人教版四年級數學河內塔游戲推廣的教學研究

廣東省廣州市花都區花東鎮李溪小學 張升添

新人教版四年級數學上冊第111 頁游戲——河內塔游戲（又名漢諾塔游戲）：（如圖1 所示）你能借助②號桿把①號桿上的珠子移到③號桿而不改變珠子的上下順序嗎？最少移動多少次？移動規則是：每次只能移動1 個珠子，且大珠子不能放在小珠子上面。如果①號桿上有4 顆珠子呢？

圖1

這個游戲問題，①號桿上有3、4 顆珠子時，學生通過真實的游戲容易明白、理解。為了發展學生智力，提高學生的邏輯思維能力，把這個問題深化，在課堂數學教學中，把這個數學游戲問題推廣到①號桿上有5、6、7、…、n顆珠子的情況。這樣就將游戲變為數學問題，真正體現數學游戲問題，借此問題對學生滲透“由簡單到復雜，由具體到抽象”的數學思想方法：

設①號桿上珠子顆數為n，為了下文表述方便，記游戲的最少移動次數為f（n）。四年級學生初涉的抽象知識不易理解，教師要多舉例說明，本文著重研究這一游戲問題的規律的課堂數學教學方法，在課堂數學教學中，引導學生理解這個數學游戲問題的一般規律：f（n）=2×f（n-1）＋1。

首先，當①號桿上珠子顆數n=1、2 時，學生嘗試操作。學生通過實際操作探索珠子移動的最少次數f（1）、f（2），容易理解f（1）=1、f（2）=3。

其次，當①號桿上珠子顆數n=3、4 時，學生探索珠子的移動最少次數f（3）、f（4）。一部分學生理解f（3）=7、f（4）=15，有一部分學生不能理解。這時教師要實際操作移動珠子，讓學生明白怎樣操作移動珠子，從而理解f（3）=7、f（4）=15。

（1）當n=3 時，一定要經過如圖2 所示的移動操作，上一步的移動操作如圖3 所示。

圖2

圖3

而由圖1 的①號桿上面的兩個較小珠子經過f（2）步移動操作得到圖3，再經過一步移動操作得到圖2，再把圖2 的②號桿的兩個珠子經過f（2）步移動操作得到圖4。

圖4

由此得到當n=3 時，最少移動次數f（3）=f（2）＋1 ＋f（2） =2×f（2）＋1=2×3+1=7。

數學教學中，有些學生不明白圖1 的①號桿上面的兩個較小珠子經過f（2）步移動操作得到圖3，教師要動畫演示或實操演示：

圖5

由此可見，由圖1 經過f（2）=3 次移動操作得到圖3，實際是把圖1 的①號桿上面的兩個較小珠子移動到②號桿，故移動操作次數為f（2）=3。移動過程如圖5。

同理，由圖2 經過f（2）=3 次移動操作得到圖4，實際是把圖2 的②號桿上的兩個較小珠子移動到③號桿，故移動操作次數為f（2）=3。移動過程如圖6。

圖6

（2）當n=4 時，由圖7 經過f（3）=7 次移動操作得到圖8，實際是把圖7 的①號桿上面的3 個較小珠子移動到②號桿，再把圖8 的①號桿上的大珠子經過1 次移動操作移動到③號桿，得到圖9，再由圖9 經過f（3）=7 次移動操作得到圖10，實際是把圖9 的②號桿上的3 個珠子移動到③號桿。

圖7

圖8

圖9

圖10

由此得到當n=4 時，最少移動次數f（4）=f（3）＋1 ＋f（3） =2×f（3）＋1=2×7+1=15。

最后，一般地，①號桿上有n顆珠子，至少經過f（n－1）次操作移動，把①號桿上較小的（n－1）顆珠子移動到②號桿；再把①號桿上最大的珠子經過1 次操作移動到③號桿；再經過f（n－1）次操作移動，把②號桿上較小的（n－1）顆珠子移動到③號桿上。由此得到：f（n）=f（n－1）＋1 ＋f（n－1）=2×f（n－1）＋1。

這樣，借此問題對學生滲透“由簡單到復雜，由具體到抽象”的數學思想方法。