基于多元表征深化小學數學概念理解的策略

鄭琳

【摘要】本文論述深化小學數學概念理解的教學策略：以動作表征引入數學概念、以圖像表征探究概念、以符號表征確認概念、以綜合表征內化概念，目的是培養學生的數學思維，發展學生的數學能力。

【關鍵詞】多元表征小學數學概念理解 教學策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）41-0125-02

數學概念是指客觀現實中的數量關系及空間形式的本質屬性在人腦中的反映，通常由名稱、例證、特征和定義四個部分組成。小學數學知識中包含諸多數學概念，正確理解并掌握這些數學概念是學生學習數學的重要基礎。學生數學概念的獲得，通常是動作表征、圖像表征和符號表征三種不同思維活動相互作用的結果，表現為以線性方式從動作表征到圖像表征，再通過抽象思維形成符號表征。教師在教學中靈活運用多種表征方式，能夠幫助學生在抽象概念和已有知識經驗之間建立更為緊密的聯系，從而更深刻地理解數學概念。本文基于多元表征論述小學數學概念教學的策略，以期深化學生對數學概念的理解，提高學生的數學概念學習質量。

一、以動作表征引入數學概念

動作表征是利用動作反應來描述數學概念的表征類型。在教學中，考慮到小學生的思維方式以直觀形象思維為主，教師可以使用直觀的動態操作對數學概念進行塑造和演示，一方面增強數學概念的形象性，讓學生在觀看或實踐操作過程中迅速感知、體會蘊含于動作或實物中的數學概念，進而加強對數學概念的理解；另一方面操作的直觀性，能夠給學生樹立正確的范例，使其在學習過程中通過模仿操作，豐富數學活動體驗。

例如，在教學人教版數學二年級上冊《認識線段》一課時，課前筆者讓學生各自準備一根繩子。課中，筆者先出示一個繞著細繩的線軸，拉住細繩的一頭，讓線軸從手中落下，展示線軸落下將細繩拉直并形成一條直線的過程。然后讓學生將準備好的繩子隨意放在桌子上，并觀察繩子的形狀，對比其與線軸垂直細繩之間的區別。學生經過觀察表示，自己隨意擺放在桌面上的繩子是彎曲的，跟線軸垂直細繩相比不夠筆直。于是筆者提問：“如何將自己的繩子變直？”學生根據生活經驗迅速回答“用手拉直”，然后嘗試操作驗證。最后筆者總結線段的描述性定義：當把繩子拉直時，兩只手之間的那段繩子便可以視為線段。為進一步深化學生對線段定義的理解，筆者分別拉直一根繩子的一部分，或者按住繩子的一頭，向不同方向拉直繩子，讓學生判斷此時繩子的哪一部分可以定義為線段，并指出該線段的起點和終點。

在本次教學中，筆者充分利用動作進行線段定義的表征，如用線軸的下落動作生動演示點運動形成線的過程，讓學生通過拉直繩子操作確認“線段是直的”這一特征；設計“判斷繩子哪一部分屬于線段”這一活動，目的是幫助學生理解線段有始有終、有限長度、可以測量等本質特征。在一系列引導和操作實踐中，學生逐漸明晰動作表征與概念之間的內在聯系，形成對線段的直觀印象，初步認識線段的外部特征，以及掌握線段的概念。

二、以圖像表征探究概念

學生對數學概念的理解不應止步于具體實物或者直觀動作，而要逐漸轉向抽象化，一步步靠近數學概念的本質。但小學生受認知水平和思維方式局限，無法直接實現這一要求，教師可以從實物或動作中抽象出較為形象的圖形、形狀等，引導學生通過觀察具體的圖像信息，再將這些圖像轉化為某些數學思想的表征，就形成了圖像表征。

例如，教學《認識線段》一課，當學生初步了解線段的概念后，筆者讓學生想一想線段如何表示，多數學生立刻用手捏住自己提前準備好的繩子，將其拉直。這表明，學生的思維仍停留在動作表征的階段。接下來，筆者循循善誘：“除了用拉直繩子的動作表示，還有其他的方法嗎？”學生一時有些為難，思考了一會后，陸續有學生提出：“可以在紙上畫出來。”筆者馬上鼓勵他們試一試，大部分學生都能畫出筆直的直線，但真正畫出合格的線段只有寥寥幾個。原因在哪里呢？原來許多學生在畫直線表示線段時，忘記標注起點和終點。當筆者揭示這一答案時，學生恍然大悟：原來直線不是線段，線段必須有起點和終點。明確這一概念后，筆者又向學生展示一張折疊過一次的白紙，令其思考這道折痕是否可以稱為線段。學生思考后認為這道折痕屬于線段，因為它是直的，且白紙明確的兩端可以視為起點和終點。通過以手拉直繩子的具體實物，到用簡筆畫表示線段，再到沒有兩端標記的折痕線段，筆者一步步引導學生對線段的概念進行探究分析，將其逐步抽象處理，讓學生能夠深入理解線段各部分的名稱、特征和作用，從動作表征逐漸過渡到圖像表征，構筑起線段的圖像模型，深刻理解線段的本質屬性。

教師利用圖像表征還可以反其道而行之，將數學概念轉化為學生日常生活中熟悉的事物，讓學生通過直觀表象迅速理解概念。例如，在教學人教版數學三年級上冊《分數的意義》一課時，為幫助學生理解“把一個計量單位、一個物體平均分為若干份，取其中一份或幾份，可以用分數表示”這一概念，筆者先利用課件展示了一張披薩，將“單位1”這一概念圖像化和生活化；然后再用動畫演示“切成平均的10片”的過程，將分母的概念形象化；最后在動畫中用“抽出其中一片”來演示分子的概念，使認知過程具備了動態的視覺化形象，這種變抽象為具象的圖像表征，降低了學生認識“分數單位和意義”的難度，能讓學生更好地掌握分數的概念。

三、以符號表征確認概念

通過動作表征和圖像表征獲得的概念往往停留在表象層面，學生能夠熟練說出概念的內容，卻無法運用概念闡釋更多的數學現象和實例。因此，進行概念教學時，教師需抓住概念的本質，引導學生總結分析那些具有特例性質的表象，發現其中蘊含的邏輯規則，并將其概括成普適性的抽象概念，再用更簡潔的符號化模型來表述，形成符號思維，建立符號表征模式，最終確認數學概念。

例如，完成人教版數學三年級上冊《長方形、正方形的周長》一課中長方形周長的計算教學后，針對正方形周長計算這一內容，筆者沒有直接給學生講解做法、展示公式，而是先展示一個長為20厘米、寬為10厘米的長方形和一個邊長為10厘米的正方形，引導學生通過觀察、對比圖像，回憶長方形周長的概念，然后鼓勵他們想一想、試一試正方形的周長怎樣計算。部分學生根據自己的理解直接將正方形四條邊的邊長相加，算式為：10+10+10+10＝40。這一算法表明學生理解了正方形周長的概念，但并未真正理解正方形作為一種特殊圖形所具有的獨特特征；部分學生發現了正方形相鄰兩邊相等的特征，因此列出算式：（10+10）×2＝40，這一算法表明學生雖然發現了正方形的圖形特征，但受長方形周長算法的影響，采用了“相鄰兩邊相加×2”的計算方式，忽略了兩種算法之間的邏輯規則，未能實現正方形周長概念的確認。在此基礎上，筆者讓學生認真觀察正方形每條邊的邊長。得到點撥后，學生發現正方形“四條邊相等”的特征，進而給出計算方案：10×4＝40，這一算法體現學生能夠結合長方形周長計算方法和乘法的意義，明確正方形周長可以通過“邊長×4”求出。確立計算模型后，筆者將文字抽象成數學符號，解釋正方形的邊長可以用字母a表示，周長則用字母C表示，正方形周長公式可寫作C=4a，確認了正方形周長計算公式。

一般而言，符號是建立在理解的基礎上抽象而成的，理解的程度越深刻，符號表征便表現得越簡潔清晰。教師在指導學生理解概念時，應當確保學生經歷由淺入深、由表象到內涵、由復雜到簡單的過程，最后才形成抽象的概念。

四、以綜合表征內化概念

當學生歷經動作表征、圖像表征及符號表征之后，通常已經能夠從數學的角度形成對概念的理解，此時教師需要靈活運用三種思維方式幫助學生進一步理解并內化概念，以達到鞏固知識的目的。

例如，在完成了《認識線段》一課的學習后，筆者設計了若干變式練習，展示幾組長短不一、方向不同、或彎或直的圖形，讓學生識別和分類，要求將線段歸為一組，將非線段歸為一組。學生通過識別線段的操作，總結出線段的屬性與其方向和長度無關，從排除非線段的操作發現線段的本質特征與端點個數及圖形的形狀有關，進一步理解線段外顯的可變性與內在結構的不變性，鞏固了對線段概念的認知。隨后，筆者再舉出三角形、長方形、梯形、五邊形等圖形，讓學生數出其中包含的線段數量。學生進行了確定端點、拆分多邊形的實踐活動，發現相同的線段數量能夠組成不同的圖形，不同的圖形可能是由相等數量的線段組成。這樣的發現也是對線段概念的進一步鞏固，能將原本孤立的線段與圖形知識建立內在聯系，讓學生自主構筑幾何圖形的知識網絡。筆者在上述的同一個教學活動綜合運用了動作表征、圖像表征和符號表征，其目的在于平衡三種表征之間的側重點及呈現順序，避免學生在學習過程中突出某一種表征而弱化其它表征的情況，幫助學生加強數學思維訓練，以更好地掌握所學數學概念。

綜上所述，基于多元表征進行小學數學概念教學，符合小學生的認知規律。在教學過程中，教師應注重引導學生經歷動作表征、圖像表征及符號表征過程，且注意各表征之間相互遞進、彼此關聯的關系，使學生的思維從具象化、表象化逐步轉向抽象化，使學生對數學概念的理解獲得不斷深化。

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【作者簡介】鄭 琳（1974—），女，漢族，廣西玉林人，二級教師，現就職于玉林市福綿區新橋鎮中心小學，研究方向為小學數學教學。

（責編黃健清）