初中數學教學中數形結合思想的應用研究

鄭愛紅

【摘要】在初中數學教學中，創新型和應用型題目的數量越來越多，因此學生需要在掌握課本知識的同時能夠主動對知識進行拓展.為了實現這個目標，教師在教學中應用數形結合思想是必不可少的.實踐證明，數形結合思想的應用可以使抽象問題直觀化，幫助學生發現知識之間的內在聯系，同時有利于培養學生的數學思維.無論是在概念教學、定理教學還是在解題教學中，教師都要將數形結合思想滲透其中，幫助學生開拓思維、提高興趣.

【關鍵詞】初中數學;課堂教學;數形結合思想;教學方法;實際應用

引 言

從數學教學各個環節的特點來看，小學數學形象簡單，高中數學抽象復雜，而初中數學就是這兩個時期的過渡，它融合了二者的特點，既抽象和又形象.教師在初中階段培養學生數形結合思想是幫助他們解決問題的重要方式.數形結合思想可以通過對圖形知識的講解來幫助學生更為直觀地、系統化地了解理論知識，同時可以通過對理論知識的總結來幫助學生精確地掌握圖形的特點.為了使數形結合思想的功能在教學中得到充分發揮，教師要主動在教學中引導學生從“數”和“形”這兩個角度來思考解題方法，實現二者的充分融合.

一、數形結合思想的基本概述

從整體上來說，數形結合是一種直觀化的學習方式，它將理論知識和多變的圖形融合在一起，以此來讓枯燥的理論知識具有靈活性，緩解理論知識本身的生硬.同時，學生可以通過理論計算的方式來探索圖形的特點，了解圖形的性質.在傳統教學過程中，教師主要是通過板書畫圖的方式來展現數形結合思想的.多媒體設備的應用為這一思想創造了良好的條件，它可以結合圖形的變化來向學生展示數量關系的轉化過程，將抽象的數學語言以更為直觀的方式展示出來，以此來幫助學生更好地理解和掌握數學理論知識.

數形結合思想在很早的時候就開始被應用于數學教學.比如在學生剛開始接觸數學知識的時候，教師會以蘋果的數量來代替單純的數字，引導學生通過“畫圓圈”的方式來進行計算.這是簡單的數形結合，這樣可以使學生更好地理解數學知識.在初中數學教學過程中，教師也會通過數形結合的方式來導入知識點.比如，教師在教學“相反數、絕對值”等概念的時候引入數軸，引導學生通過數軸來了解數學理論的概念，通過以形助數的方式來幫助學生擴展知識.在后期，學習“函數”知識的時候，數形結合思想的利用率更高，教師會通過引入直角坐標系的方式來將有序實數對更為直觀地表現出來，以此來幫助學生將函數的解析式與其圖像進行聯系.除此之外，學生在學習圖形時也可以通過理論知識來學習面積計算、通過距離計算來判斷圖形之間的位置關系等，這也是數形結合思想的重要體現.通過這種方式可以幫助學生在初中這個過渡時期實現具體思維向抽象思維的發展.

二、初中數學教學中數形結合思想的應用優勢

（一）可以增強學生的興趣

很多初中生對數學不感興趣的主要原因是他們認為數學抽象枯燥、難度較大，而通過應用數形結合思想可以有效緩解這一問題，學生可以找到學習方法，獲得解題思路.

1.使抽象問題變得直觀

初中學生的思維仍然比較直觀和形象，他們在面對抽象難懂的數學知識時可能會產生厭煩等不良情緒.而數形結合思想的應用可以將這些抽象的數學問題變得形象直觀，有利于學生的理解和記憶，緩解了數學知識本身的枯燥性.比如，在學習“多項式乘法”這部分知識的時候，學生面對的都是抽象的代數與字符，并需要利用這些字符進行一系列的運算，這很容易使他們產生不良情緒.教師在對這部分知識進行授課的時候可以引入圖形面積的知識，不直接對多項式乘法的運算法則進行直接講解，而是引導學生在看圖計算面積并進行面積加減變化運算的過程中自己發現規律，使學生通過主動探索的方式來總結出多項式乘法的計算法則，這樣學生的積極性就會比較高.在這個過程中，通過數形結合思想，原本抽象的字符運算變得更加直觀.

2.使理論知識與實際相聯系

有一些學生認為初中數學較抽象，因此在生活中的用處不大.這種想法的存在使他們漸漸喪失了對數學的學習興趣.通過數形結合思想可以將數學理論知識與實際生活聯系起來，學生可以在實踐中更好地掌握知識.通過這種方式，不僅可以提高學生的學習興趣，而且可以增強他們對應用題的解題能力.比如，在學習“相似三角形”這部分知識時，教師可以將數學課堂搬至實際生活，開展測量旗桿高度的實踐活動，引導學生利用相似三角形原理和米尺測量自己影子的高度，并結合自己的身高計算學校操場旗桿的高度.通過這種實踐活動，學生就會對數學知識的學習產生濃厚的興趣，

（二）有助于培養學生的數學思維

初中階段是學生形象思維向抽象思維過渡的階段，同時是學生多樣化數學思維建立的重要時期.教師在這個過程中應用數形結合思想，可以引導學生從多個角度思考問題，使學生能夠用不同的方法來學習數學知識.

1.培養學生的直覺思維

直覺思維指的是學生能夠結合已有的知識對未知的知識做出直觀猜想，通過簡單的邏輯推理來對數學對象進行識別和判斷，并在這個基礎上對數學知識做出大膽的假設，從而設計實驗對這一假設進行驗證.在這個過程中，結合圖形可以作為學生直覺思維的源泉，學生在不斷增加圖形儲備的基礎上增強對數學知識的直覺思維.比如，在學習“三角形”這部分知識的時候，教師向學生展示了三角形、四邊形三邊運動的圖片，學生根據圖形展開想象之后很容易根據直覺思維得出“三角形穩定性強”這一結論.

2.培養學生的形象思維

一方面，數形結合思想可以幫助學生通過直觀形象的圖像來理解抽象的代數知識，使學生在數字與圖形相結合的過程中增加圖形儲備，以及增強對代數知識的理解.比如，在學習“函數”這部分知識時，為了了解函數的基本性質，學生需要從圖形上進行直觀感受，這樣一來學生每次思考函數類問題時就會直接聯想到它的圖像，并習慣于通過作圖法的方式來獲得函數的性質，以圖形的思維來代替數字的思維，從而使思維變得更加形象.另一方面，數形結合思想還可以增強初中生對圖形的想象力，使他們通過以數思形的方式來實現對數與形的轉化，從而來解決相應的數學問題.在這個過程中，學生需要對代數知識進行想象，并以此構造出幾何圖形，進而培養形象思維.

3.培養學生的發散思維

在數學知識學習的過程中，發散思維指的是能夠從不同的角度來思考和探索問題，從多層面來分析問題，并從正反兩極來對問題進行比較.通過這一過程，學生的視野將會變得更為開闊，他們的思維也將會變得更加活躍，并可以產生一些新的想法.在應用數形結合思想時，學生可以從數字和圖形這兩個角度來看待同一個問題，并在這個過程中突破思維定式，從多個角度來探究問題，產生一題多解的效果.比如，在學習“直線與圓的位置關系”這部分內容時，學生除了可以在圖形中觀察二者交點的個數，還可以通過計算圓心到直線的距離來對二者的位置關系進行判定，同時可以將這兩種方法進行綜合，通過將圓與直線方程組進行聯立、思考方程組解的個數來進行判定.通過這種方法，學生的思維可以得到拓展和發散.

三、初中數學教學中數形結合思想的應用策略

（一）應用于概念教學中：使學生領悟數形結合思想

數學概念是數量關系與空間形式的綜合反映，也是研究對象的本質屬性在思維中的直接體現.只有深入理解數學概念，學生才能完成數學問題的解答.在概念教學的過程中，教師要引導學生感受藏在其中的數形結合思想，而不是要求學生死記硬背.比如，在學習“圓與圓位置關系”這部分知識時，教師可以引導學生制作不同位置關系下的兩圓圓心之間距離d與兩圓半徑r1、r2之間的數量關系表，并在表格的最后一欄中畫出簡圖.在制作這一表格的過程中，學生會先從圖形的角度對兩圓之間的位置關系形成簡單的認識，而通過對d與r1、r2之間的比較，學生可以從數字的角度來對不同位置關系的特點和性質進行研究.最后學生通過畫圖的方式可以更為直觀地對這一知識展開分析，實現數形之間的轉換與遷移，并由此養成良好的思考和解題習慣.

（二）應用于定理教學中：為學生展示數形結合思想

在數學定理教學中，教師要將主要的時間和精力放在定理的推導和對定理內容的研究上，而不是放在定理中公式和法則的背誦上.由于定理中所蘊藏的數學思想往往比定理本身更值得學生學習，學生在掌握了這些思想的基礎上也就能自然而然地對這些定理進行深入的研究和學習.為了實現這個目標，教師在定理教學中要為學生展示數形結合思想，引導學生親自參與定理的探究和推導過程，使學生掌握其中的數學思想.比如，在學習“有理數加法”這部分知識時，課本當中指出了“加法法則”，這些法則包括3條，內容也比較煩瑣冗長，因此學生的記憶難度較大.而通過數形結合思想，教師將這些定理通過圖形演示的方式展示出來就可以解決這一問題.在這個過程中，教師可以利用數軸和具體案例來對有理數加法法則進行展示，不僅可以使整個運算過程變得更加形象直觀，而且可以展示出加法法則的一般性，使學生面對分數相加的情況也能夠更容易理解.在這個基礎上，教師還可以將這一法則總結為“同號相長、異號相消”的口訣，以此來幫助學生記憶.

（三）應用于解題教學中：突出數形結合思想的優越性

在講解數學題目的時候，教師經常會遇到題目講解多變及學生在遇到條件變化仍然會解錯的情況.這種情況的實質就是學生并沒有領悟其中的數學思想.因此，在解題教學的過程中，教師要將教學重點放在解題思路和方法的教學上，使學生在面對這類問題的時候能夠知道從哪里尋找突破口.在這個過程中，教師要向學生傳達數形結合思想的優勢，使他們能夠主動運用這一思想進行解題，在數與形相互轉化的過程中增強解題思路的規范性和嚴密性.比如，在“幾何求證類”問題中，學生直接從圖形入手解決難度較大，這時候教師可以引導學生對待求結論進行變形，從理論知識的角度來進行求解.比如將“AC+AE≥4AB”這一證明結論轉化為“（AC+AE）2-4AB（AC+AE）≥0”，通過這一數形轉化過程，學生很容易聯想到判別式“b2-4ac”，從而掌握解題的關鍵.

結束語

總體來說，在初中數學中的很多問題都可以應用數形結合思想來進行解決，它可以使抽象的知識變得更加形象，可以讓理論知識更好地結合實際，以此來增強學生的學習興趣.同時，數形結合思想的應用還可以培養學生直觀、形象以及發散思維，有利于學生數學能力的提高.在實際教學當中，教師要充分應用數形結合思想，在概念教學中領悟思想，在定理教學中展示思想，在解題教學中突出該思想的優越性.

【參考文獻】

[1]章建躍，鮑建生.深化課程改革，提高數學教育教學質量——暨“第十一屆初中青年數學教師優秀課展示與培訓活動”總結[J].中國數學教育：初中版，2020（4）：2-20.

[2]張定強，楊怡.初中數學教育研究2018年度發展報告——基于2018年度《初中數學教與學》轉載論文的分析與展望[J].中學數學雜志，2019（4）：64-65.

[3]張定強，楊怡.指向數學學科核心素養的“學生”研究——基于2018年度人大《復印報刊資料·初中數學教與學》中“學生”專欄的分析[J].中學數學，2019（2）：89-91.

[4]石樹偉.自發行走在傳統與現代之中間地帶——基于案例與評析的區域初中數學教師課堂教學高效觀的調查研究[J].數學教育學報，2015，24（5）：74-77.

[5]李孝誠，綦春霞，史曉鋒.初中數學教師教學設計能力發展的實證研究——基于網絡研修共同體教師專業發展的個案研究[J].中國電化教育，2013（3）：56-61.