基于MFD與距離的邊界收費策略

李茹雪，劉 瀾,2

(1.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031; 2.西南交通大學 綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031)

0 引言

隨著城鎮化進程的發展和人們生活水平的提高，私人小汽車的擁有量快速增長，交通擁擠成為制約大城市經濟發展的一個重要問題。同時，人們也逐漸從世界各地解決交通擁堵的實踐中認識到：從交通供給層面新建或擴展道路，在緩解擁堵的同時也產生了新的需求，結果便是導致交通出行環境的進一步惡化。因此，擁擠收費作為一有效的交通需求管理手段被提出，通過在特定的時段或路段對車輛實行收費的方法，限制車輛的使用頻率，降低用戶出行需求的增長速度，從而維持系統合理的運行和服務水平。

在過去的幾十年里，擁擠收費在倫敦[1]、新加坡[2]、斯德哥爾摩[3]等多個國家或地區得到了實踐。這些擁擠收費策略大都采用了邊界收費的方法，即對劃定邊界區域實行收費從而達到目標函數最優。大多數邊界收費研究采用收費相同的單一費率方法，如 Verhoef建立了仿真模型來研究邊界收費，并通過啟發式算法求解得到費率和收費點的最佳位置[4]。但隨著研究的深入，單一費率的收費模式逐漸顯現出不公平、造成資源浪費等弊端。2000年，May 和Milne首先提出了分別基于時間、擁擠度和距離的3種多費率邊界收費策略[5]。其中前兩種收費策略通常與其他收費方法結合使用，而基于距離的邊界收費策略因其公平高效的特點得到了眾多學者的關注。在May的基礎之上，早期的學者們對英國[6]和德國[7]進行了基于距離的收費策略研究，但將費用定義為行駛距離的線性函數的做法與現實不符。隨后，Lawphongpanich和Yin提出了一種非線性的收費策略，即利用分段線性函數表達非線性距離函數進而求得費用，但該分段線性方法只能將分段數量限制在兩段及以下[8]。為了滿足交通網絡對更多分段形式的要求，Meng研究了將非線性距離函數等分成n段線性函數來獲取最優距離收費的方法，并提出最優距離收費函數是關于距離的非遞減正函數[9]。國內的孫鑫[10]和程啟秀[11]分別研究了基于距離的靜態與動態收費策略，前者對求解非線性距離函數中基于路段的算法進行了改進，后者則考慮交通流的時變性，研究隨機逐日動態擁擠收費下的最優費率。Zheng首先將宏觀基本圖(Macroscopic Fundamental Diagram)作為判斷最優收費的工具來實施邊界收費策略[12]，證明了MFD相比其他方法更為直觀有效，但單一費率的邊界收費忽略了車輛在邊界區域中行駛的距離。因此為了提高擁擠收費的公平性與有效性，本研究提出將MFD與多費率邊界收費策略相結合的方法，即考慮車輛在邊界區域中行駛的距離對費率產生的影響，將MFD的相關特性應用于收費模型，得到使邊界收費區域的通行能力維持在最優水平的收費策略。

智能交通技術的迅猛發展為該收費策略在數據的獲取上提供了技術保障。以電子警察系統、治安卡口系統和各類城市交通監控系統為代表的智能交通系統建設，基本上實現了在我國大中城市主要路段和交叉口信息采集點位的完整覆蓋[13]；結合GPS和北斗衛星導航定位系統、電子地圖和ETC等技術的應用，能夠實現車輛的精確定位，從而獲取車輛在邊界區域內的行駛距離，再根據收費函數即可計算出出行者應支付的費用。現代信息技術提供的大數據環境，加之數據采集、存儲、傳輸和計算等方面軟硬件技術的飛速進步，為在實際交通管控業務中完備、精細地處理各種復雜因素提供了可能。

為此，本研究首先在第1部分介紹了MFD的基本概念和相關特性，在此基礎上第2部分定義了收費函數的非線性形式，并結合MFD特性建立了固定需求下的雙層規劃收費模型，第3部分則提出了一種基于非線性收費函數的改進FW算法，以求解該收費模型。為了驗證模型和算法的可行性，論文在第4部分中進行了算例分析，并在第5部分總結了研究工作的結論，提出了面向實際應用，進一步深化研究的方向。

1 基于MFD的邊界收費策略的提出

圖1 區域路網宏觀基本圖Fig.1 Macroscopic fundamental diagram of regional road network

(1)

式中，a和da分別為路段a和該路段的長度；qa為路段a上的流量。

從圖中可看出，當路網內的車輛數累積到一定數值時，加權流量到達臨界值，路網整體運行效益最優[16]；若車輛數繼續增長，則加權流量會隨之降低，此時路網處于過擁擠狀態。基于此性質，許多學者將MFD應用于構建控制模型[17]或經濟學模型[9]中。

因此，借鑒相關策略中通過MFD調節進入邊界的車輛數這一思想，在實施收費策略時，將MFD的相關參數與收費模型相結合，讓區域內的累計車輛數N盡量保持在臨界車輛數N*附近，從而使收費區域的運行效益最大，保證區域內交通運行暢通。

2 基于距離的邊界收費方案設計

2.1 距離收費函數

在以往將距離收費函數設置為線性形式的收費策略中，曲線斜率多是人為主觀設定，導致無法準確獲得系統最優目標值。因此，本研究將基于距離的收費函數定義為非線性函數：

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由于該收費函數是非線性的，造成廣義路徑出行時間不等于該路徑上各條路段出行時間之和，這被稱為路徑成本的不可加性[16]。在此采用分段線性逼近的方法來解決此非線性收費問題。首先用lmax和lmin分別為邊界區域中最大和最小的路徑長度，對應于收費費率ymin和ymax。將該范圍等分為n個相同的間隔，并假設收費費率是車輛在收費區域中行駛距離的非遞減函數，則非線性函數近似由n個線性函數組成，且每個線性函數由間隔的兩個邊界值唯一確定。如圖2所示，當車輛在邊界區域中的行駛距離值屬于某個間隔范圍內時，就使用該間隔的線性函數計算費率。

圖2 分段線性收費原理Fig.2 Piecewise-linear tolling principle

因此得到計算基于距離的收費費率公式為：

(4)

2.2 固定用戶平衡下的雙層規劃模型

用MFD判斷上層目標函數是否達到最優的方法，既簡化了求解雙層規劃模型過程中的計算，又能根據收費區域的MFD圖像，較為直觀清晰地觀測出系統處于最優運行狀態下的臨界值，從而找到使收費區域輸出流量最大的費率組合y=[y0,y1,…，yk,yk+1,…，yn]Τ。因此，以收費區域輸出流量最大為目標建立上層模型，目標函數如下：

(5)

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式中，a和da分別為收費區域內路段a和該路段的長度;xa為收費區域內路段a上的流量。

假定交通網絡中用戶的路徑選擇行為服從Wardrop第一定理，即用戶知道每條可選擇路徑的交通時間，并能選擇其中的最短路，此時就達到了用戶平衡狀態(UE)。在實行收費方案后，用戶在交通網絡內進行路徑選擇時不僅要考慮路徑的出行時間，還要考慮收費所造成的出行成本的增加。利用出行時間價值這一參數，將收費所造成的出行成本換算為時間費用，得到廣義出行成本如下：

(7)

式中，β為用戶的出行時間價值，路段出行時間ta(xa)采用BPR函數計算，如下公式所示：

(8)

式中，Ca為路段a的通行能力。在給定的距離收費函數下，得到的下層用戶均衡模型如下：

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3 基于路段的FW算法

Frank-Wolfe(FW)算法作為一種可行方向法，廣泛運用于求解含線性約束的非線性規劃問題。該算法主要可分為確定可行下降方向和確定步長兩個步驟，其中確定可行下降方向等價于求解線性規劃問題，進一步等價于求解最短路問題[9]。但由于非線性距離收費函數導致了路徑成本的不可加性，使用傳統的最短路算法不再可行。因此Meng等人提出了一種網絡轉換法(Network Reformation Technique)以解決路徑成本的不可加性問題[18]。該方法通過用虛擬路段(Dummy Link)替代收費區域中的路徑，從而將路徑不可加成本轉換為基于路段的可加成本。

對收費區域中的每一個OD對(m,n)∈ψ，至少有1條非循環路徑連接起點m和終點n，即內部路徑，收費區域中所有的內部路徑構成集合E。用虛擬路段替代OD對(m,n)間所有的內部路徑e∈E后，包含虛擬路段的新收費區域與外部網絡就組成了新的交通網絡G′=(N′,A′)。

圖3 網絡變換法示例Fig.3 Illustrative example of network transformation method

如圖3所示，原始收費區域由節點1，2，3和路段1，2，3構成，OD對1-3之間的兩條內部路徑分別1→2→3和1→3。經過網絡變換后，內部路徑由1-3-1和1-3-2兩條虛擬路段代替。這就將原本基于距離的路徑不可加收費轉化為只存在于虛擬路段上的可加收費，每條路徑上的廣義出行成本就等于其上各路段的成本之和[10]。解決了路徑成本的不可加性問題后，基于虛擬路段的FW算法步驟如下：

4 算例分析

圖4 路網拓撲結構Fig.4 Road network topology

由表1中的數據可知，收費區域中的最短和最長距離分別為300 m和900 m。假設分段線性函數有3個間隔，每個間隔長度為200 m，得到4個邊界值l0=3，l1=5，l2=7，l3=9。參考新加坡的收費制度，將最小收費和最大收費分別定為y0=ymin=5，ymax=20。

表1 簡單網絡路段參數Tab.1 Link parameters of simple network

表2 內部路徑參數Tab.2 Parameters of internal routes

在Vissim中構建上述簡單網絡的仿真路網，將該仿真路網的仿真周期設置為3 600 s，每隔90 s采集1次數據，對出入路網的車輛數、路網內各路段流量、路網平均行程時間、路網平均延誤時間進行統計。由于擁擠收費策略的對象不包括行人、自行車和公交車，因此僅針對小汽車進行仿真。通過在路網進出路段布設數據采集點，得到仿真時間間隔路網內的累積車輛數，再對各路段流量進行距離加權，最后得到表示路網加權流量與累積車輛數的關系如圖5(a)所示。

圖5 模擬迭代過程Fig.5 Simulation and interative process

利用MATLAB對MFD散點圖進行擬合后，發現得到的擬合函數符合二次曲線形式：

qw=0.000 4N2+0.696 1N+56.582。

(13)

從MFD散點擬合圖和擬合函數中可以看出，當路網內累積車輛數處于870輛附近時，路網的加權流量達到其峰值359 veh/h，此時的流出量最大。而在本研究提出的收費模型中，上層目標函數正是要使路網的輸出流量最大，從而使系統的整體運行效益最優。因此，這就確定了收費模型中上層模型的目標函數值，將離去率λ取為0.8，則路網最大輸出流量為287 veh/h。通過MATLAB求解文中提出的雙層規劃收費模型，在收費條件下得到目標函數值的迭代情況如圖5(b)所示。在算法迭代到33次時，輸出流量最接近于目標函數值，為286.79 veh/h。這一結果表明，此時在模型中應用的收費函數使路網整體運行效益最優，即為最優收費策略。由此得到的非線性最優收費函數如圖6所示。

圖6 基于距離的最優收費函數Fig.6 Distance-based optimal tolling function

從圖6中可以看出，該路網最低收費為5元，最高收費為16元。對在邊界內行駛距離較短的車輛，費用曲線增長平緩，收費力度較小，因此行駛中小距離的車輛可能還是傾向于選擇汽車出行。而對于邊界內的長距離行駛車輛，費用增長幅度較大，出行費用的明顯增加能在一定程度上鼓勵用戶縮短在邊界區域中的出行距離，同時也促進用戶的出行方式向公共交通轉變。

5 結論

本研究建立了一種將MFD與距離收費理論相結合的最優定價模型，該模型中考慮固定需求下的用戶平衡，采用非線性距離收費函數影響用戶的出行選擇行為，從而使網絡的輸出流量最大。在求解過程中通過網絡變換的方式構建虛擬網絡，以解決非線性距離函數所引起的路徑成本不可加性問題，并基于虛擬網絡設計了基于路段的FW算法。通過算例驗證得到了使路網內車輛數維持在最優水平附近的分段線性收費函數，證明了該收費模型和算法的可行性。值得指出的是，由于現實應用場景的多樣性，受制于基礎數據獲取的困難，各種影響收費的復雜因素往往難以完整考慮，需要根據不同的現場實際，選取適用因素并簡化模型應用。特別是實施收費后可能引發的各路段交通量變化和數據疊加效應，為制定收費方案增加了新的難度；同時，考慮到更好的公平性和接受度，后續的研究可在基于距離收費的基礎上加入時間或擁擠度等因素，結合MFD進一步探討多費率下的最優定價及動態優化問題，提出一種不僅精確并且具有廣泛實用性的改進模型及方法。