水稻流行性病蟲害傳播系統的漸近解

汪維剛，汪維蓮，汪方圓

(1.安徽師范大學 數學和計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003；2.蕪湖職業技術學院 應用外語學院，安徽 蕪湖 241000；3.合肥幼兒師范高等專科學校 公共教學部,安徽 合肥 230011；4.云南大學 軟件學院， 云南 昆明，650091)

0 引 言

當前農藥濫用現象普遍，食品中毒、地表水污染、肺癌發病與死亡等變化率在上升，讓人感到可怕的是不少農民竟然還沒有意識到其巨大危害性.為了在理論和實踐雙層面上解決農藥適量使用問題，極大可能地將農藥對土壤、水稻等的毒副作用降低到最低程度，同時降低農業生產成本，當前迫在眉睫的任務是研究水稻流行性病蟲害傳播系統的漸近性。文獻[1-5]主要研究了針對病蟲害的不同類型在水稻生長的不同階段所采用的不同方法，有物理防治方法、生物防治方法、農業防治法和化學防治方法；文獻[6-7]研究了噴灑農藥主要集中在水稻害蟲蟲卵的高發階段，并采取了循序漸進的方式噴灑，而不是批量消滅害蟲，避免了病蟲卵產生抗藥體；文獻[8-40]研究了農藥對不同類型的病蟲害使用策略及效用等；而且文獻[5-6，8-40]都不同程度地指出了過于依賴化學農藥的投入，以及化學農藥使用的不合理，都必將造成環境污染，破壞生態環境.

1 水稻流行性病蟲害傳播系統

1.1 流行性病蟲害傳播動力學系統模型

考慮如下水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學的系統模型：

(1.1)

(1.2)

(1.3)

其中u(t)和v(t)分別表示在水稻流行性病蟲害傳播區域內的感染者株數和易感者株數,t為時間變量,d≥0表示易感者出生率,a,a1,b,b1,c,c1均為常數.在生態動力學系統(1.1),(1.2)中,auv表示由感染者與易感者因“交感”而造成的水稻被侵害增加速度,-buv2表示由采取防疫和治療措施后使得水稻被侵害減少的速度,af1(u)表示由于水稻死亡而引起的水稻被侵害減少速度,-a1uv項表示感染者與易感者“交感”易感者變為感染者后使得易感者所減少的速度,-b1u2v項表示采取防疫和治療措施后使得易感者所減少的速度,c1u項表示感染者增多時易感者的增加速度，a1f2(v)表示其他因素的影響。系統(1.1),(1.2)是一個典型的在患區水稻的流行性病蟲害傳播的生態動力學系統模型。由于(1.1),(1.2)是非線性動力學系統,它一般不能得到系統的初等函數的精確解，故求動力學系統(1.1),(1.2)解的漸近表達式,從將得到的表示式來定性地研究水稻流行性病蟲害的傳播形態和規律,其中N(t)為農藥需求函數，Nt=0=N0，Nm為水稻生長環境對農藥使用的最大容量，r為參數，t為時間。

1.2 變分迭代

從Eqs.(1.1),(1.2)可構建如下泛函：

(1.4)

(1.5)

令δFi=0,i=1,2.得到

因此，

λ1=exp(β(t-τ)),β=bv2,λ2=1

(1.6)

從 Eqs.(1.6),(1.4) 和 (1.5),我們構建下列泛函變分迭代式

(1.7)

(1.8)

我們選取如下零次迭代解

(1.9)

(1.10)

u0|t=0=u(0),v0|t=0=v(0)

(1.11)

其中u(0),v(0)是初始值 ，得到線性問題 (1.9)-(1.11)的解

u0(t)=u(0)exp(-βt)

(1.12)

(1.13)

用零次近似解(1.12)和 (1.13) 替代廣義泛函變分迭代式(1.7)和(1.8),我們能得到此模型(1.1),(1.2)的一次近似解：

0

(1.14)

(1.15)

這里

(1.16)

(1.17)

(1.18)

0

(1.19)

(1.20)

1.3 泛函分析同倫映射

為了使用泛函映射方法得到水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統的模型(1.1),(1.2)的漸近解,令

(1.21)

其中p∈[0,1]為人工參數[47,48].現引入一組泛函分析同倫映射Hi(u,v,p),R2×I→R,i=1,2:

H1(u,v,p)=L1(u,v)-L1(u0,v0)+p[L1(u0,v0)-auv+buv2-af1(u)]

(1.22)

H2(u,v,p)=L2(u,v)-L2(u0,v0)+p[L2(u0,v0)+a1uv+b1u2v-c1u-a1f2(v)]

(1.23)

其中I=[0,1],R=(-∞,+∞),(u0,v0)為水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統(1.1),(1.2)的初始的函數，線性算子 為

(1.24)

(1.25)

顯然,由(1.22)-(1.25)式知,Hi(u,v,1)=0(i=1,2)是水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統(1.1),(1.2).故系統(1.1),(1.2)的解(u(t),v(t))就是系統Hi(u,v,p)=0的解當p→1的極限.

2 動力學模型漸近解

(1.26)

(1.27)

且由(1.26),(1.27)式,初始值為u(0)=A1,v(0)=A2的解，不難可得到:

(1.28)

(1.29)

將(1.21)式代入(1.22),(1.23)式,展開非線性項關于p的冪級數，比較等式兩邊p的同次冪項的系數。由p的零次冪的系數可得

(1.30)

U0(t)=u0(t)=A1exp(-ct)

(1.31)

(1.32)

由動力學模型(1.1),(1.2)解的零次近似(1.31),(1.32)及泛函分析同倫映射(1.22),(1.23)可得:

(1.33)

(1.34)

其中u0,v0分別為(1.31),(1.32),不難看出,系統(1.33),(1.34)且在零初始條件(u1(0),v1(0))=(0,0)下的解為

(1.35)

(1.36)

由(1.21),(1.31),(1.32),(1.35),(1.36)式知,令p=1,水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統(1.1),(1.2)的一次函數(U1,V1)是:

(1.37)

(1.38)

由動力學系統模型(1.1),(1.2)解的零次近似(1.31),(1.32)及(1.35),(1.36)式和泛函分析同倫映射(1.22),(1.23)可得:

(1.39)

(1.40)

其中ui,vi(i=1,2)分別為(1.31),(1.32),(1.35),(1.36).不難看出,動力學系統(1.39),(1.40)且在零初始條件(u2(0),v2(0))=(0,0)下的解為

(1.41)

(1.42)

同樣可得水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統(1.1),(1.2)解的n次函數(Un,Vn)(n=3,4,…)。

3 結語

在物理防治、生物防治、農業防治等方法綜合使用的基礎上，研究了水稻流行性病蟲害傳播規律，使用藥量在多因素綜合影響下確保毒副作用小、水稻安全生產、生產成本小等目標得以實現，在文獻[41-43]的啟發下建立了數學模型，并用變分迭代、同倫映射等方法求出了水稻流行性病蟲害傳播的生態動力學系統的漸近解，真正實現科學地使用農藥，從而造福人類.