等值與位置：促進學生對小數意義的深度理解

鄭華恒

[摘 要]學生學習小數的意義有兩個難點，一是十進制分數與小數的內在關聯，二是計數單位“1”的進一步細分。合理利用形如“[110] = 0.1”的等值關系能幫助學生對分數與小數形成結構化關聯，促使學生通過探索小數在數軸上的位置以及小數的計數單位在數位順序表上的自然生成，在更高層面內化和理解小數的意義。

[關鍵詞]小數的意義;結構化關聯;數與數位;多元表征

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0062-02

“小數的意義”是小學“數概念”教學的一個重要領域，是學生在整數認知基礎上對數系認識的拓展。學生對小數意義的認知有兩個難點：其一，從認知心理學上看，學生對“關系”的學習是有困難的，而與整數的學習不同，小數的學習高度依賴十進制分數;其二，從數系的拓展來看，學生因為深受整數學習的影響，對小數在數軸上的位置及其計數單位在數位順序表上的生成，接受起來有困難。如何突破這兩個難點，幫助學生內化小數概念，很值得研究。

一、突出等值，多元表征分數與小數的內在聯系

小數是十進制分數的另一種表示形式。多數學生認為，小數是一類數，分數是另一類數，兩者是獨立的。借助人民幣、長度單位、正方形、數線等模型，以等值為內核，可以多元表征小數和分數間的聯系，從而幫助學生真正理解“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”“小數可以用來表示分母是10、100、1000……的分數”。

【教學片段1】借助正方形模型，初步建立分數與小數的聯系。

師（課件演示把正方形平均分成10份）：其中的一份可以用哪些數來表示？

生1：可以用分數[110]表示。

生2：也可以用0.1表示。

師：同樣的這一份，為什么會這樣？

（結合圖形，學生不難發現是因為它們表示的是相同的一份，從而建立起0.1與[110]相等的關系，初步理解0.1表示十分之一，以及十分之一就是0.1。）

師：借助正方形模型說說0.2表示的意義。

生3：0.2表示十分之二。

師：0.2是小數，[210]是分數。這兩個不同的數為什么會相等呢？

生4：因為它們都是把這個正方形平均分成10份，表示這樣的2份。

【教學片段2】借助米尺，溝通整數、分數、小數間的關系。

師：剛才我們借助正方形表示了一位小數。你能在這把米尺中找到一位小數嗎？

生1：長度是3厘米既可以表示成0.3分米，也可以表示成0.03米;0.3分米和0.03米就是3厘米。

生2：把1米平均分成100份，3份的長度就是3厘米，也就是[3100]米;[3100]米用分數表示就是0.03米。

（教師板書：3厘米= [310]分米= 0.3分米，3厘米=[3100]米= 0.03米。學生根據板書再對比，分享各自的想法。）

兩個教學片段，都是巧妙借助等值關系，運用“數形結合”思想，構建小數與分數的本質聯系。從“以數解形”角度看，0.1等價于十分之一;從“以形助數”角度看，十分之一和0.1都表示“把一個正方形平均分成10份，取其中的1份”。至此，學生直觀感受到了小數與分數間的關系，初步感悟“小數是十進制分數的另一種表現形式”。最后，教師再用整數、分數、小數來表示等長（同樣的3厘米），進一步幫助學生感悟整數、分數、小數間的內在關聯。

二、突出位置，在數軸和數位順序表上生長出小數

數學發展史表明，人類很早就掌握了小數的數學意義，但探求用簡單而又貼切的符號來表示小數，卻經歷了漫長的歲月。學生認知的困難往往與數學發展史一樣，受整數認知的影響，學生自然地以為相鄰兩個整數間沒有其他數，對兩個整數間還有數不清的小數“心理上有遙遠的陌生感”，他們對小數在數軸上的位置、小數數位在數位順序表中的位置大多心存疑慮，難以理解還有比“1”還小的計數單位。

【教學片段3】小數在數軸上的“家”。

1.教師出示標注了整數0～4的數軸;學生觀察數軸，估測小數在數軸上的可能位置。

師：每個數都有自己的家。這些小數（出示有代表性的小數，如0.1、0.6、0.01、3.14、3.15、0.45、0.99等）的“家”在哪里？

生1：小數都比0大，位置都在0的右邊。

生2：0.6的位置在0～1的中間略微偏右。

生3：3.14和3.15的位置在3至4的范圍內，并且離“3” 更近些。

2.根據需要逐步細分數軸，學生精準找到小數在數軸上的相應位置。

師：我們剛才大致估計了這些小數的位置，但每個小數在數軸上的位置是精準的，怎么能找到它們精準的位置？

生4：先從容易的一位小數0.1、0.6、0.7開始找。因為這三個一位小數都表示十分之幾，因此，先得把0～1這段平均分成10份。

生5：要找到0.45和0.99的位置，就要把0～1這條線段平均分成100份。

（教師根據學生的需求將數軸上相應的線段平均分成10份、100份、1000份。學生找到給定小數的位置后，再觀察整個數軸，會發現：兩個整數之間有很多小數;小數數位越多，數軸就平均分得越細;等等。）

上述教學再現了小數在數軸上的動態生成過程。學生在粗略估測小數在數軸上的位置的過程中很好地培育了數感。估測時，學生也會產生繼續細分下去的沖動，真切感受到：小數數位越多，小數就刻畫得越精細。一一對應、極限、數形結合等數學思想方法也在這樣的動態過程中得到滲透。學生親眼看見，親身經歷了小數的產生，這時的小數才會真正走入童心，學生才會心悅誠服接受新知，陌生的小數也變得熟悉起來。

【教學片段4】小數數位在數位順序表上的“家”。

師：在計數器上撥出小數2.1。

（教師在課前已為學生準備了畫有多個計數器模型的練習紙（只出示個位至千位，沒有標出小數點和小數數位）;學生用畫圓的方式在計數器模型上撥出2019，在交流畫法中回顧數與數位的關系。）

生1：在千位畫2個圓，百位上不畫，十位上畫1個圓，個位上畫9個圓，表示這個數由2個千、0個百、1個十和9個一組成。

師：請迎接新的挑戰——“撥出”2.1。

（教師選擇兩份有代表性的作品進行展示）

作品1：十位上畫2個圓，個位上畫1個圓，小數點標在個位和十位中間。

作品2：在個位上畫兩列圓，左邊2個，右邊1個。

生2：作品1不對，十位畫2個圓，已經表示2個十了，比2.1大多了。

生3：作品2也不對，一個數位只能有一個數，把2和1都畫在個位下面是不對的。

師：，你們認為表示小數2.1最困難的是什么？

生4：“2”很好表示，就在個位上畫2個圓就行。“.1”應該畫在哪？一個圓平均分成10份，只畫一小塊，放到個位上，好像也不行。

生5： “.1”沒有滿一，肯定是不能畫在個位上的。“.1”究竟該畫在哪呢？

（學生發現把0.1和0.01放在整數數位的任何位置都不對）

生6：這個計數器數位不夠了。

生7：我一直以為“一”就是最小的計數單位，難道還有比“一”更小的計數單位？

（學生在爭辯中逐漸形成共識，“.1”應該放在個位后面;現在的計數單位中，個位后面一定有新的計數單位，創造出“新的數位”——十分位、百分位……教師相機引導學生理解“0.1”表示十分之一，新的計數單位就是十分位;“0.01”表示百分之一，新的計數單位就是百分位……學生在原有計數器模型的右邊標識新的數位：十分位、百分位、千分位……最后，順利畫出了“2.1”。 ）

師：我們一起完善數位順序表，再觀察新的數位表，說說你的認識。

（教師介紹小數產生的歷史）

上述教學再次應驗了“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，人類原有的認知已經無法解決新的問題時，就會逼著人類創造新的知識。學生在數位上進一步認識小數，是對小數意義的進一步抽象。畫“2.1”的過程，突出了數位的重要作用，啟發學生從數系層面理解小數的意義。學生在整數數位的基礎上不斷嘗試，發現不能表示出“0.1”，“被迫創造”出小數數位。這樣的拓展才是屬于學生自己的真正意義的數系“拓展”。因此，教師要避免通過簡單的介紹，將小數數位“空降”到數位表上，再通過強化訓練讓學生理解接受，而忽視學生經歷小數數位生長的過程。

多元表征是數概念教學的重要策略，數與數之間的等值關系，數在數軸（數線）和數位順序表上的位置，為更有意義的表征提供了工具。用好這些工具，能觸及學生心靈，吸引學生主動參與，激發學生在數概念學習中深層次思考，找準知識的“生長點”，真正讓數學概念內化于心，使深度學習真正發生。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 蔡宏圣.數學史走進小學數學課堂：案例與剖析[M]. 北京：教育科學出版社，2019.

[2] 馬云鵬，吳正憲.深度學習：走向核心素養（學科指南·小學數學） [M]. 北京：教育科學出版社，2019.

【本文系重慶市教育科學“十三五”規劃2018年度重點課題“學生立場下融和教育的架構與踐行研究”（課題批準號：2018-14-233）階段性研究成果。】

（責編 金 鈴）