專題型微課在初中數學幾何推理能力培養中的應用

南寧市第三十七中學 李明哲

微課是運用信息技術呈現數學片段教學的一類教學資源，具有主題突出、問題聚焦、時間簡短、制作簡便等優點，更有利于初中生數學核心素養的培養。課堂教學更多的是基于對全班學生整體水平的預估而進行的，進度基本統一，很難關注到所有學生的個性化需求。而且每個學生的認知基礎、理解能力、接受能力、課堂專注度和學習習慣各不相同，同樣的學習內容，不同層次的學生在課堂上的掌握情況各不相同。因此，課后可以針對不同學生的認知現狀，設計專題型微課，實施更具針對性的教學。專題型微課既要考慮內容上的補充性，又要考慮學習對象的針對性。我校開發了一系列專題型微課，包括資源彌補型、拓展提升型、重難點解析型等系列微課，以“問題解決”為核心，注重數學思想方法的滲透，培養學生數學核心素養。同時，以年級為單位，組建基礎群和提高群兩種層次的學習群，不同層次的學生根據自己的學習情況選擇學習群，教師在不同學習群推送難度不同的微課，同時輔以微課變式練習，讓學生根據自己的情況選擇微課學習和完成同步練習，自主完善知識體系，形成數學思維，提高數學學習能力。依據學生認知特點、學習特點，把幾何推理能力培養分為萌發期、發展期、提高期三個階段。專題型微課可以在幾何推理能力培養的三個階段進行應用，幫助學生提高邏輯推理能力，拓展數學思維。

一、專題型微課在幾何推理萌發期中的作用

1.培養直觀實驗動手操作能力

低年級學生的年齡較小，幾何推理能力較低，數學認知結構水平有限，所獲得的知識系統性弱、結構性差。因此，在幾何推理能力萌發期，重視學生動手實驗操作，通過看一看、量一量、做一做的直觀實驗來進行推理和判斷，通過引導，不斷培養學生的直觀感知，從而提高對圖形的直觀推理能力。

教師在課堂上組織學生進行實驗、嘗試、觀察、類比等合情推理的實驗活動時，由于課堂時間有限，每個學生的認知基礎、動手能力、觀察能力和理解能力不同，在同一實驗活動中獲得的數學體驗及對知識的理解也不盡相同。專題型微課可以在課后補償性學習中彌補這個不足，微課可再現實驗操作過程，學生可通過微課視頻學習同時進行動手操作。微課具有暫停、快進、重復等功能，不同學生可以根據自己的實際情況重復使用，加深對知識的理解。同時，微課還可以作為課堂內容的延伸，針對課堂學習內容設計不同難度的問題，供不同層次的學生學習。例如，在七年級上冊學習“長方體展開圖”時，微課可以通過動畫演示十一種側面展開圖的情況，學生可以跟著學習視頻把一個盒子同步拆解，在動手實驗過程中領悟由立體圖形到平面圖形的轉化，各種展開圖之間的區別以及其中蘊含的規律。微課可以開展拓展性學習，對學習能力比較強的學生，可讓其根據微課學習收獲設計制作長方體形狀的包裝紙盒，以提高學生動手能力，培養幾何直觀思維，對數學知識進行深度探究。

2.培養嚴謹的數學語言表述能力

在幾何學習中，文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言是培養學生幾何推理的基礎。課堂上通過教師的引導，讓學生明確如何將文字語言轉化為幾何符號語言，訓練學生看圖識圖的能力，“圖形+文字”轉換為“幾何符號”進行嚴謹的推理過程的證明。在教學中，教師注重幾何語言規范和板書規范，促使學生養成良好的幾何文字語言的嚴謹性，為培養幾何推理打下扎實的基礎。

學生學習能力不同，在課堂上對幾何推理過程的掌握情況也不盡相同。專題型微課每節課針對一個小知識點展開學習，包括設置問題情境提出問題、引導分析問題、解決本微課的問題、方法與規律的歸納、遷移應用等五個環節。學生可以通過微課學習補上自己知識上的缺漏，規范書寫格式，學會分析問題的方法，總結解題經驗，然后通過微課同步變式練習進行遷移應用，形成數學學習能力。幾何推理要求言之有據，每一步證明過程都有公理、定理、性質作為依據，學生在幾何推理的萌發期對此不是很重視。微課可以通過在視頻中設置動畫提示、填空、小游戲等形式，讓學生重視推理過程要有理有據，理解幾何推理的嚴謹性。

二、專題型微課在幾何推理發展期的作用

在幾何推理的發展期，學生隨著年齡的增長，其邏輯推理能力和理解能力進一步增強，教材的內容由研究點、線、角等基本圖形向三角形、四邊形、多邊形等較復雜的圖形發展，同時，此階段出現添加輔助線解決問題等高階思維，對學生的空間想象能力、邏輯推理能力、模型意識等數學能力提出了進一步要求，增強了對綜合能力的考查。

1.培養幾何模型意識

《義務教育數學課程標準》（2011 年版）提出“應當注重發展學生的模型思想”，數學模型思想的培養有助于學生應用能力、創新能力的提高。在教學中，基本概念、定理、性質等都是基本幾何模型，在學生的認知基礎上，為了便捷研究相關問題，在基本模型基礎上提煉出更復雜且具有某種結構特征的模型，例如“一線三等角”模型、正方形“十字架”模型、“將軍飲馬問題”等。初中數學的教學一定程度上就是模型教學，一個個有序、完備的模型體系構成了數學的知識網。每一個模型的建立都對應著一個知識模塊，而模型內部建立了知識模塊之間的聯系，從而讓數學知識成為一個有機整體。專題型微課把基本模型設計成系列微課，讓基本模型系統化、有序化、整體化。學生根據自己的學習情況自由選擇，強化模型意識，提高解題能力。

3.發展中國家應對BEPS的弱征管能力尋求中國的幫助。BEPS是全球化深入發展的產物，AP-BEPS是多邊框架，實施AP-BEPS，需要發展中國家參與共同協力合作，才能形成全球稅收征管合力，維護發達經濟體和發展中經濟體的稅收利益。發展中國家征管基礎薄弱，應對BEPS的征管能力相對較弱，AP-BEPS的實施成本較高，迫切需要中國等新興市場經濟體幫助其征管能力建設，切實提高其應對BEPS的征管能力。

例如，“將軍飲馬問題”系列微課做出了如下設計（如圖1）：

圖1

學生通過系列微課的學習，掌握求最短路徑的各種情況，對于符合基本模型的圖形求線段和、三角形、四邊形周長都有深入學習，在完成基本模型學習后進行綜合應用，完成數學能力的遷移和應用。

2.變式教學拓寬思維的深度和廣度

在專題型微課中使用變式教學，以三維目標為導向，有目的、有計劃地對數學命題進行合理轉化，不斷更換命題中的非本質特征，促使學生掌握數學對象的本質屬性，最終使學生透過現象看到數學知識的本質，同時，通過對數學問題的多角度、多方位、多層次討論和思考，培養學生的數學思維品質。變式教學中使用一題多解、一題多變、一法多用和一題多用等變式，拓寬學生思維的深度和廣度，促進學生的深度學習。專題型微課把綜合性較強的題目進行分解，對題目涉及的重要知識點進行分課時講解，同時對題目進行改編，通過變式展示知識發生、發展、形成的過程，從而讓學生理解知識的來龍去脈，形成知識網絡，使學生抓住問題的本質，加深對問題的理解。

例題：如圖2，已知在等邊三角形ABC 中，點O 為BC 邊上任意一點，點D 在AC 的延長線上，且OA=OD,求證：AD=AB+OB。

圖2

這道題綜合性比較強，需要添加平行線構造等邊三角形或者用截長補短法來解決問題。我們把這道題設計三個課時的微課，讓學生從這道題中更深刻地理解平行線構造等邊三角形和截長補短法的應用。

第一課時：平行線構造等邊三角形，共九種方法（如圖3）。

圖3

第二課時：截長補短法構造等邊三角形，共六種方法，如圖4。

圖4

第三課時：構造等邊三角形綜合應用。

由于有前兩個課時的鋪墊，這道題用構造平行線或截長補短法就有八種不同的解法，如圖5。

圖5

同步變式：

已知△ABC 為等邊三角形，AD=DE。

（1）如圖6，當點D 為線段BC 上任意一點，點E 在AC 的延長線上時，線段BD、AB、AE 有何關系？請證明你的猜想。

（2）如圖7，當點D 在線段CB 的延長線上，點E 在線段AC 上時，線段BD、AB、AE 有何關系？請證明你的猜想。

圖6

圖7

三、專題型微課在幾何推理提高期的作用

在幾何推理的提高期，專題型微課注重培養學生的幾何結構關聯推理和形式邏輯推理，能識別不同圖形的特征和相關圖形間的關系，能從復雜圖形中找到基本圖形和基本模型，接受其內在隱含的關系。專題型微課注重引導學生通過幾何結構關聯推理，尋找出整個推理方向和推理思路，熟練地運用形式邏輯進行表達，完成幾何證明的全部過程。在初三的總復習中，通常一道綜合性較強的壓軸題涉及的知識點較多，圖形較復雜，常常是基本模型的疊加，專題型微課注重引導學生識別其中的基本圖形和模型，同時把題目中涉及的知識點設計成系列微課，搭建知識框架，完善知識體系，最后設計同步變式，完成知識應用和遷移。

例如：（2017 年南寧市中考題第25 題）如圖8，AB 是⊙O 直徑，弦CD ⊥AB，垂足為H，連接AC，過 上一點E 作EG ∥AC 交CD 的延長線于點G，連接AE 交CD 于點F,且EG=FG，連接CE。

（1）求證：△ECF ∽△GCE；

（2）求證：EG 是⊙O 的切線；

此題涉及知識點包括：垂徑定理、三角形相似、平行線的性質、圓的切線、銳角三角函數的應用。

專題型微課設計如下：

（1）就這道題涉及的知識點，設計5 個系列微課，每一個知識點可以設計一節微課，搭建知識框架，完善知識體系，培養學生的應用意識，加深對知識的理解。

（2）設計系列同步變式訓練：

在學生幾何推理能力的培養中，專題型微課遵循學生心理、智力的發展特點，循序漸進地強化幾何知識的學習，讓學生在學習中獲得成就感，激發他們的探究欲望，促使全體學生幾何推理能力的提高。在系列微課設計中注重以“問題解決”為核心及數學思想方法的滲透，培養學生數學核心素養。