從一道立體幾何的基本題型談數學解題教學的維度

周敏鑫 陳曉停 陳澤娟 王海青

[摘 ?要] 數學學科的特性決定了解題教學是數學教學中的重要環節，適當的解題訓練有助于學生鞏固和深化對概念、原理及法則的理解與掌握. 但數學解題教學不等于大量做題及一系列的解題技巧訓練，而是要重視對解題思路的剖析，注重對題型和方法的歸納，強調變式引申和通性通法的教學，結合學生的實際情況考慮解題教學的廣度和深度. 好的數學解題教學設計有助于學生形成靈活完善且聯系豐富的整體知識結構，促進學習的遷移. 本研究以一道立體幾何的基本題型為例，從“一題多解”“一題多變”“多題一解”探討數學解題教學的維度，以使教師提高解題教學的能力，學生掌握解題的策略、思維方法，從而提高解題教學的有效性.

[關鍵詞] 立體幾何;解題教學;一題多解;變式教學

數學解題教學是數學教學中的重要環節，適當的解題訓練有助于學生鞏固和深化對概念、原理及法則的理解與掌握.關于如何有效地解題，數學家與數學教育家波利亞的著作《怎樣解題》[1]一書對此做了深刻剖析，將解題過程分解為理解題意、擬定計劃、執行計劃、回顧反思四個步驟. 每個步驟都對應一系列的啟發性問題，如“我應該從哪里開始”“我能做什么”等，通過不斷地啟發與自我啟發提問的方式去理解題目并找到解決的辦法，然后在回顧反思中優化解法、拓展問題.

因此，數學解題教學要重視對解題思路的剖析，注重通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”等方式對題型和方法進行歸納，強調變式引申和通性通法的教學，結合學生的實際情況考慮解題教學的廣度和深度. 下面將以一道立體幾何的基本題型為例，從“一題多解”“一題多變”“多題一解”“回顧反思”等方面探討數學解題教學的維度，將之與課本習題、高考試題相連接，以達到“由一題通一類”“由點帶面”的效果，使學生掌握解題的策略與思維方法，并形成靈活完善的整體知識結構.

題目：在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中（如圖1所示），E，F，G分別為棱BB，DD和CC的中點.

（1）求證：CF∥平面DEG;

（2）試在棱CD上求一點M，使DM⊥平面DEG.

理解題意

教師首先要引導學生了解題目的背景，挖掘隱含的信息，根據題目的條件和結論回顧與之有關的知識點和解題思路或方法，以尋找到解題的突破口. 此題是高中立體幾何中的基礎題型，也是典型題目. 該題題干與圖形都十分清晰明了，以正方體為載體證明線面平行、線面垂直. 處理空間中各幾何量位置關系的基本策略是根據實際情況注重空間與平面的互相轉化. 具體到平行或垂直問題，就常常涉及線線、線面與面面之間的轉化關系，且平行關系與垂直關系也可根據具體情況進行位置轉換. 立體幾何位置問題的相互轉化如圖2所示.

剖析解題思路

數學解題教學的重要目的之一是讓學生學會解題、學會思考. 因此，教師應重視引領學生剖析思考過程，揭示解題的思路，進而掌握相應的思想和方法，提升數學思維.

1. 對問題（1）的剖析

求線面平行的常用方法：定義法、利用線面平行的判定定理轉化為線線平行、利用面面平行的性質、利用線上兩點到面的距離相等、建立空間直角坐標系等. 根據題目條件容易得到以下三種解題思路.

思路一：利用線面平行的判定定理證明（將線面平行轉化為線線平行）.

根據判定定理“平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行”，需要在平面DEG內找到一條直線與直線CF平行. 如圖3所示，由條件易知四邊形CFDG是平行四邊形，所以CF∥DG;因為DG在平面DEG內，從而有CF∥平面DEG.

思路二：利用面面平行的性質證明（將線面平行轉化為面面平行）.

根據面面平行的性質“兩個平面平行，在一個平面內的任意一條直線平行于另外一個平面”，需要構造另一個包含直線CF的平面與平面DEG平行. 如圖4所示，連接BF得到平面FBC，根據中點以及正方體的性質可知CB∥GE. 易知四邊形DFBE是平行四邊形，所以BF∥DE，所以平面FBC∥平面DEG. 又CF？奐平面FBC，所以CF∥平面DEG.

思路三：構造空間直角坐標系證明（將幾何問題轉化為代數問題）.

如圖5所示，根據正方體的性質可建立相應的空間直角坐標系并求出對應點的坐標，再利用向量工具進行求解. 這里有兩個思考方向：一是利用平面DEG的法向量與直線CF的方向向量垂直證得線面平行. 設平面DEG的法向量n=（x，y，z），利用線面垂直的判定有·n=0，·n=0，從而求出n的坐標;再由·n=0，證得CF∥平面DEG. 二是利用平面DEG內一直線的方向向量與直線CF的方向向量平行求證結論.根據點的坐標容易求出直線CF的方向向量與直線DG的方向向量，再利用=k（k為常數）證得CF∥平面DEG.

2. 對問題（2）的剖析

求線面垂直常運用到線面垂直的判定定理、面面垂直的性質、線面垂直的性質、面面平行的性質、向量法等. 題目的關鍵是在線段DC上找到滿足題意的點M. 從求證的結論出發，顯然，若DM⊥平面DEG，則有DM⊥DG. 因此可將問題轉化為“在DC上求作一點M，使DM⊥DG”. 沿著這個方向可以得到兩種解題思路.

思路一：利用線面垂直的判定定理以及全等三角形證明（將線面垂直轉化為線線垂直）.

運用線面垂直的判定定理“一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直”，需要在平面DEG內找到兩條相交的直線與直線DM垂直. 如圖6所示，過點D作DM⊥DG交DG于點O，交DC于點M. 利用中點及正方體的性質易知EG⊥平面CCDD，DM？奐平面CCDD，所以EG⊥DM. DG與EG相交于點G，所以此時DM⊥平面DEG. 由角的互余關系可得∠2=∠3，又DD=DC，∠DDM=∠DCG=90°，所以△DDM≌△DCG，有DM=CG，得出點M是DC的中點.

思路二：利用空間直角坐標系證明（將幾何問題轉化為計算問題）.

如圖7，利用正方體的性質建立空間直角坐標系，設點M（0，x，0），平面DEG的法向量為n，利用∥n，即=kn（k為常數），求出x值，即可得出點M是DC的中點.

梳理思想方法及其價值

在引導學生多角度思考問題，盡可能運用相關知識進行“一題多解”，完成解答之后，教師應幫助學生一起梳理解題過程中所涉及的知識點、思想方法及其價值，強調通性通法的作用. “通性”是指概念所反映的數學基本性質，“通法”是指概念所蘊含的基本思想方法. 解題教學中只有注重基礎知識及其蘊含的數學思想方法，才是追求數學教學的“長期利益”[2]. 因此，教師需要對題目的通解與特解進行分析，總結解題思想方法及一般規律.

本題涉及立體幾何與平面幾何的眾多知識點，包括線面平行的判定與性質、線面垂直的判定與性質、空間向量及其位置關系，平行四邊形、全等三角形及直角三角形的性質等，運用到了數形結合、轉化與化歸、直觀想象、數學模型及向量工具等重要的思想方法.

在問題（1）中，思路一利用線面平行的判定與平行四邊形的性質直接求證，是最簡潔自然的常規方法;思路二利用面面平行的性質，構造兩平面平行來證明結論，這個過程將問題復雜化了;思路三構建空間直角坐標系，利用向量工具將線面平行問題轉化為兩向量的垂直問題，這也是解決此類問題的通法. 但思路一和思路三在平面內找到一條直線與目標直線平行的方法可以看作是一種特殊方法，很多情況下并不容易直接找到滿足條件的直線. 在問題（2）中，思路一運用線面垂直的性質，由線面垂直得到線線垂直，將原問題轉化為對相應直角三角形的探討，巧妙化解了難點，但當線面角不再是90°時，此法也就不再適用;思路二的空間向量法簡單且易于理解，可看作是解決此類問題的通法.

解決立體幾何問題要么運用傳統的綜合法，要么選擇向量法. 綜合法更有助于學生直觀想象能力與空間思維能力的培養;向量法則顯示了向量工具的強大運算功能，要求學生能建立恰當的坐標系、靈活運用相應公式進行計算并能解釋代數運算結果的幾何意義. 兩類方法并無孰優孰劣之分，要結合具體的問題選擇合適的方法. 正方體是最特殊的六面體，幾何量之間的位置關系與數量關系比較簡單明了，也容易建立空間直角坐標系，所以本題既可以選擇綜合法也可以選擇向量法，且兩類方法中還有多種思考方向.

關于正方體相關問題的考查是高考的一個重點，如2020年北京高考理科數學第16題：如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點. （1）求證：BC1∥平面ADE;（2）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值.

這里問題（1）的思路和方法與上題的問題（1）是一致的，直接利用線面平行的判定定理或建立坐標系運用向量法容易證明結論. 問題（2）是求線面所成角的正弦值，若運用綜合法需構造出線與面所成的具體角，難度較大;而建立坐標系選用向量法比較方便，解答思路與上題的問題（2）相同.

有序變式鞏固提升

變式引申是解題教學的重要步驟，是進行題型歸類與理解思想方法的有效途徑，幫助學生提高方法的選擇能力并理解通性通法的重要價值，形成完善的知識結構. 教師在變式教學中應有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識與方法的內在聯系，促進學習的遷移[3]. 對問題進行多角度、多層次的變式與推廣，應注重依據學生的實際情況和題目的條件與結論，運用特殊與一般、類比聯想、化歸等數學思想由淺入深地進行拓展引申.

變式1：同等難度，改變提問形式，加深對原題的理解.

如圖9所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱BB1，DD1的中點. （1）求證：BD1∥平面AFC;（2）在線段AC上求一點M，使得EM⊥平面ACF.

變式1與原題的解題思路基本類似，目的是加深學生對此類題目及其解決方法的認識. 變式1的問題（1）是人教版教材必修2第56頁的一道習題[4].

變式2：條件與問題一般化，體現基本思想和方法.

如圖10所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB=a，BC=b，BB=c，E，F，G分別為棱BB，DD，CC的中點. 求證：（1）CF∥平面DEG;（2）試在棱CD上求一點M，使DM⊥平面DEG，此時DM的長度是多少？

變式2是將原題的條件一般化，其隱含的信息沒有變化. 問題（1）與原題的思路和方法一致;問題（2）則是將原來對兩個全等的直角三角形的討論轉化為了對兩個相似的直角三角形的討論，基本思想和方法相同，但計算難度稍有加深. 當條件中的長方體改為更一般的平行六面體時，面與面所成的角不是90°，問題（2）中滿足要求的點M則不存在.

變式3：拓展問題的深度與廣度，提升綜合運用能力.

如圖11所示，在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E，G分別為棱BB，CC的中點. （1）求點A到平面ADE的距離;（2）求二面角D-EG-B的正切值.

變式3是立體幾何教學中不可忽視的重要問題，是學生學習的難點，也是近幾年高考的熱點. 解決問題（1）的關鍵在于轉化，將求斜線上的點到平面的距離問題，運用等體積思想轉化為求三棱錐的體積. 由V=V得×S×d=（d是點A到平面ADE的距離），進而求得相應的距離d. 解決問題（2）的難點在于找到二面角的平面角. 因為點A∈平面DEG，連接AE，易知∠AEB（角θ）為該二面角的一個平面角. 在直角三角形AEB中，根據已知條件可得tanθ=2. 當然，變式3如果通過建立空間直角坐標系，利用向量法將幾何問題代數化，則直接運用相關公式進行求解而無需具體找出相應的角或線段，這也是向量法的優勢所在.

回顧和反思

解題后的回顧和反思有助于教師對問題的深刻認識，也有助于增強學生的數學學習能力、思辨能力及數學思維.教師引導學生回顧解題過程，反思解題方法，進而優化過程與解法，對題目與方法進行歸類，理解通性通法的重要性，使之強化對問題的深入理解和知識體系的整體把握，做到“既見樹木又見森林”.

從對這道立體幾何基本問題的多種解法探究、解題思想及其價值梳理、變式拓展等可以發現：特殊解法簡潔，但具有一定的技巧性和適用范圍;通性通法具有一般性，可以處理同一類問題.通過“一題多解”將與問題相關的知識點和方法緊密聯系在一起，有助于學生形成靈活的知識結構并運用其解決其他相關問題.因此，在數學解題教學中重視“一題多解”“一題多變”“多題一解”，從多個角度和程度思考問題，可以實現“由一題通一類”“由點帶面”的教學效果，促進數學的高效教學和學生的學習遷移能力.

參考文獻：

[1] ?波利亞.怎樣解題[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] ?章建躍. 注重課堂生成才是好數學教學[J]. 中小學數學（高中版），2011（12）.

[3] ?黃良云. 實施變式教學，促進課堂優效發展[J]. 福建中學數學，2020（04）.

[4] ?人民教育出版社課程教材研究所. 普通高中課程標準實驗教科書A版·數學（必修2）[M]. 北京：人民教育出版社，2015.