淺析如何讓孩子行走在“發現數學”的路上

摘 要：學習即“發現”，是一種循序漸進的螺旋式發現的過程?！鞍l現數學”是我們的一種課堂追求，讓孩子行走在“發現數學”的路上。以“平均數”教學為例：在比較中發現平均數的學習需要，在探究中發現平均數的統計意義，在深化中發現平均數的基本特征，在應用中發現平均數的實踐價值。

關鍵詞：“發現”;比較;探究;深化;應用

學習即發現，是一種循序漸進的螺旋式發現的過程?！鞍l現數學”，是指學生在教師的有效引領下，在數學學習與實踐中，通過經歷、體驗、探索，主動發現，獲取“四基”，提升“四能”，從而發展學科核心素養。下面以“平均數”教學為例，分享探索實踐中對“發現數學”的認識和體會。

平均數的數學知識是引導學生充分認識數的概念，在日常的教學中，教師需要讓學生在比較中“發現”平均數的學習需要，在探究中“發現”平均數的統計意義，在深化中“發現”平均數的基本特征，在應用中“發現”平均數的實踐價值，從而發展數據分析觀念，提升數學素養。

一、 比較：“發現”平均數的學習需要

建構主義認為，學習總是與一定的社會背景即“情境”相聯系，情境充分展現了學習內容，將理論的知識用具體化，形象化展現出來，便于學生理解和吸收，引導學生進入到社會生活中，感受這些知識的具體應用，發散學生的思維，充分挖掘這些知識的內涵，實現知識的建構。教師也可以根據這一特點來開展課堂的教學活動，引進多元化的教學模式，實現課堂的創新，將社會環境轉化為學生的學習環境，拓寬學生思維和學習的空間，促進學生的個性化發展。

二、 探究：“發現”平均數的統計意義

蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。而在兒童的精神世界里，這種需要則特別強烈?！睂W習貴在探究，探究成在“發現”。教師在教學中應賦予學生探究的權利，要讓每一個孩子都在探究，鼓勵孩子自探自得，讓每一個孩子在每一節課上都有新的發現，讓不同的孩子有不同的發現，讓同一發現有不同的表達，將學習過程變成自主探究、自我發現、自然生長的歷程。

三、 深化：“發現”平均數的基本特征

弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法就是由學生本人把要學的東西自己去發現和創造出來?！苯處熜枰o予學生足夠的空間，優化教學環境，創設真實的情景，使其親歷深化過程，深入開展數學活動，逐步學會更清晰、更合理、更全面地思考問題，自主建構數學知識與方法，培養勇于發現的理性精神。

【教學片斷1】

（一）感受平均數的虛擬性

師：（出示男生套圈情況統計圖）回看這張統計圖。在移多補少的過程中什么不變？

生1：他們套中的總個數沒變。

生2：人數不變。

師：在總數和人數不變的情況下，平均每人套中7個。這7個是李小剛（張明、王宇、陳曉杰）套中的個數嗎？

（學生都說“7”不是李、張、陳套中的個數，但有人認為是王宇套中的，因為王宇正好套中了“7”個。）

生3：平均數“7”和王宇套中的“7”不一樣。王宇套中的“7”個是他個人的，平均數“7”跟四個人都有關系的，是平均每人套中的個數。

生4：王宇套中的“7”是真實的，平均數“7”是先合后分的結果，或者說是移多補少之后的結果，代表男生套圈的整體水平，不是王宇一個人的水平，所以平均數有點虛。

師：說得真好，平均數不同于每一個真實的數，它代表一組數據“整體水平”的“虛擬”的數?！景鍟禾摂M性】

（二）發現平均數的取值范圍

出題：小麗有3條絲帶（如下圖），它們的平均長度是多少厘米？

A. 14厘米

B. 18厘米

C. 24厘米

師：選擇，并說說理由。

生1：選擇B，我用的是排除法，因為不可能是14厘米，也不可能是24厘米。

生2：選擇B，因為平均數表示移多補少后的結果，這里的“24”最長，需要移給其他彩帶，這里的“14”最短，需要補給它，所以只會是18厘米。

生3：選擇B，因為平均數位于最小數和最大數之間。

生4：選擇B，我是用計算方法得到的，（14+24+16）÷3=18（厘米）。

師：綜合大家所說，平均數表示一組數據移多補少后的結果，所以平均數應該有一個范圍，比最小數大，比最大數小，就是一組數據的中間水平?！景鍟喝≈捣秶?/p>

（三）發現平均數的敏感性

師：老師為大家準備了三條不同長短的繩子，它們的長度分別是80厘米，25厘米，22厘米，大家可以先計算三條繩子的平均數，如果我再加入一條或長或短的繩子，那么平均數會有什么變化呢？

生1：如果第4條繩子是50厘米，80厘米甚至100厘米，平均數會增大。

生2：如果第4條繩子小于10厘米，那么平均數會減小。

生3：如果加入的繩子在30厘米左右，那么平均數的變化不大。

師：那么我們可以發現，在加入的繩子中，如果超過了平均數，那么平均數便會增加，如果小于平均數，那么平均數就會減小，如果在平均數左右那么平均數也不會發生太大的變化。平均數作為一種統計量，會受到每一個數據的變化而變化。你看，平均數多敏感啊！【板書：敏感性】

“平均數”這節課的學習內容很多，既要感受平均數是移多補少后得到的一個虛擬數，又要明確平均數的取值范圍，還要體會平均數的敏感性。如果將這些數感的培養目標分散到繁雜的素材中，則會增加學生的閱讀量，不便于發現平均數的基本特征。鑒于此，筆者采用了例題再用和彩帶題兩用的方式，以恰當巧妙的材料幫助學生真正理解概念，深入走進“平均數”，多維度豐富學生對“平均數”的感悟，讓“平均數”這一統計量能反映一組數據的整體水平的功能體現得淋漓盡致，使學生對于平均數的認識更全面、立體、豐富，形成良好的數感，為提升數據分析觀念打下堅實的基礎。

四、 應用：“發現”平均數的實踐價值

應用是溝通知識與能力的橋梁。教師的教學任務不僅僅在于滲透數學知識，還需要引導學生認識到平均數，在實際生活中的具體應用，以及應用價值，并且學會利用這些知識解決生活問題，更好地發現知識的實踐價值。鑒于此，從數學走向生活，筆者化“冰冷的應用”為“火熱的思考”，在應用題的教學中開展生活化教學，引導學生進入到生活中解決相關問題，掌握知識的具體應用，培養勇于探索、敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的理性精神。

【教學片斷2】

（一）舉例

師：平均數在生活中，應用非常廣泛，你能舉例說說嗎？

（生舉例，略）

（二）辨析

師：（出題1）2015年中國女性的平均壽命大約是77歲，小明的奶奶已經76歲了，小明內心很郁悶。你對此事有什么看法？

生1：小明肯定沒有學過平均數。

生2：77歲只是平均壽命，小明的奶奶如果身體健康，注意運動，心情愉快，完全可以超過平均年齡的。

生3：我要告訴小明，身體棒棒，活到99就沒問題，平均數“77”和奶奶沒有很大關聯。

師：（出題2）小東所在小組同學平均體重是36千克，小剛所在小組同學的平均體重是34千克。小東一定比小剛重。你們認為呢？

生1：不一定。小東可能是他們小組最輕的，比36千克少，小剛可能是他們小組最重的，比34千克多。

生2：不一定。36千克和34千克只是一組數據的平均數，這組數據中的數可能比平均數大，可能比平均數小，也可能和平均數一樣大。

生3：我覺得無法比較。我們知道，平均數很敏感，一組數據中的每個數都會影響平均數，因為要移多補少成同樣多;而得到的平均數卻和每個數沒有必然聯系，因為平均數只代表整體水平。

師：平均數能刻畫、代表一組數據的整體水平。平均數大，表示整體水平高。但反過來，整體水平高，并不代表每個個體的水平高，整體水平低，并不代表每個個體的水平低。

（三）拓展

師：出示P53頁“你知道嗎”內容：

閱讀，你知道了什么？

生1：這還是說平均數很敏感，會受到極端數的影響。

生2：我覺得用去掉最高分和最低分的辦法計算比賽成績很公平，能代表選手的實際水平。

師：這就是考慮到平均數的敏感性，剔除極端數據后計算平均分，這樣的成績統計更合理，這是平均數在生活中靈活運用。

師：有這樣一個場景，超市的蔓越莓干30元/kg，葡萄干22元/kg，核桃仁48元/kg，將它們混合在一起，標價為50元/kg，你認為這樣標價合理嗎？

生1：我認為很合理，他們三個的單價平均數為50，混合在一起，可以賣50元1千克。

生2：我認為不合理，因為50元的基礎是將蔓越莓干、葡萄干和核桃仁平均混合在一起，將100千克蔓越莓干、葡萄干和核桃仁

重的1/3作為標價才算合理。

生3：對！如果在這1千克中，核桃仁很少，大部分為蔓越莓干和葡萄干，那么它的價格便低于了平均數。

師：沒錯，雖然平均數是數的集合平均，但是如果在生活中應用平均數，還需要視具體情況而定。就像剛才這一道題目，商家可能為了謀取利益，混合少量的核桃仁來提高整體的價格。同學們在生活中應用平均數時，需要聯想今天這一題目靈活的變通，考慮到實際情況，接下來我們會學習更深層次的平均數內容，也需要學生保持著生活化的思維，更加靈活的應用這些知識。

平均數屬于統計數據，他在生活中的多個方面都得到了具體的體現，教師在進行教學時應當注重生活化的體現，帶領學生挖掘生活中的統計數據，掌握這些數據的具體應用，樹立一定的生活化思維，從數據分析的角度探尋解決問題的途徑。上述教學中，筆者把課堂的“溫度”建立在思維的高度上，使孩子沉浸在實踐應用的欣喜氛圍中，感悟平均數在現實生活中的應用以及對決策分析的作用，初步培養用數據說話的意識，極大地促進思維全面打開，并向縱深處發展，獲得了不起的“數學發現”。

“發現數學”是我們的一種課堂追求，讓學生行走在“發現數學”的路上。只有從學生的生長需求出發，建立自由創生的學習場，放手讓學生自己去探索、深化、應用，才能讓其在深度學習中積蓄能量、收獲“發現”、拔節生長、提升素養。

作者簡介：陸敏雅，江蘇省常州市，江蘇省常州市武進區戴溪小學。