象的數(shù)學(xué)問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，并增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).