拉格朗日中值定理在高等數學中的應用探索

陸華勇

【摘要】從微積分來看，拉格朗日中值定理是一塊非常重要的內容，它在導數和函數之間架起了橋梁，并且該定理已被應用于各個領域.本文采取舉例的方式對該定理如何被應用于高等數學進行了展示.

【關鍵詞】拉格朗日中值定理;應用;證明

引 言

從微分學來看，微分中值定理是基本定理之一，學生要想把微分學這塊內容學好，最重要的是對該定理的成立條件及其證明過程形成深刻的認識.在高等數學這門課中，微分學是其中的重要知識之一，該門課研究的是以實數集為定義域的函數具有哪些性質，在對函數性質進行探究的過程中，微分中值定理就是其中的一個不可或缺的重要工具.作為有效工具之一的微分中值定理，探討的是如何根據導數具有的性質推斷函數具有哪些性質，將導數知識用到了函數性質的探究中，在兩者之間起到了橋梁作用.微分學中最為基礎的是拉格朗日中值定理，對其進行推廣得到了柯西中值定理，而取其特殊情況又得到了羅爾定理，所以說拉格朗日中值定理充當著核心角色.對函數具有的包括最值、單調性以及極值等性質進行的探究，以及對曲線表現出的凹凸性進行的探討都是以拉格朗日中值定理為基礎的.本文圍繞著拉格朗日中值定理展開，對證明這一定理時構造輔助函數的若干種方法進行了介紹，并采取舉例的方式對該定理怎樣在例題中得到應用展開了分析.

一、拉格朗日中值定理的概念

基本內容：存在一個函數f（x），在閉區間[a，b]上為連續函數，在開區間（a，b）上為可導函數，那么在該開區間內至少有一點ξ，滿足a<ξ

解釋如下：（1）該定理也可以叫作有限增量定理，在導數和函數之間搭建起了橋梁，通過導數具有的性質就可以對函數具有的性質展開探究.

（2）該定理是基礎，進行推廣得到了柯西中值定理，特殊化處理則得到了羅爾定理，拉格朗日公式相當于0階泰勒公式.

（3）該定理既能夠在不等式以及等式的證明中得到應用，也能夠用于對函數具有的連續性、單調性以及凹凸性等多項性質展開探究.

（4）在對很多定理進行證明時，是否存在ξ是其中的一種理論工具.該定理指出存在至少1個的中值ξ，但是有些時候可能沒有辦法求解得到.例如，假設將f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a看作一個方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根這個問題.該定理的本質是對ξ是（a，b）中的一個無法確定位置的點形成深入認識，但是考慮到ξ是有范圍的，也就是a<ξ

（5）使用該定理解題時，其中的難點之一在于輔助函數的構造或者是選取.針對于此，可將等式f（b）-f（a）b-a視為分式，并以之為著手點構造函數f（x），同時將取值區間（a，b）確定下來，最后求解得到導數f′（x）.為得出f（b）-f（a）b-a，作出部分變形處理是很有必要的，如lnxx-1=ln x-ln（x-1），x-1<ξ

二、拉格朗日中值定理的證明

從拉格朗日中值定理來看，在對其進行證明時，應用的技巧是以構造輔助函數為主的，而輔助函數是有非常多種構造方法的，最為常見的有行列式法、K值法等，在這些方法中，最易掌握的是倒推法，應用得也相當廣泛，下文對倒推法用于輔助函數的構造的具體步驟進行了展示.

根據拉格朗日中值定理得到的結論不難發現：

ξ∈（a，b），s.t.f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

考慮到區間（a，b）內該函數為可導函數，因而導數在ξ點的取值就是F′（ξ），可以表示成f′（ξ）=f′（x）|x=ξ，但是函數f（b）-f（a）b-ax的導數是常數f（b）-f（a）b-a，所以待證結論能夠改寫為：

f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，

此時便可構造下述輔助函數：

F（x）=f（b）-f（a）b-ax-f（x）.

考慮到f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，所以有F（ξ）=0.考慮到區間[a，b]上F（x）為連續函數，（a，b）上則是可導函數，而且有F（a）=af（b）-bf（a）b-a=F（b），故而根據羅爾定理可知，肯定會有一個ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，也就是 F′（ξ）=f（b）-f（a）b-a-f′（ξ）=0，等同于f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

三、拉格朗日中值定理的應用

1.證明恒等式.

考慮到該定理得到的結論實質上為一個等式，所以該定理可在部分等式的證明中得到應用.

（1）證明單介值等式命題.

從這種命題來看，其題型往往是：肯定會有不少于1個的點ξ∈（a，b），F（x）=xf（x）以令G（ξ，f（ξ），f（n）（ξ））=0成立.在對這種命題進行證明的時候，其中的關鍵在于輔助函數的選取，輔助函數選取得精確，可將問題化繁為簡.通常而言，倒推法用于輔助函數的構造是較為可取的，具體步驟如下：第一步，用x來代替待證等式內的ξ;第二步，進行恒等變換，將等式化簡成導數符號易于消除的形式;第三步，仔細觀察，得到f（x）.

例1 假定存在一個函數f（x），在[a，b]上為連續函數，在（a，b）上為可導函數，試證：（a，b）內會存在不少于1個的點ξ，使bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）成立.

思路：針對bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ）+af（a）），用x來代替其中的ξ，這時會有bf（b）=（b-a）（f（x）+xf′（x））+af（a）.

對其變形，得到bf（b）-af（a）b-a=f（x）+xf′（x），

觀察發現，輔助函數選取為F（x）=xf（x）.

證明：構造函數F（x）=xf（x），那么該函數在[a，b]上為連續函數，在（a，b）上為可導函數，由拉格朗日中值定理不難發現，勢必會有不少于1個的點ξ∈（a，b），使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）成立，所以bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ），也就是bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）.

（2）證明雙介值等式命題.

從這種命題來看，其題型往往是：中值共有2個，用ξ，ηξ≠η來表示，且它們存在某種關系.這種命題的證明和單介值命題類似，輔助函數也是要構造的，區別在于這種命題通常需要構造兩個函數，題干中已知的僅僅是其中之一，有一個是未知的，這時就需要與結論得到的關于η的關系式相結合進行變換，具體步驟如下：第一步，對待證等式進行變形，得到兩個表達式，一個是與ξ相關的，另一個是與η相關的;第二步，仔細觀察，得到F（x）.

例2 假定存在一個函數f（x），在[a，b]上為連續函數，在（a，b）上為可導函數，而且有f（a）=f（b）=1，試證：（a，b）內會存在不少于1個的點ξ和η，使eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1成立.

思路：針對待證等式eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1，把ξ和η分開，也就是eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同于[exf（x）]x=η=（ex）x=ξ，此時可構造下述兩個輔助函數，一個是F（x）=exf（x），另一個是G（x）=ex.

證明：假定F（x）=exf（x），那么F（x）在[a，b]上為連續函數，在（a，b）內為可導函數，根據拉格朗日中值定理不難發現，（a，b）內會有不少于1個的點η，使F（b）-F（a）b-a=F′（η）成立，也就是ebf（b）-eaf（a）b-a=eη[f（η）+f′（η）]，故而有eb-eab-a=eη[f（η）+f′（η）].（1）

假定G（x）=ex，那么G（x）在[a，b]上為連續函數，在（a，b）上為可導函數，根據拉格朗日中值定理不難發現，（a，b）內會有不少于1個的點ξ，使G（b）-G（a）b-a=G′（ξ）成立，也就是eb-eab-a=eξ.（2）

綜合（1）和（2）可知eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同為：eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1.

2.證明不等式.

在對不等式進行證明的過程中，拉格朗日中值定理的應用是按照下述步驟展開的：第一步，對輔助函數f（x）進行構造;第二步，選取合理的應用區間（a，b）;第三步，確定中值ξ的取值空間.其中的重點在于第一、二這兩個步驟.從實際應用來看，輔助函數f（x）通常是以待證不等式為依據來確定的，并據此選取合理的應用區間（a，b）.下文采取舉例的方式對如何構造輔助函數進行了闡述.

（1）證明函數不等式命題.

在對這種命題進行證明時，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待證命題牽涉的往往只是同一函數在不同點的取值的差異，也就是待證不等式的某端通過變形之后形如f（b）-f（a）.解題思路如下：這種命題往往需要結合待證不等式對輔助函數f（x）進行構造，對該函數可以應用拉格朗日中值定理進行驗證，即為f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），而后按需放大或者是縮小，最后把其內的帶有ξ的項去掉，此時待證不等式就可得證.

例3 試證：在x>0的情況下x1+x

思路：對x1+x

x1+x

，因為f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，所以11+x

x1+x

f′（x）=11+xf′（ξ）=11+ξ（0<ξ

可以看到，輔助函數以及選定的應用區間均合理，下文對證明過程進行了詳細的闡述.

證明：

假定f（x）=ln（1+x），那么從區間（0，x）來看，f（x）=ln（1+x）可以應用拉格朗日中值定理，所以（0，x）內肯定會有1個以上的點ξ，可讓f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0

成立，即f′（ξ）=ln（1+x）-ln（1+0）x-0.

理由是f′（x）=11+x，因而f′（ξ）=11+ξ

，0<ξ

，11+x0的情況下，x1+x

從上述例題不難發現，若不等式成立的條件是x>a，那么應用區間選取（a，x）會較為合理.

（2）證明中值不等式命題.

這里所說的中值不等式命題指的是不等式關系內存在的中值命題.拉格朗日中值定理用于這種命題的證明時同樣要用倒推法，據此得出輔助函數，方法還是以結論為主要著眼點，相較于等式的證明而言，區別在于：一端進行變號處理，轉移至另一端，而后觀察，得出解題需要用到的輔助函數.

例4 存在一個函數f（x），在區間[0，1]上為連續函數，在區間（0，1）內為可導函數，而且有f（u）=u，試證：假定[0，1]上f（x）有非零值，那么在（0，1）內一定存在點ξ，可使f（ξ）f′（ξ）>u成立.

思路：此處需證f（ξ）f′（ξ）>u.由于f（ξ）f′（ξ）=f2（x）2′x=ξ，故而需要構造下述輔助函數：

F（x）=f2（x）2.

證明：

假定F（x）=f2（x）2，那么F（x）在區間[0，1]上為連續函數，在區間（0，1）內為可導函數，f（u）=u，因而存在a∈（u，1），可以使得F（a）=f2（a）2成立，這時有F（x）在區間[0，a]上為連續函數，在區間（0，a）內為可導函數，即能夠應用拉格朗日中值定理，故而存在ξ∈（0，1），會有F′（ξ）=F（1）-F（0）=F（1）>u，等同于：

F′（ξ）=f（ξ）f′（ξ）>u.

3.證明根的存在性.

例5 區間[0，1]上f（x）為可導函數，而且有0

證明：先通過構造法對存在根進行證明，而后通過拉格朗日中值定理對有且僅有一個根進行證明.

（1）根的存在性.

假定g（x）=f（x）+x-1，此時有g（0）=f（0）-1，g（1）=f（1）.考慮到x∈[0，1]時有 00，故而有g（0）·g（1）<0

，由根的存在性定理不難發現，區間（0，1）內g（x）必定會有實根.

（2）根的唯一性.

為證區間（0，1）內f（x）+x-1=0有且僅有一個根，通常會提出區間（0，1）內f（x）+x-1=0共有2個實根的假設，而后得到和已知不符的結論，這樣唯一性就可得證.下文對拉格朗日中值定理用于唯一性證明的詳細過程進行了說明：

先假定區間（0，1）內f（x）+x-1=0共有2個實根，用α和β來表示，并且假定α<β，這樣就能夠得到f（α）=1-α，f（β）=1-β，將拉格朗日中值定理用到[α，β]區間上的f（x）中，可知f（α）-f（β）=f′（ω）（α-β），整理可得f（α）-f（β）α-β=f′（ω），也就是：

（1-α）-（1-β）α-β=-1，與已知條件f′（ω）≠-1不符.

所以唯一性得證.

4.求解函數最值.

在對函數最值問題進行求解時，只有符合一定形式才能夠應用拉格朗日中值定理，例如，能夠化簡為t≥f（x1）-f（x2）x1-x2或者t≤f（x1）-f（x2）x1-x2這種形式，只有這樣才能夠用拉格朗日中值定理來求解.

例6 存在一個函數f（x），假定k為一個實數，x1和x2是其定義域中任取的兩個點，有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，那么函數f（x）（x∈D）就可以稱之為符合利普希茨條件，如果函數f（x）=x（x≥1）符合利普希茨條件，求k的最小值.

解：由題意可知，k≥f（x1）-f（x2）x1-x2，

由拉格朗日中值定理有f′（ω）=f（x1）-f（x2）x1-x2，

所以有k≥f′（ω），這樣就能夠求出f′（ω）的最大值.

因為f（x）=x，所以f′（x）=12x≤12，

故而f′（x）的最大值是12，即k的最小值是12.

5.求解函數極限.

在對函數極限問題進行求解時，拉格朗日中值定理同樣可以得到應用.如果待求函數的極限是同種函數的差值，自變量之間的差值只是一個常數，那么拉格朗日中值定理就能夠對其進行簡化，而后再進行求解.

例7 試求極限limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x.

思路：可以看到，該題是一種0·∞型未定式.從區間[x，x+1]來看，f（x）=arctan x可以應用拉格朗日中值定理，有：

arctan（x+1）-arctan x=11+ξ2，且ξ∈x，x+1.可以看到，x→+∞時ξ→+∞，而且有limξ→+∞11+ξ2=0.考慮到limξ→+∞x2=∞，這時極限limx→+∞x21+ξ2存在與否取決于ξ的一些細節，意味著對中值點進行的粗糙估計無法得出原極限，通過其他工具的應用進行支持還是很有必要的.

第一種解法（對中值點進行精細估計），考慮到arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2

，且有θ∈（u，1）.

這時limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+（x+θ）2=1.

第二種解法（采取夾逼準則），考慮到

arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2，

且有ξ∈（x，x+1），所以有

limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2，

可以看到x<ξ

而且有limξ→+∞x21+（1+x）2=limξ→+∞x21+x2=1，

故而limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2=1.

如果極限是包括f（b）-f（a）這種未定式的，作為重要工具之一的拉格朗日中值定理可以達到讓計算得到簡化的目的.通過事實發現：相較于對中值點進行粗糙估計來說，第二種解法顯然得到了更為廣泛的使用.通常來說，粗糙估計只可以在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的這種情況下適用，但第二種解法并不會受到這種情況的限制.第二種解法不單單能夠在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的情況下適用，在limx→x0f′（ξ）=0與limx→x0f′（ξ）=∞這兩種情況下也能夠適用，且應用更為廣泛.

但是只是從公式復雜程度來看的話，在形式上第一種解法顯然更為簡潔.所以，在對包括f（b）-f（a）在內的這種未定式極限的求解過程中，先采取第一種解法來分析是可行的，假使無法得到結果，常常會用到下述策略：

（1）對中值點進行修改，使之變成精細估計形式，而后再展開更為深入的分析;

（2）針對粗糙估計得到的中值點作放縮處理，而后通過夾逼準則的應用完成計算.

結束語

微分學的發展就是基于微分中值定理的，而且從實際應用來看，該定理的應用也是極為廣泛的，恰恰是因為這個定理這么重要，所以也被叫作微分基本定理.從三大基本定理可以看出，應用最為廣泛的當屬拉格朗日中值定理，原因在于它對于函數并沒有提出很嚴格的要求.在對問題進行求解時，關鍵點在于基于命題分解得到待求問題需要用到的函數，使得函數不單單可以應用拉格朗日中值定理，又能夠讓求解得到簡化.本文對該定理在包括等式、極限求解等在內的多個方面的應用進行了介紹.從該定理的整個應用過程來看，最為重要的問題有兩個，一個是輔助函數的構造，另一個是區間的確定.從整個過程可以看出，應用該定理求解問題的思路相對比較簡單.但是為了讓該定理能夠得到靈活應用，對本文總結得出的思想方法需進行靈活運用.

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