乘法概念的二重性及其教學啟示

孫姝佳 李明蘭

[摘 要]乘法概念在小學數學學習的不同階段多次出現，然而學生對乘法概念的掌握并不理想。從概念二重性理論對乘法概念進行分析，得出對乘法的理解應具有過程性和對象性，而且過程性意義先于對象性意義，過程性意義也是掌握概念的必要條件，而對象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

[關鍵詞]乘法;概念二重性;過程性;對象性;教學啟示

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0052-02

一、問題的提出

小學數學中對于乘法的學習是從整數乘法開始的，后經過小數乘法再到分數乘法，可以說乘法的學習貫穿于小學的各個階段。如果學生對乘法概念沒有一個很好的理解，那么他們對于乘法的學習將會變為機械的記憶。

比如，在學習整數乘法時，學生普遍將乘法理解為連加。如“3×5”表示3個5相加，即“5+5+5”。然而在以后的學習中，遇到小數乘法，如“1.34×2.7”時，學生便不知該如何理解這個式子。

是什么原因導致這種現象出現呢？ 這涉及乘法概念的特征及對乘法概念的理解問題。本文將嘗試從一個全新的角度來探討這一問題。

二、 問題的研究——乘法概念的二重性

本文對于乘法概念的研究借助的是A.Sfard在20世紀90年代提出的數學概念二重性理論。該理論認為許多概念既表現為一種過程操作，又表現為對象結構，概念往往兼有這樣的二重性。比如三角函數sinα，既可以看作直角三角形中銳角的對邊與斜邊之比 x/r ， 此時三角函數概念被理解為一種數學運算，體現過程性特點;也可以將其當成計算的一個結果，此時概念具備對象性特點。

我們也可以將乘法理解為具有這樣二重性的概念。乘法的學習是從整數乘法開始的，學生對乘法的理解局限在“連加”的意義上，而這種理解體現了一種過程性，學生仍把乘法看作幾個幾相加，并沒有把乘法概念與加法概念做本質的區分。學生只有將乘法作為一種新的運算來理解時，乘法概念才成為一種具有結構性的對象。

鞏子坤曾將對乘法概念的理解分為兩部分：乘法意義的理解和乘法運算的理解（乘法運算的理解又包括對運算算理和運算法則的理解）。事實上，意義的理解體現了乘法概念過程性的一面，運算的理解則體現了乘法概念對象性的一面。

對于乘法意義的理解表現為實現乘法各個表征之間的轉化。比如對于用符號表達的式子“15×4”，學生可將其理解為一種現實情境的表征：小鵬有15個玻璃球，小紅的玻璃球的個數是小鵬的4倍，小紅有多少個玻璃球;也可以用語言表征來敘述式子的意義：4個15相加是多少;當然也可以用連續型或離散型圖像來表示式子的意義;又或是用實物操作來解釋式子的含義。這些都是學生對乘法意義的理解，我們不難看出，這些表征都體現了一種操作性，是動態的、有步驟的。

而對于乘法運算的理解則是在對乘法運算算理理解的基礎上，掌握乘法運算法則，從而達到對乘法概念的整體性理解，并將乘法概念看作一種不同于加法的新運算，從而將乘法概念看作一種結構化的對象。這種結構化的對象作為一種運算，不僅形成具有運算性質、運算定律等層次性和關系性的內部組織，而且能打破本身的局限性，伸展出一些“觸角”，比如與其他概念（如冪運算）的縱橫聯系，編織成網絡。

因此，對于文章開頭的現象，也許我們可以歸因于學生未真正理解乘法的概念，但更深層次的原因在于乘法概念具有二重性的特征，而學生只停留在乘法過程性的理解，沒有將其作為一個結構化的對象。

三、進一步研究——過程性意義先于對象性意義

學習一種運算，首先要讓學生理解運算的意義，因為只有理解了運算的意義，才能知道何時使用這種運算，也才能從意義出發推導運算的法則。加之上述對乘法概念特征的分析不難看出，乘法概念過程性意義的學習確實應先于對象性意義的學習。

閆云梅等人曾在論文中分析乘法的現實模型，提出了實現乘法概念建構的教學建議。筆者整理分析得出如圖1所示的教學示意圖?？梢钥闯觯瑢τ诔朔ǜ拍畹膶W習需經歷兩次建構，第一次建構從乘法的現實模型中逐步實現;第二次建構通過數系的擴展來實現。

對于第一次建構，是經歷多種現實模型后逐步實現的，剛開始對乘法概念的理解依靠于現實情境，這具有操作性特點;經過“同數連加”，到“加法結構轉變為乘法結構”，再到慢慢理解算理，直到最后總結出乘法運算律，乘法概念才開始成為一個較完整的對象。這個轉變不經一定數量的操作是得不出本質規律的，更無法將概念發展成為對象，因此過程性意義要先于對象性意義去掌握且很有必要。

第一次乘法概念的建構為小數乘法、分數乘法的學習奠定基礎，隨后通過數系的拓展，又將乘法概念的系統做了第二次完善。如果在整數乘法的學習中沒有理解到概念的對象層面，那么學生將無法理解小數、分數乘法的意義，對運算法則的學習也將變為機械記憶。對于“1.34×2.7”這個式子，只有經過對象化過程后，不再將乘法看作“連加”的過程，而是依照乘法運算規律，將乘法看作一種新的獨立的運算，才可以從乘法分配率來抽象理解這個式子，或者從乘法的“因數的變化引起積的變化規律”來形式化理解這個式子。

可見，乘法概念具有過程性和對象性，對這兩個層面的理解并不矛盾。過程性意義先于對象性意義，過程性意義是掌握概念的必要條件，而對象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

四、教學啟示

1.重視乘法概念的教學

過程與對象同屬于乘法概念的兩個側面。概念學習中， 過程與對象的作用同等重要， 二者不可偏廢。對乘法概念的教學若不重視從過程性過渡到對象性，學生很難利用乘法的性質來解決問題。根據鞏子坤的研究，事實上也確實如此。盡管課堂上有對學生從過程到對象的引導，但學生在獨立解決問題時仍傾向于直接進行運算，或直觀給出解釋，而非用乘法運算規律進行理解。這說明當前我們對于乘法概念的教學不夠重視，學生仍局限于對運算法則的機械記憶，還未從根本上將乘法概念作為一個對象。因此，教師應進一步重視乘法概念的教學。

2.注重從“過程”到“對象”的螺旋上升

乘法概念在小學數學學習的不同階段多次出現，我們要注意乘法知識的螺旋上升，逐步深化學生對概念的理解。在低年級，乘法從幾個相同的數相加開始學習，后來隨著學習的數越來越大，直到引入乘法的豎式計算，這時教師會對學生解釋豎式計算的算理，使學生初步了解乘法運算的規律并總結出乘法運算律，對乘法的理解也逐漸從過程上升到對象。進入高年級，在學習了小數、分數后，學生又進一步理解數系擴展后的乘法意義，將整數乘法運算規律類比到小數、分數乘法的學習中，同時補充“乘法也表示一個數的幾分之幾”的過程性意義。從微觀看，對于同一個概念可能會得到不止一個“過程—對象”的區分方式。

3.使學生形成良好的概念體系

對概念的理解形成體系，不僅有利于形成具有層次性、關系性的內部知識，且易發現概念與外部知識的關系，從而形成更大的知識網絡體系。事實上，作為對象的概念，在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用：它既操作別的對象，又被高層次的運算來操作，也就是說，對于成為對象的概念更容易形成概念系統，從而更利于整體把握知識。因此，教師應注重讓學生形成良好的概念體系。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李士锜.熟能生巧嗎[J].數學教育學報，1996，5（3）.

[2] 鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教與學的策略研究[D].重慶：西南大學，2006.

[3] 李士锜. 熟能生笨嗎？：再談“熟能生巧”問題[J].數學教育學報，1999，8（3）.

[4] 人民教育出版社小學數學室.小學數學教材教法（第二冊）[M].北京：人民教育出版社，2001.

[5] 閆云梅，劉琳娜，劉加霞.小學階段乘法的不同現實模型分析與教學建議[J].課程·教材·教法，2014，34（3）.

[6] 佘文娟，王光明.也談A.Sfard數學概念的二重性理論[J].數學通報，2013，52（8）.

（責編 羅 艷）