點差法的基本原理及其在高考數學中的簡單應用

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

一、點差法的基本原理

在研究直線被圓錐曲線截得中點弦問題時，設出弦端點坐標，并分別代入圓錐曲線方程得兩式，將其兩式相減，可得弦的斜率與弦的中點坐標之間的關系式，這種解題方法叫做點差法.

二、點差法的簡單應用

與弦中點相關的問題有三種，一是平行弦的中點軌跡；二是過定點的弦的中點軌跡；三是過定點且被定點平分的弦所在直線方程.其他問題都是由這三類問題衍生出來的.

1.已知弦中點坐標簡求弦所在直線方程

此類問題是點差法的最基本的簡單應用.

(1)求直線AB的方程；

(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C，D兩點，那么A，B，C，D四點是否共圓，為什么？

故直線AB的方程為y-2=1·(x-1)，即x-y+1=0.

(2)解略.

評注此問題用常規方法也易求解，但沒有用點差法來得快.

2.用點差法簡求軌跡方程

(1)點Q的軌跡方程；

(2)點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數.

解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x，y)，則有x1+x2=2x，y1+y2=2y.

故點Q的方程為2x2+y2-2ax-by=0.

(2)解略.

3.用點差法簡求圓錐曲線的方程

(1)求M的方程；

(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

解(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則

因此，a2=6，b2=3.

(2)解略.

評注此問題若沒有想到點差法，就不易求解了，甚至解不出來.

4.巧用點差法簡解對稱題型

一般地，對稱直線、對稱點的題目，用點差法求解較為簡便.

評注解此類題關鍵是用了點在圓錐曲線內部的充要條件，應認真領會.

5.注意中點的構造，創造點差法的條件簡解題

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；

(2)若任意以點A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

分析(1)略.

解(1)略.

又存在x02∈(0，a2)使上式成立，

評注(1)命題者(官方)給出的解答計算量較大，詳見文[4].(2)此問題，解法較多(詳見文[1])，上述解法最簡捷.

點差法在高考中有著廣泛的運用，如：2010年高考，山東卷·文9，新課標全國卷Ⅰ·理12，安徽卷·理19；2012年高考，湖北卷·理21；2013年高考，新課標全國卷Ⅰ·理10；2015年高考，全國卷Ⅱ·理20，浙江卷·理19；2018年高考，全國卷Ⅲ·理20.

綜上所述，點差法在各式各樣的題目中均有廣泛的應用，同時作為一種基礎數學方法，它與其它數學方法之間有著極大的相關性，這是我們在解題過程中所不能忽視的，在學習點差法的解題過程中要熟練掌握運用其它方法，才能夠把數學解題思想方法運用到解題過程中，來提高解題效率與質量.