加強知識聯(lián)系，提升解題能力

溫瑩

[摘 ?要] 隨著新課改的不斷深入，以“題海戰(zhàn)術(shù)”提升解題能力的時代已然成為過去. 文章認(rèn)為建立知識聯(lián)系的方法有單元系統(tǒng)化、專題系統(tǒng)化與學(xué)科系統(tǒng)化. 同時，文章以一道綜合題的教學(xué)為例，具體談?wù)劷⒅R聯(lián)系、提升解題能力的操作方法.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;知識聯(lián)系;解題教學(xué)

新課標(biāo)提出：“學(xué)生能力的培養(yǎng)應(yīng)以解題為突破口，讓學(xué)生在解題實踐中提升各項能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). ”可見，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容之一. 而解題能力又屬于一種個體獨特的心理形成物，具有一定的特殊性. 實踐證明，從知識之間的聯(lián)系著手，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地建構(gòu)完整的知識體系，可幫助學(xué)生形成可持續(xù)發(fā)展的解題能力.

建立知識聯(lián)系的方法

不少學(xué)生都有這樣的困擾：到初中后數(shù)學(xué)內(nèi)容紛繁復(fù)雜，方程、函數(shù)、幾何等千變?nèi)f化的知識點讓不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一團亂麻，說不清、道不明，剪不斷、理還亂. 其實，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性的學(xué)科，只要定期整理、練習(xí)、鞏固，就可以建構(gòu)成新的知識體系，體系一旦建成，解題能力就會得以發(fā)展.

（1）單元系統(tǒng)化：針對一些相對獨立的知識點，教師可鼓勵學(xué)生以單元為單位，進行一定的歸納與總結(jié)，形成一個“知識鏈”. 學(xué)生在“知識鏈”的提煉中，逐漸在大腦里編織成一張新的以單元為單位的知識網(wǎng)，而每個知識點則是這張知識網(wǎng)的結(jié)點.

（2）專題系統(tǒng)化：專題系統(tǒng)化主要是指打破教材所設(shè)定好的單元或章節(jié)體系，將同類的知識點或解題思想歸納在一起進行提煉、總結(jié)，以形成新的知識體系，讓學(xué)生能更好地解決同類問題. 例如，化歸思想是解題中常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，常涉及配方法、待定系數(shù)法、代入法、由抽象到具體的方法等. 我們可以將這些方法運用到涉及化歸思想的問題，歸納在一起進行專題復(fù)習(xí)，以提高學(xué)生的解題能力.

（3）學(xué)科系統(tǒng)化：學(xué)科系統(tǒng)化是指站到一定的高度，從總體上審視學(xué)科結(jié)構(gòu). 將數(shù)學(xué)看成一個整體的系統(tǒng)（如一棵樹），而這個系統(tǒng)又由幾個子系統(tǒng)（樹干）組合而成，子系統(tǒng)又由更小的子系統(tǒng)（樹枝）構(gòu)成，這些更小的子系統(tǒng)由一個個的知識點（樹葉）所組成.

解題教學(xué)建立在學(xué)科系統(tǒng)化的基礎(chǔ)上，會讓學(xué)生充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)科獨有的魅力，了解其基本原理，從而在大腦中建構(gòu)成完備的數(shù)學(xué)知識體系，為形成舉一反三的解題能力奠定基礎(chǔ).

教學(xué)案例

原題 ?如圖1所示，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接正方形，已知AB=4且PC與PD分別為☉O的兩條切線，切點分別為C，D. （1）求☉O的半徑;（2）若已知點E為BC邊的中點，連接PE，則PE的長度是多少？（3）如圖2所示，點M為BC邊上的任意點（點B，C除外），若以M作為直角的頂點，作∠AMN=90°，與直線CP相交于點N，求證：AM=NM.

1. 學(xué)情分析

本題主要考查學(xué)生對正方形和圓的綜合認(rèn)識. 其中，問題（1）比較簡單，只要有一定的基礎(chǔ)，就能順利結(jié)題;問題（2）的難度適中，符合大部分學(xué)生的認(rèn)知水平;問題（3）對于大部分學(xué)生來說，有一定的困難. 筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生直接放棄了問題（3）的解答，也有小部分學(xué)生雖作了一些嘗試，但最后仍以失敗告終.

基于學(xué)生原有的認(rèn)知，要求證AM=NM，通常以添加輔助線、構(gòu)造全等三角形為思維的切入點. 但全等三角形、圓和正方形在教材或教學(xué)中屬于不同板塊的內(nèi)容，它們不在同一時期學(xué)習(xí)，與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的距離有點遠(yuǎn). 這就需要教師將不同專題的內(nèi)容融合在一起，建構(gòu)新的知識體系. 本題最大的挑戰(zhàn)在于如何添加輔助線.

為此，筆者充分發(fā)揮了本題的教學(xué)價值，具體談?wù)勅绾卧诮忸}教學(xué)中建立知識之間的聯(lián)系，以突破學(xué)生的思維障礙，獲得解題技巧，提高解題能力.

2. 常規(guī)的解題方法

問題（1）：只要結(jié)合正方形的判定定理與切線的性質(zhì)，即可獲得☉O的半徑.

問題（2）：一般利用垂徑定理得OE⊥BC，∠ECO=45°，再運用勾股定理即可求得PE的長度.

問題（3）：在AB邊上取點F，使得BF=BM，利用問題（1）的答案求出∠MCP=135°，由全等三角形的性質(zhì)與判定定理即可得到AM=NM. 解決此問時，一般通過截長的方法構(gòu)建全等三角形，但也有學(xué)生嘗試運用補短法，想利用∠AMN為直角構(gòu)造出“K字形全等”的方法來求證，但在證明過程中遇到了新的障礙.

3. 建立知識之間的聯(lián)系，探尋解題技巧

常規(guī)解題中，大部分學(xué)生都是通過截長法或補短法的運用，將線段AM與NM放到三角形中證得其全等而解決問題. 這種解題思路的側(cè)重點在于全等三角形與正方形，而本題的題設(shè)條件既然給出了圓這個圖形，是否能充分利用這個條件呢？

若將線段AM與NM構(gòu)造到同一個三角形（△AMN）中再求證，只要證明該三角形為一個等腰直角三角形即可. 本題中的點A，M，C，N共圓是一個隱含條件，只要發(fā)現(xiàn)這個條件，解題將變得輕松. 為了讓學(xué)生充分感知知識之間的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)思維呈遞進式發(fā)展，筆者設(shè)計了以下教學(xué)過程：

（1）知識鏈接.

①如圖3所示，點P為線段AB上的一點，且AP=BP=CP=DP，若∠CPB=60°，則∠BDC的度數(shù)是多少？

②如圖3所示，△ABC與△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，P為線段AB的中點，若∠CPB=60°，則∠BDC的度數(shù)是多少？

③如圖4所示，△ABC與△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，P為線段AB的中點，若∠DPC=60°，則∠DBC的度數(shù)是多少？

設(shè)計意圖 ?通過知識鏈接①，調(diào)動學(xué)生回憶關(guān)于用圓的定義來證明四點共圓的具體方法，契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 知識鏈接②和知識鏈接③既是知識鏈接①的變式拓展，又為學(xué)生提供了四點共圓的常見圖形，在學(xué)生的思維中種下相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合思想. 該知識鏈接的過程為學(xué)生形成良好的解題方法做好了鋪墊.

（2）發(fā)散思維.

如圖5所示，學(xué)生在以上知識鏈接③的思考過程中，感悟到點A，M，C，N都在以NA為直徑的圓O′上.

此時，學(xué)生的思維逐漸變得活躍，出現(xiàn)了以下教學(xué)對話：

生1：由=可得∠NAC=∠NMC=∠MAB，因此∠NAM=∠CAB=45°.

生2：其實不需要這么麻煩，根據(jù)知識鏈接①可知∠MCN=135°，同時四邊形AMCN又是圓O′的內(nèi)接四邊形，因此∠NAM=180°-135°=45°.

生3：我還有更加簡單的方法，根據(jù)同弧所對的圓周角相等的原理，可直接獲得∠MNA=∠MCA=45°.

設(shè)計意圖 ?學(xué)生的思維在知識鏈接的引導(dǎo)下得以有效擴散，解題思路與方法一個比一個簡潔、高效，此時課堂氛圍達(dá)到了本節(jié)課的高潮，每個學(xué)生都對本題產(chǎn)生了濃厚的興趣. 在此基礎(chǔ)上，筆者趁熱打鐵，提出了新的拓展應(yīng)用，鼓勵學(xué)生進行思考，以完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，為幫助學(xué)生建構(gòu)完備的知識體系夯實基礎(chǔ).

（3）拓展應(yīng)用.

如圖6所示，BC，AD分別是△ABE兩邊上的高，已知AB=2，∠E=60°，且點P為AB邊的中點，求△DCP的面積.

設(shè)計意圖 ?本題作為“拓展應(yīng)用”題，旨在幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識，讓學(xué)生在知識的鏈接、思考與拓展中掌握解題技巧，深化對舊知的認(rèn)識，同時建構(gòu)新的解題思路與方法，為今后解決類似的綜合題夯實基礎(chǔ).

教學(xué)思考

1. 由淺入深，引發(fā)頓悟

解題教學(xué)的關(guān)鍵不在于教會學(xué)生解一道題，而在于幫助學(xué)生建構(gòu)解題方法與思想，讓學(xué)生從一道題中獲得新的感知與感悟. 因此，教師在解題教學(xué)時，不能就題論題，而應(yīng)由淺入深地幫助學(xué)生回顧舊知，契合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進行教學(xué)才能激起學(xué)生共鳴，從而自主發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.

有些跨度大、范圍廣的綜合題往往令一些學(xué)生措施不及，出現(xiàn)思維卡殼也是情理之中的現(xiàn)象. 在本題的解答教學(xué)中，筆者則是以三個知識鏈接點進行預(yù)熱，幫助學(xué)生一起回顧怎樣用圓的定義或性質(zhì)證明四點共圓，并通過基本圖形引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生的思維被激活后，就會產(chǎn)生新的感悟. 這為學(xué)生后期遇到復(fù)雜圖形時發(fā)現(xiàn)四點共圓做好鋪墊.

2. 立足變通，促進發(fā)展

學(xué)生的發(fā)展是教育的主要目的. 充分挖掘題目的教學(xué)功能，不僅能體現(xiàn)題目的教學(xué)價值，更重要的是能讓學(xué)生變通思維，讓學(xué)生認(rèn)識到解題通法雖有效，但遇到具體問題時應(yīng)具體、特殊對待，若一味地執(zhí)著于通法通解的“死胡同”，則會僵化思維，無法形成觸類旁通的解題能力.

總之，加強知識之間的聯(lián)系，對提高學(xué)生的解題能力具有重要作用. 但任何能力的提升，均需經(jīng)歷一個漫長而遙遠(yuǎn)的過程. 因此，作為教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況與教學(xué)內(nèi)容，有針對性地進行長期訓(xùn)練與培養(yǎng)，鼓勵學(xué)生自主感知、感悟解題技巧，提升解題能力.

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