曲線擬合最小二乘法的案例式教學探索

李珍珍

【摘要】曲線擬合最小二乘法是工程實踐和統計研究中常用的一種數據處理方法，本文為提升學生的學習效果采用案例式教學法，首先給出一個教學案例，通過案例分析，引出曲線擬合最小二乘法的一般原理，再給出練習題來加強學生對最小二乘法的理解.

【關鍵詞】計算方法;曲線擬合;最小二乘法;案例教學

計算方法又稱數值分析，是理工類本科和研究生的一門重要課程，主要為工程計算中出現的各類數學問題提供適合計算機處理的算法，并進行誤差分析.該課程的特點是需要扎實的基礎知識;內容多，理論性強;實踐應用性強[1].在傳統的講授型教學過程中我們發現學生學習興趣不大，學習效率不高，學習效果不佳，因此需要探索更加有效的教學方法.案例式教學模式是基于教學目標的要求，依托案例，由教師引導學生學習、研究以及提升能力的教學方法[2].本文以曲線擬合的最小二乘法為例，進行案例式教學探索，旨在激發學生的學習興趣，提升教學效果.

一、提出案例

在教學中教師首先提出給藥案例：假設向患者靜脈注射某種藥物300 mg劑量，在ti h后測得血藥濃度c（ti）μg/mL如表1（一組虛擬數據）所示，i=0，1，2，3，4，5.

為保證藥物的療效，血藥濃度應保持在最小有效濃度25 μg/mL以上.請預測：當給藥多久后，血藥濃度會下降到25 μg/mL？

二、案例分析

表1中的血藥濃度c（ti）是通過測量得到的，其本身具有一定的測量誤差，如果用這組數據通過插值法得到插值多項式，那么該插值多項式保留了這些誤差，不符合原有規律，因此考慮尋找一個簡單函數，使其曲線不必經過所有數據點，但盡可能接近每個數據點，這類問題稱為曲線擬合問題，這個簡單函數稱為擬合函數.

為了找到這個簡單函數，將表1中的數據在坐標系中標出來（見圖1）.根據圖1數據點的分布情況，考慮用直線擬合這組數據，即選{1，t}作為基函數，求線性函數p（t）=a+bt，其中a，b是待定參數.為使p（t）的圖形盡可能接近每個數據點，我們令∑5[]i=0（p（ti）-c（ti））2最小，即尋找a，b使函數

將上述用直線擬合的思路拓寬，我們也可以選曲線擬合，最簡單的是擬合函數采用n次多項式，比如多取一個基函數t2，則擬合函數為p=a+bt+ct2.

更一般地，若只知函數y=f（x）在離散點x0

求解上述線性方程組可得系數a0，a1，…，an的值.

另外，有時根據數據點的分布，選擇的擬合函數是關于待定參數的非線性函數，比如s（x）=aebx，按照使s（x）與f（x）在各離散點處誤差平方和最小的原則，用極值原理建立的法方程組是關于待定參數的非線性方程組，這類數據擬合問題稱為非線性最小二乘問題[3].

四、練習題

某縣水庫上游河段降暴雨，根據測算在ti h上游流入水庫的流量Q（ti）（102 m3/s）如表2，試用最小二乘法擬合表中數據.

五、結束語

與傳統的理論講授相比，課堂上首先提出教學案例，更能引起學生的學習興趣，案例分析能充分調動學生的學習積極性，接下來能讓學生更好地理解曲線擬合的最小二乘法，另外，增加課堂練習題可以提高學生分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻】[1] 江志超，鄧鳳茹，畢曉華，等.案例教學法在研究生數值分析課程教學中的應用研究[J].北華航天工業學院學報，2017（06）.

[2] 錢旭.“計算方法”課程“案例-任務驅動”的立體化教學模式探索[J].新課程研究，2017（06）：105-107.

[3] 同濟大學計算數學教研室.現代數值計算（第2版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.