分類列舉：探索從“無序”走向“有序”

丁洪

[摘 要]分類列舉是重要的數學方法，它能使探索從“無序”走向“有序”。在具體實踐中，要注重分類的封閉，用列舉驗證猜想;要注重分類的生長，借列舉有序探索;要注重分類的遷移，助列舉內化模型;還要注重分類的聯結，促列舉感悟價值。最終，讓學生體驗探索的愉悅，獲得學習的成功。

[關鍵詞]分類列舉;和與積的奇偶性;探索規律

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0009-02

分類一般有兩個序列，即“等級分類”和“并列分類”。其中，前者表現為縱向排列，類似于套筒式地一級包含一級，描述了概念之間的從屬關系;后者表現為橫向排列，每個部分不重復、不遺漏、不交叉，描述的是概念之間的平行關系。列舉一般也有兩種情形，即“完全列舉”和“部分列舉”。其中，前者是將所有可能的結果全部呈現出來，過程演繹的是完全歸納，所得結論是必然的;后者是根據需要呈現相關特例，過程演繹的是不完全歸納，所得結論是或然的。應該說，在分類的基礎上，列舉將會變得更有序、有理和有效。

“和與積的奇偶性”是蘇教版教材五年級下冊編排的“探索規律”的專題活動，屬于“數與代數”板塊。從探索對象來看，與生活現象不同的是，本課直接研究數學現象;從知識溯源來看，原來是靜態判斷一個數的奇偶性，現在變為動態判斷一個算式結果的奇偶性;從探索方法來看，因為和與積的運算過程復雜，所以需要分門別類列舉探索。問題是，分類封閉后，列舉的具體內容如何確定？分類生長時，列舉的表征方式如何選擇？分類遷移中，列舉的無痕內化如何實現？分類聯結處，列舉的價值感悟如何達成？等等。透過現象看本質，不同階段的探索目標不一樣，但是探索的操作需求一致，即從“無序”走向“有序”。

一、分類封閉，列舉驗證

一般而言，分類封閉是“并列分類”的基本原則。遵循這個原則進行分類，就是將數學對象按照一定標準分成若干部分，做到部分與部分之間不重不漏。顯然，這樣“化整為零”的各個擊破，可以增強探索的針對性和實效性。

首先，通過問題“你能說說奇數和偶數各有什么特點嗎？”驅動學生調用原有的判斷經驗——只需要看這個數的個位，回顧具體的判斷方法，即個位上是0、2、4、6、8的數是偶數，個位上是1、3、5、7、9的數是奇數。當經驗和方法融為一體時，“一個數的奇偶性”就變得一目了然。其次，通過問題“任意選兩個不是0的自然數，求出它們的和，再看看和是奇數還是偶數。”驅動學生借助列舉進行探索。這里不管是先分類、再列舉，還是先列舉、再分類，重點都是將思維引向分類探索：第一類是“偶數+偶數”，加數都是偶數，和是偶數;第二類是“奇數+奇數”，加數都是奇數，和也是偶數;第三類是“偶數+奇數”，加數中既有偶數，也有奇數，和卻是奇數。需要指明的是，“和”是運算的結果，它的奇偶性與組成的每一個加數的奇偶性都有關。在這里，情況復雜了，反而彰顯了分類列舉的價值。最后，通過“你能再舉一些例子，驗證自己的發現嗎？”的拓展，一方面引導學生繼續感知“兩個數的奇偶性相同時，和一定是偶數”的數學事實;另一方面通過兩個層次的思考，一是“數學課本左、右兩邊頁碼的和都是奇數”，二是“任意兩個相鄰自然數的和都是奇數”，驅動學生的思維從零散碎片逐漸走向系統整體。

應該說，封閉、自洽的分類是列舉的前提和基礎。列舉時還需要適當側重，一方面要把主要精力放在重點類別上，給予探索第三類的時間和空間;另一方面要盡可能進行完全列舉，不具備完全列舉條件的，也要在特例的基礎上加以概括和推理，幫助學生跳出單個靜態的例子，形成連續動態的思維。

二、分類生長，列舉探索

兩個非0自然數和的奇偶性分成三類來探索，過程清晰，結論明確。遷移到多個非0自然數和的奇偶性，也可以分成三類來探索，即第一類全是偶數，第二類全是奇數，第三類奇偶混合，然后分別有序列舉，化復雜問題為簡單操作。

具體而言，探索第一類時，引領學生經歷偶數的個數從2個變為3個、4個……的過程，使學生初步體驗到：偶數的個數雖然增加了，但是它們和的奇偶性并沒有發生變化。顯然，多個非0偶數的和是偶數，結果是唯一確定的，并且具有穩定性和連續性的特征。探索第二類時，同樣先引領學生經歷奇數的個數從2個變為3個、4個……的過程，通過各種形式的舉例驗證，初步體驗到：奇數的個數增加了，它們和的奇偶性也隨之發生變化（如圖1）。接著，引導學生觀察，使得學生發現：當奇數的個數是1、3、5、7……時，它們的和是奇數;當奇數的個數是2、4、6、8……時，它們的和是偶數。顯然，多個非0奇數的和可能是奇數，也可能是偶數，雖然二者必居其一，但是結果并不唯一確定，起決定作用的是奇數的個數。探索第三類時，首先有序增加偶數的個數，學生發現無論增加多少個偶數，結果的奇偶性都沒有發生改變，體驗到“在奇偶混合加法中，偶數的影響力可以‘忽略不計”;然后引導學生有序增加奇數的個數，發現奇數增加到偶數個時，結果就是偶數，增加到奇數個時，結果又變成了奇數，這種規律與第二類的規律是一致的。

應該說，隨著列舉數量的逐步增多，探索過程有序推進，規律發現能夠高效達成。需要注意的是，學生列舉的探索形式可以多樣，利用具體數據、數形結合、邏輯推理都是可以的，但教師仍然需要引導學生將這些生動的表征形式引向深刻的模型建構，這符合學科知識的建構需要，也符合學生思維的發展需求。

三、分類遷移，列舉內化

在學生探索和的奇偶性的過程中，教師可以適當介入和幫扶。積的奇偶性延續了原有的探索方法和路徑，可以放手讓學生自主分類和自動列舉，并在小組內分享過程和修正思考之后，自然建構相關數學模型。

首先，通過“幾個數的乘積，什么情況下是奇數？什么情況下是偶數？”的設問，驅動學生自主架構研究的類別，從而體驗到問題的情境發生了變化，但是問題解構成的類別相同，即“全是偶數”“全是奇數”和“奇偶混合”。其次，學生根據相應類別有序列舉，在第一類中，依次增加偶數的個數，發現積還是偶數;在第二類中，依次增加奇數的個數，發現積還是奇數;在第三類中，無論是依次增加偶數的個數，還是依次增加奇數的個數，發現積依然是偶數。最后，引導學生從有無偶數的標準出發，觀察、對比和概括出規律特征，即“有偶則偶”和“無偶則奇”。這樣的總結朗朗上口，方便辨識和應用。

應該說，學生的探索從“扶著走”順利過渡到“放手做”，探索空間變大，自主意識增強，建構能力提升。因此，如果有可能，“積的奇偶性”的分類列舉盡量當堂完成，這樣才能完美演繹探索的及時性、對比性和延續性。

四、分類聯結，列舉感悟

是用就事論事的眼光看待問題，還是用尋求聯系的視角思考問題，這不僅表現為外在的自主選擇，更觸及內在的思維習慣。而教學的意蘊在于用“有意向地示范”驅動“有目的地內化”，以實現從“學會”到“會學”的自然過渡。

首先，是知識之間的聯系。比如，“偶數+偶數+偶數+……”可以抽象概括成“偶數×個數”，然后聯系“有偶則偶”的乘法規律，使學生體會到所得結論與個數無關;“奇數+奇數+奇數+……”可以抽象概括成“奇數×個數”，然后聯系“有偶則偶”“無偶則奇”的乘法規律，引導學生發現決定和的奇偶性的因素是奇數的個數。顯然，這樣的巧妙轉化，有效構建了不同數學模型之間的有機聯系。其次，是方法層面的聯系。通過“回顧探索和發現規律的過程，說說自己的體會”引導學生從方法層面進行反思，學生感悟到“多寫一些算式，并進行比較，才能發現規律。”“要注意從不同的算式中發現共同的特點。”“舉例和驗證是發現規律的好方法。”顯然，這樣的總結提煉，讓學生的學習從特殊走向一般。最后，是思想層面的聯系。這一層次的聯系并不獨立存在，它散落于單個的探索以及知識層面和方法層面中，應該說，抽象、建模和推理一直在發生，而且三者聯系緊密，從未缺席探索活動的全過程。顯然，用數學思想驅動數學學習，這樣的教學視域更廣闊。

綜上，探索教學的本意不在知識本身，但是沒有知識的生長、方法的聯系和思想的沉淀，探索活動一定是“空中樓閣”，華而不實。因此，探索教學應該基于具體知識，又不拘泥于具體知識，要想辦法超越具體知識，使得探索教學在體現本身價值意蘊的同時，攜手課程知識和諧共建，并讓學生在此過程中體驗探索的愉悅，獲得學習的成功。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃重點課題“基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究”階段性成果（課題批準文號：C-b/2020/02/26）。]

（責編 金 鈴）