數學教學不要過度形式化

吳玉華

[摘 要]數學教學中，讓學生記住重要的結論是十分必要的，數學學科本身也具有形式化的特征，數學公式和定理是高度凝練的科學語言，應用這些公式可以對號入座迅速研判問題性質，作出最正確的決策。但是，過度形式化的教學會掩蓋數學知識生成的深刻原理，危害深遠。

[關鍵詞]面積;矩形;成因;形式化;生成;經歷

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）08-0033-02

在一次數學期末統(tǒng)考中，人教版教材第六冊考卷中出現這樣一道填空題：有四個邊長均為26cm的小正方形，若要將它們拼裝成一個大一點的正方形，這個大一點的新正方形的周長是（ ）cm，面積是（ ）cm[2];若要把它們拼接成一個新長方形，這個新長方形的周長是（ ）cm，面積是（ ）cm[2]。

測試結果顯示，前面三個空學生的正確率為80%以上，而最后一個空不同班級的正確率相差很大，有的班級正確率高達90%以上，有的班級正確率低于50%，有的甚至更低，只有30%。部分正確率偏低的班級的教師辯稱：要想答出最后一空，需要計算出104[×]26，學生尚未學習三位數與兩位數相乘三年級，題目明顯“超綱”了。

一、問題和現象成因分析

學生緣何大面積出錯？挖空設計真的“超綱”嗎？

乍一看，把“四個邊長都是26 cm的小正方形”拼接成一個新的長方形，拼接而成的新長方形的長為104 cm，寬為26 cm，學生用104[×]26來計算面積理所當然。但三位數與兩位數相乘系四年級知識，題目確實超綱了，部分學生因不會計算而出錯也情有可原。但如果認真作圖，就會發(fā)現事情似有轉圜的余地，學生完全可以另辟蹊徑，先求出一個正方形的面積，再乘4就能求出拼接成的長方形的面積。如此一來，根本無須用到三位數與兩位數相乘的知識，有兩位數與兩位數相乘以及多位數與一位數相乘的知識就足以應付這一空，“超綱”之說不攻自破。

再者，無論把“四個邊長都是26 cm的小正方形”拼成正方形還是長方形，形狀雖不同，面積卻不會改變。許多學生盡管能夠通過52[×]52=2704（cm[2]）成功算出大正方形的面積，卻不會借用這個現成的結果，推及長方形的面積，可見其思維呆板僵化。

通過以上分析可發(fā)現，解決最后一空的思路和策略是豐富多樣的。那為什么有些學生會死死糾纏在“104[×]26”的計算上，而不知變通呢？出現這種僵局，教師的教學理念和方法又該承擔什么責任呢？

二、過度形式化的危害

經過調研，筆者認為造成這種僵局的“元兇”就是部分教師在教學時無視知識的生成性操作而執(zhí)迷于數學知識的形式化。

所謂“數學形式”，就是用特定的數學語言，包括符號、圖像和文字等，揭示某種現象中蘊含的幾何形態(tài)和數量關系。因此，“數學形式化”就是一種用數學符號進行的數學表達。這種表達方式需要將客觀現象進行概括、編碼、加工和轉譯，其本質只是記錄數學理論信息的一種符號化載體。數學知識一旦形式化，其內容具有牢固性、結果具有歸納性、格式具有簡練性、運用具有廣闊性、轉化模式具有實驗性。

形式化是數學的本質特征之一，這一點很多教師都有深刻認識，也沒有任何質疑。但不少教師卻在教學中深陷于形式化的泥潭，過度追求和依賴這種形式化，反受其害，給學生的發(fā)展造成不良后果，其主要表現為以下三點：

1.唯教材是從

部分教師在備課時常常照本宣科，奉教材為圭臬，亦步亦趨地按照教材的組織結構來編排知識呈現順序，新舊知識的連接點和生長點全部按照教材的邏輯來設定，乃至到設計教學時仍然延續(xù)這種程序，枉顧學生的知識存量和技能儲量，以及實際認識水平。如此設計教學，忽視學生的“經驗作用”“自學能力”“操作能力”，極易造成經驗與知識的脫離，學生學起來也費時費力。

2.重視結論輕視經歷

一是引入新知時，對實際情境運用失當。有的教師生怕實際情境會轉移分散學生注意力，常常在實際情境尚未轉化為數學情境時，就急忙讓學生去分析探究，硬生生地切入形式化教學。此舉無異于殺雞取卵，學生已有的知識經驗尚未融入數學知識，學生還沒有從實際情境中抽象出數學模型，發(fā)現問題、提出問題的思維流程還沒有有序展開，實際情境就結束了。誠然，實際情境不一定非用不可，如果用了而沒有用盡，則不如不用。

二是探究新知時，過分吝惜學生的理解時間。教學中有的教師妄圖以最迅猛的節(jié)奏，最短促的步調來推出形式化的數學結論，嚴防學生“節(jié)外生枝”，因而其教學方法蒼白無力。學生沒有充分思考揣摩，學習缺乏主動性、參與性和完整性，學生對知識本質的理解是淺薄、模糊的。如教學長方形面積計算公式的推導時，不少教師輕視直觀操作，只是將幾個長方形的面積數據羅列出來，讓學生走馬觀花地觀察瀏覽一遍數據，火速得出結論。這種急功近利式的教學導致學生囫圇吞棗，對幾何意義不求甚解，只是盲目模仿。

三是深化認知時，沒有引導學生確認和辨析知識。如在引導學生探究長方形面積的算法時，一些教師沒有利用“圖形面積大小就是圖形包含單位面積的個數”這一地基式原理，使得不少學生仍然質疑“探究長方形面積的算法”的必要性，“長方形的面積=長[×]寬”的合理性也受到動搖，學完之后，不少學生將長方形面積公式與周長公式弄混，這都是過度追求形式化惹的禍。

3.應用時重經驗輕思考

數學知識形式化后，其應用操作就是行為模式。人的行為模式有兩種，一種是深度腦力支配的行為模式，一種是淺表腦力支配的行為模式。一般情況下，學生解題時應用的是后一種行為模式。該模式的優(yōu)勢是，學生精力容易聚集于問題核心，然后憑借經驗在形式化的條件反射下開始運算，按照慣性思維完成解答。甚至有的題學生可以不假思索就答出。因此，不少教師都傾向于對學生進行形式化結論的培訓，提高教學效率。但這一舉措也有危害，知識的過度形式化會讓學生養(yǎng)成思考上的惰性，久而久之就會造成思維上的遲鈍、理解上的麻木，習慣于“熟能生巧”，經驗驅使解題，當面對新情況新題型時，學生就會束手無策。這從前文測試題最后一空的答題情況可以看出端倪。

三、問題的解決策略

那么，教學實踐中，該如何避免知識的過度形式化呢？筆者以為，教師應建立以下兩點認識。

1.形式化要以深刻理解為前提

首先，任何教學情境的創(chuàng)建，都應與新知掛鉤，且應該具有思考性、啟發(fā)性、誘導性。其次，應讓學生盡情探究，讓學生“暢游”知識的生成過程，在直觀的基礎上進行抽象，概括出數學結論。再次，在知識應用時，必要時教師可瞬時重現知識推導過程，強化學生的認知。最后，要注重知識體系的建構，輔助學生實施知識系統(tǒng)的構建，培養(yǎng)學生認知遷移與實踐應用能力。

2.數學形式化程度要分層次

學習的本質就是一個經驗轉化成理論的過程，理論仍需實踐來檢驗和坐實。因此數學形式化要分層次，要符合學生的身心特征，應循序漸進。如分數的形式化程度，中學階段與小學階段的要求就大不相同，即便同是小學階段，三年級與五年級的要求也不盡相同，即使對于同一年級，對不同學生的要求也不一樣。若搞“一刀切”，則會層次錯亂，顯然是違背學生認知規(guī)律的。

數學知識一般以數學符號或術語來讀寫，形式化是其本質特征也是學習的基本要求。但對于某些數學結論的形式化，教師也要結合學生的認知水平靈活處理，不可過激。

（責編 吳美玲）