方法表征：探索從“生長”走向“生根”

丁洪

[摘 要]探索教學中，需要引導學生經歷方法的自然遷移、不斷優化、尋求勾聯和沉淀內化的過程。這是方法表征的基本路徑，也是啟智生慧的系統工程。以“多邊形的內角和”的教學為例，讓學生浸潤于探索的全過程，從而使學生真正理解方法、使用方法和超越方法，進而提升數學思維能力，養成數學思維品質。

[關鍵詞]方法表征;多邊形的內角和;探索規律

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0007-03

“多邊形的內角和”是蘇教版教材四年級下冊 “探索規律”的專題活動，屬于“圖形與幾何”板塊中的一次探索之旅。從知識維度考量，學生已經認識了一些簡單的平面圖形及其特征，知道了它們內角和的具體度數，如三角形的內角和是180°;從方法維度考量，學生已經學會了一些探索平面圖形的內角和的方法，如測量、折拼等。但知識的簡單累加并不能引發數學思維的自然靈動，方法的機械調用也不能驅動數學思想的體悟內化。因此，教學如果僅僅從多邊形的一個頂點出發，將多邊形分割成獨立的三角形，看似學生找到了“捷徑”，學會了求“多邊形的內角和”，實則遠離了“素養”，學生沒有真正、真實和真切地體驗到方法的遷移、優化、勾連和沉淀。

一、方法遷移：讓探索“自然生長”

方法遷移是指先在特定領域積極開發解決問題的辦法，然后直接運用到相同領域或跨界運用到不同領域，以驅動探索活動的自然對接和有效達成。在此過程中，不變量或相似性的確認是教學核心，度量準則的建立則是教學關鍵。

1.概念自然遷移

教材首先通過“三角形3個內角的和是180°，四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的內角和呢？”激活學生對圖形“內角和”的認知遷移。這個環節主要解決兩個問題，一是確認“多邊形的內角在哪里”，通過回憶三角形的特征，明確三角形有3個頂點、3條邊和3個角，所謂三角形的內角，其實就是從一個頂點引出的兩條邊的夾角，緊接著可以迅速類比其他多邊形，并在此基礎上明確幾邊形就有幾個內角，感知多邊形的頂點、邊和角之間數量的對應關系;二是確認“多邊形的內角和是什么”，三角形的內角和是把3個內角相加，“依葫蘆畫瓢”，四邊形的內角和就是把4個內角相加，五邊形的內角和就是把5個內角相加……幾邊形的內角和就是把幾個內角相加。顯然，這兩個問題的順利解決，有助于明確和凸顯探索對象。

2.方法悄然生長

教材通過設問“你能想辦法求出上面四邊形4個內角的和嗎？”，激活了學生對圖形“內角和”算法的遷移。應該說，測量、折拼等基本方法既適用于推算三角形的內角和，也適用于其他多邊形的內角和的推算。因為，從本質上來講，求和運算就是把內角一個一個地加起來。比如，計算直角梯形的內角和時，可以先展示基本方法，一是計算90°+90°+40°+140°=360°，二是撕開后拼成一個角，結果也是360°，然后通過“在此之前，我們已經知道一個三角形的內角和是180°，也知道梯形可以分割成兩個三角形，你能順著這個思路快速求出梯形的內角和嗎？”鼓勵學生換個角度思考問題。當分割完梯形內角之后，要求學生著重思辨“兩個三角形的內角和為什么恰好等于梯形的內角和？”，引導學生發現“梯形的內角總和并沒有發生變化，只是重新分割和組合成兩個三角形的內角”。就這樣，在舊知調用和新知探索中，在靜態描述和動態展示中，在總和不變和組合變化中，學生初步感受到方法的自然遷移和生長。

可以看出，因為多邊形的內在結構相似，所以“內角”與“內角和”的確認一脈相承，又因為求和操作的算理本質不變，所以“分割”與“組合”形式雖有不同，但內在理念相通。就這樣，探索靠船下篙，認知拾級而上，解決問題的辦法順利螺旋上升和悄然換代更迭。

二、方法優化：讓探索“取長補短”

方法多樣演繹了探索氛圍的生態和探索過程的生動。但是，從方法多樣到方法優化，需要進行全方位的比較，以考量方法的基礎性、適用性和普及性。換個角度來說，探索既要重視方法的“必要優化”，又要避免方法的“簡單強化”。

1.重視必要優化

探索一定要重視方法的“必要優化”。就本節課而言，求“多變形的內角和”主要出現了四種方法，即測量、折拼、撕拼和分割。第一次優化發生在三角形和四邊形之間，因為圖形結構發生變化，折拼不再方便，測量誤差變大，只有撕拼還能勉強湊合;第二次優化發生在四邊形內部，先將四邊形分割成兩個獨立的三角形，以“三角形的內角和”為一倍量，四邊形的內角和就包含這樣的兩倍量，有效避免了測量誤差和撕拼麻煩;第三次優化發生在多邊形內部，以五邊形為例，分三種情況來討論：一是從圖形頂點出發，以順次連接其他頂點得到的線段來分割（如圖1）;二是從圖形邊上的任意點（不含端點）出發，以順次連接其他頂點得到的線段來分割（如圖2）;三是從圖形內部的任意一點出發，以順次連接所有頂點得到的線段來分割（如圖3）。比較后發現，第一種情況分割得最少，畫圖過程簡潔，計算方便。

2.避免簡單強化

探索一定要避免方法的“簡單強化”。對于多邊形的內角和而言，測量方法適用于簡單的、特殊的圖形（正多邊形），復雜的、普通的圖形測量工作量大且誤差多。折拼和撕拼適用于具體的圖形，比如三角形和四邊形，不太適合其他圖形。 通過“把五邊形、六邊形各分成幾個三角形后，就能方便地算出它們的內角和嗎？分一分，算一算。”“其他多邊形也可以像這樣分成幾個三角形來計算內角和嗎？小組合作，任意畫出一些多邊形，試一試。”可充分突顯本課的探索導向，即分割的方法。但是，需要指明的是，教學不應“單刀直入”，直接傳輸分割的方法，也不能對分割的“另類作品”視而不見。因為沒有充分對比，思維優化是不可能發生的。

可以看出，方法優化并不是“一刀切”、“一言堂”和“一錘定音”，而是要引導學生深度參與探索過程，用“取長補短”的視角分析方法的優勢與不足，感受方法的階段側重和價值取向，以便更好地凸顯探索主線。

三、方法勾連：讓探索“求同存異”

探索的重點不在于結論的完備，而在于探索的過程是否能引發學生的猜想、聯系、驗證等思維活動。事實上，充分經歷的過程體驗，容易催生點狀分布事實的內在勾連，助推零散思考的有機架構，做到方法的兼容并蓄和求同存異。

1.同構中的勾連

方法勾連發生在同構情境中，分兩個層次進行。第一層次側重勾連的準備，學生根據活動要求和圖1的示范，以此類推，將多邊形進行分割，然后數出獨立的三角形個數，再結合標準量“三角形的內角和是180°”，快速算出各多邊形的內角和，并一一有序地填入表格中。在填表之前，探索關注的是具體圖形，它們彼此獨立，互不相干，但是為后續聯系提供了必要數據（如表1）。第二層次側重勾連的實質，通過“觀察表中的數據，你有什么發現？”的設問，驅動學生聚焦具體數據，挖掘數據背后的共性，比如“可以把多邊形分成若干個三角形，計算它的內角和。”“分成的三角形個數都比多邊形的邊數少2。”“分成了幾個三角形，多邊形的內角和就有幾個180°。”再通過“你能用一個式子表示多邊形內角和的計算方法嗎？”的追問，將探索推向高潮。最終，在變與不變的思辨中，建構了“多邊形的內角和=（邊數-2）×180°”的計算模型。

2.異構中的勾連

方法勾連發生在異構情境中，也分兩個層次進行。第一層次側重模型展示，除了基于圖1建構計算模型之外，還引導學生進一步探索，比如基于圖2的模型建構，先算單個多邊形的內角和，接著模仿表1填入具體數據，發現“分成的三角形個數都比多邊形的邊數少1。”“可以把多邊形分成若干個三角形，計算它的內角和時要減去一個平角180°。”等，最后順勢建構“多邊形的內角和=（邊數-1）×180°-180°”。基于圖3的模型建構，探索過程相同，但建構的卻是“多邊形的內角和=邊數×180°-360°”。第二層次側重模型勾連，結合圖形特點和不同分法，聯系之前學過的運算律，學生能夠基本弄清三者之間的聯系，得到“多邊形的內角和=（邊數-2）×180°=（邊數-1）×180°-180°=邊數×180°-360°”的基本事實。

可以看出，發生在同構情境的方法勾連，需要厚積薄發，建構數學模型，但拒絕急功近利，一心只想“捷徑”;發生在異構情境的方法勾連，需要適當變式，確認內在聯系，但不能忽略學情，一味追求“通透”。因為學生需要的、能接受的，才是探索的著力點。

四、方法沉淀：讓探索“落地生根”

數學思想貫穿于探索活動，對具體的、局部的方法具有取舍、組合和調節的作用。數學方法是指解決數學問題時所采用的方式、途徑和手段，它是數學思想的具體化表現。有方法、有思想的探索活動能夠超越知識本身，實現素養扎根。

1.感悟轉化策略

轉化可以把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉的、規范甚至模式化的、簡單的問題。首先，是轉化標準的確認。三角形是最簡單的多邊形，是多邊形內角和的學習起點，其他多邊形都可以分割成若干個三角形，如果以“三角形的內角和180°”作為計量標準，分割的方式雖然不一樣，但是每一種對應方式的結果是唯一的、簡潔的。顯然，這樣的“化整為零”暗含了轉化方向。其次，是轉化數量的計量。每一種分割都對應一種探索路徑，產生一個計量模型，但是殊途同歸，計量結果一樣。顯然，這樣的“邏輯演繹”抵達了轉化實質。最后，是轉化價值的體驗。與測量、折拼和撕拼相比，分割更符合知識的生長性，更適合問題的復雜性，使學生更容易把握數學探索對象的結構性、整體性和建構性，真正體現轉化的魅力，即化繁為簡、化未知為已知、化零散為系統。顯然，這樣的“獨特感受”彰顯了轉化的價值。

2.體驗分合思想

“分與合”是一種重要的思想方法，它的特點是用辯證思維看待具體問題，使得問題從“矛盾狀態”漸進為“和諧統一”。首先，在調用“三角形的內角和”經驗時，需要激活“分與合”的辯證思想，三角形的內角分布在平面上的不同位置，求它們的和，其實就是想方設法將它們合起來，測量是為了合起來，折拼是為了合起來，撕拼更是如此。顯然，操作的路徑不一樣，分合的思想一脈相承。其次，在探索“四邊形的內角和”時，學生在分合思想的驅動下，嘗試測量、撕合和分割，經過充分比較和優化，選擇了分割這種方式，使得問題得以順利解決，所得結論更具普適性。顯然，不適合的是具體方法，并不是方法背后的分合思想。最后，在學以致用中內化思想，其他多邊形內角和的探索雖然復雜了，但是有了分合思想這個強有力的武器，一切探索都在自然而然地發生和發展。顯然，“分割”的變式操作催生了“分合”的深度體悟，并實現了方法從“用得上”漸進為“帶得走”。

綜上所述，探索需要從具體方法開始，但是不能止步于“簡單運用”;探索需要多種方法的支撐，但是不能局限于“風馬不接”;探索需要思想方法的內化，但是不能奢望于“立竿見影”。換個角度來說，探索要想提質增效，必須經歷方法的自然遷移、不斷優化、尋求勾連和沉淀內化。這是方法表征的基本路徑，也是啟智生慧的系統工程。學生只有浸潤于這樣的全過程，才能真正理解方法、使用方法和超越方法，最終實現數學思維能力的提升，數學思維品質的養成。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題《基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究》階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）。]

（責編 金 鈴）