一道考博試題引出的冪級數收斂域探討

劉慧璋

【摘要】本文從一道考博試題出發，對含有未知常數的冪級數的收斂域進行了分情況討論，并對冪級數收斂半徑的求解嘗試了兩種方法的對比.

【關鍵詞】考博試題;冪級數;收斂域;分類討論;對比

1 引言

對冪級數收斂域的探討是一類典型問題.要探討收斂域得先求解收斂半徑，而收斂半徑的求解通常有兩種方法：系數模比值法和系數模根值法.這兩種方法各有其適合的題型.有些題雖然兩種方法皆可用，但對比發現，其中一種會更嚴密，更適合.本文就從一道考博試題出發，在系數含有未知常數需要分類討論的情況下，詳細地討論收斂域的求解，并在收斂半徑的求解上對兩種方法進行對比.

2 試題與分析

求冪級數∑∞n=1ann+bnn2xn（a>0，b>0）的收斂域.

這是2019年某院校招收博士研究生微積分科目的一道試題.試題初看是一道普通的冪級數收斂域求解問題，但仔細觀察審題后發現，系數中含有未知常數，雖然已知常數都大于0，但是常數間大小關系并不知道，而常數的大小關系直接關乎收斂半徑的求解，進而影響收斂域的結果，所以必須對常數a和b的大小關系進行分類討論.

3 問題的求解

（1） a=b時，收斂半徑R的求解用系數模根值法：設系數項為un，則

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

此極限的求解用兩邊夾準則，

ann=nann2

=（n+1）ann2≤（n+n）ann2=2ann，

而

limn→∞nann=limn→∞ann=a1=a=1·a1

=limn→∞21nann=limn→∞n2ann，

故R=1a，則收斂區間為-1a，1a，下面確定端點收斂性.

（i）x=1a時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+ann21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2，

其中調和級數∑∞n=11n發散，p級數∑∞n=11n2的p=2>1收斂，所以此時冪級數發散.

（ii）x=-1a時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+ann2（-1）nan

=∑∞n=1（-1）nn+∑∞n=1（-1）nn2，

其中交錯級數∑∞n=1（-1）nn收斂，交錯級數∑∞n=1（-1）nn2絕對收斂，所以此時冪級數收斂.

綜上，a=b時原冪級數的收斂域是-1a，1a.

（2） a>b時，

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

兩邊夾準則，

ann=nann2

nan+bnn2

而

limn→∞nann=a=limn→∞n2ann，

故R=1a，則收斂區間為-1a，1a，下面確定端點收斂性.

（i）x=1a時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+bnn21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2ban，

其中調和級數∑∞n=11n發散，正項級數∑∞n=11n2ban用根值判別法：

limn→∞n1n2ban=limn→∞ba·1（nn）2=ba<1，

所以∑∞n=11n2ban收斂，此時冪級數發散.

（ii）x=-1a時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+bnn2（-1）nan

=∑∞n=1（-1）nn+

∑∞n=1（-1）nn2ban，

其中交錯級數∑∞n=1（-1）nn收斂，

交錯級數∑∞n=1（-1）nn2ban絕對收斂，所以此時冪級數收斂.

綜上，a>b時原冪級數的收斂域是-1a，1a.

（3） a

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

兩邊夾準則，

bnn2

≤nbn+nbnn2=2bnn，

而

limn→∞nbnn2=limn→∞b（nn）2=b12=b=1·b1

=limn→∞21nbnn=limn→∞n2bnn，

故R=1b，則收斂區間為-1b，1b，下面確定端點收斂性.

（i）x=1b時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn21bn=∑∞n=1ann+bnn21bn

=∑∞n=11nabn+∑∞n=11n2，

其中p級數∑∞n=11n2收斂，正項級數∑∞n=11nabn用根值判別法：

limn→∞n1nabn=limn→∞ab·1nn=ab<1，

所以∑∞n=11nabn收斂，此時冪級數收斂.

（ii）x=-1b時，冪級數化為數項級數：

∑∞n=1ann+bnn2-1bn=∑∞n=1ann+bnn2（-1）nbn

=∑∞n=1（-1）nnabn+

∑∞n=1（-1）nn2，

其中交錯級數∑∞n=1（-1）nn2絕對收斂，

交錯級數∑∞n=1（-1）nnabn也絕對收斂，所以此時冪級數收斂.

綜上，a

4 收斂半徑的系數模比值法求解

（1） a=b時，收斂半徑R的求解用系數模比值法：設系數項為un，則

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞an+1n+1+an+1（n+1）2ann+ann2=limn→∞nn+1+n（n+1）21+1na

=1+01+0·a=a，

所以R=1a.

（2） a>b時，

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞nn+1+n（n+1）2·ban+11a+1n·ban·1a

=1+01a+0=a，

所以R=1a.

（3） a

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞n2n+1·abn+1+n2（n+1）2n·abn+1b，

其中，

limn→∞n2n+1·abn+1=limn→∞n2n+1ban+1

=limn→∞n-1+1n+1ban+1

=∞∞limn→∞1-1（n+1）2ban+1·lnba

=0，

limn→∞ n·abn=limn→∞nban=∞∞limn→∞1ban·lnba=0，

所以1R=0+10+1·b=b，R=1b.

5 總結

通過這道考博試題，我們發現求解冪級數收斂域問題時，若系數項有未知常數，則通常需要對其進行分類討論.而在第一步求解收斂半徑時，系數模比值法和系數模根值法也許都能用，但針對不同類型的系數項特點，會有一種方法更適合、更嚴密、更簡便.

【參考文獻】

[1]郝新生.應用數學[M].北京：中國農業出版社，2017.

[2]郝新生，薛自學.高等數學（下冊）[M].北京：中國農業出版社，2017.

[3]方桂英，崔克儉.高等數學：第四版[M].北京：科學出版社，2018.