心中有型，釜底抽薪

吉婷

相似三角形是中考的必考內(nèi)容，常見于中考?jí)狠S題中。通過觀察和分析，我們可以發(fā)現(xiàn)復(fù)雜的圖形其實(shí)都是由一些常見的基本圖形組合變換而成，而圖形中又蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。理解并掌握這些基本圖形，對我們解決相似問題有很大幫助。

常見的相似三角形模型涉及兩大類，一類是平行線型，另一類是相交線型。請大家通過下面的思維導(dǎo)圖和兩個(gè)例題一起來感受模型的力量。

例1 如圖1，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一點(diǎn)，問是否存在P點(diǎn)，使得∠1+∠2=45°。若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

【分析】通過拋物線方程可以求出A（l，0）、B（3，0）、C（O，3），則△BOC是等腰直角三角形，∠OCB=∠OBC=45°。

題中已知∠1+∠2=45°，可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P可以在B的上方且滿足∠PCB=∠ACB，也可以和A重合。P可以看成是直線CP與拋物線的交點(diǎn)。將直線延長后，我們可以發(fā)現(xiàn)依邊傍角的母子型，便可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再將直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立方程即可求得。

解：若點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方，延長CP與x軸交于E點(diǎn)，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2，

∴∠1=∠E。

又∵∠COA為公共角，

∴△OCA一△OEC，

∴OC2=OA·OE，即9=1×OE，

∴0E=9，∴E（9，0），

∴直線表達(dá)式為y=-1/3x+3。

將直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立方程可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11/3，16/9）。

若P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則P（l，0）也符合題意。

綜上所述，P的坐標(biāo)為（11/3，16/9），（1，0）。

【點(diǎn)評】當(dāng)點(diǎn)P可以在B的上方時(shí)，我們觀察圖形，發(fā)現(xiàn)∠1在Rt△OCA中，這個(gè)三角形中的角和邊都已知，因此我們抓住該三角形的邊和角。由∠1+∠2=45°，延長CP能找到和∠1相等的角，這樣我們就能發(fā)現(xiàn)依邊傍角的母子型。構(gòu)造母子型解決問題時(shí)，我們一定要先定三角形，再定定角，最后構(gòu)等角。

例2 如圖3，在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠ABD= ∠DBC=22.5°，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠ADE=67.5°，∠BA D=112.5°，AB=6，求CE的長。

【分析】由AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，求得∠BA E=45°，這樣∠BGE=∠AGD=67.5°。題中又知∠ADE=67.5°，出現(xiàn)一線兩等角，所以作∠AFB=67.5°，不僅能構(gòu)造Rt△BFA，還能構(gòu)造異側(cè)一線三等角模型△FDA-△GED，易得∠DA F= ∠GDE=22.5°，所以∠DEC=45°。再由∠DBC=∠GDE=22.5°得DE=BE。在等腰Rt△BEA中，BE=32，則在等腰Rt△DEC中，求得CE=3。

解：作∠AFB=67.5°。

∵AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，

∴∠BA E=45°。

在等腰Rt△BEA中，AB=6，

∴BE=32，∠BGE=67.5°，

∴∠DGE=112.5°。

∵∠FB=67.5°.

∴FD=112.5°，∠BA F=90°，

∴∠DGE=∠AFD。

∵∠ADF+ ∠GDE= ∠GED+ ∠GDE=67.5°，

∴∠ADF=∠GED，

∴△FDA-△GED，

∴∠DA F=∠GDE=112.5°-90°=22.5°.

∴∠DEC=45°，∠GDE=∠DBC=22.5°，

∴DE=BE=32，

∴在等腰Rt△DEC中，CE=3。

【點(diǎn)評】本題通過已知角度，可以挖掘出相等的角。難點(diǎn)在于利用哪些等角解決問題，那么這里的∠BGE、∠ADE是我們要找的相等的角，BD是我們要找的定邊，這就出現(xiàn)一線兩等角，所以我們再構(gòu)造一個(gè)與之相等的角就可以解決問題了。在構(gòu)造一線三等角的時(shí)候，我們要找到等角，抓住定邊，利用同側(cè)、異側(cè)模型進(jìn)行構(gòu)造。

模型可以讓問題本質(zhì)化、簡潔化、一般化。有了以上的模型，我們就能讓復(fù)雜的相似問題的解決有了共同的程序和方法。在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要善于將數(shù)學(xué)問題建立模型，讓數(shù)學(xué)思考更有方向，讓數(shù)學(xué)思維更為高效。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)華羅庚實(shí)驗(yàn)學(xué)校）