關于圓錐曲線焦點弦的定比分點探究

唐小東

[摘 ?要] 圓錐曲線的焦點弦定比分點中含有關于直線斜率、曲線離心率及定比分值三者關系的結論，合理利用結論公式可簡化處理直線斜率、直線傾斜角、曲線離心率等問題. 文章采用知識探究的方式總結歸納相關結論，并結合實際問題應用強化.

[關鍵詞] 焦點弦;定比分點;橢圓;斜率;離心率

圓錐曲線的焦點弦性質可以充分體現其幾何特征，也是高中數學研究的重要內容，總結焦點弦的相關結論可簡化解題過程. 通常焦點將弦分為兩部分，實際上可將焦點視為是焦點弦的定比分點，焦點弦所在直線的傾斜角、圓錐曲線離心率和焦點弦的定比分值之間有著一定的關系，下面對其深入探究.

評析：上述是關于定焦點弦所在直線斜率的取值問題，根據題目條件可確定滿足對應的焦點弦定比分結論. 結合向量關系可確定直線傾斜角為銳角，代入結論可逐步求解. 實際上焦點弦直線的傾斜角、直線斜率、定比分值三者之間有著緊密的關聯，數形結合的同時利用結論可提高解題效率.

教學建議

上述深入探究了圓錐曲線焦點弦定比分點問題的關鍵結論，構建了過焦點弦直線的傾斜角、曲線離心率及焦點弦定比分值三者之間的關系，在實際問題中有著極高的應用價值. 實際教學中需把握模型特征，注重過程探究，倡導應用強化，形成結論探究的閉環教學，下面提出幾點建議.

1. 發掘教材，總結模型

焦點弦定比分點問題涉及了直線過焦點、直線與曲線相交、弦長向量關系等，屬于圓錐曲線典型問題，在教材例題、習題中均有出現. 提煉問題模型，總結解析過程是結論生成的基礎，也是高中數學遷移探究所倡導的. 因此教學中，教師應引導學生深入挖掘原型問題的性質特征，充分發揮習題的解題價值，提煉數學模型. 對于焦點弦定比分點問題，則應關注圖像的兩大特征：一是直線過曲線焦點，二是直線與曲線存在兩個交點.

2. 過程推理，思維歷練

焦點弦定比分點問題的綜合性強，位置關系、向量條件較為復雜，對學生的分析推理能力有著較高的要求. 結論探究要遵循學生的認知結構，注重推理過程，有意識地引導學生發現問題、總結歸納結論. 故建議按照教學探究的方式，合理設計探究環節，讓學生自主發現、猜想，體驗結論的驗證過程，并結合數學模型進行大膽猜想，探索推論，充分鍛煉學生的思維，激發學生的創新思維.

3. 應用強化，能力提升

結論探究的目的是提高解題效率，故結論的應用屬性極強，從“結論生成”到“應用拓展”需要教師精心引導，指導學生關注結論的適用題型，掌握應用技巧，幫助學生摒棄傳統的照搬照抄的習慣，指導學生自主思維，活學活用. 上述焦點弦定比分點結論是關于三大內容的數式關系，而在實際求解時則需靈活變式，針對實際問題和條件來變形關系式，如求直線斜率則構建傾斜角與余弦值的關系，求離心率則轉化為關于離心率的關系式等. 教學中教師應立足實際問題開展解析探討，強化知識應用，提升學生的綜合能力.