數學情感在問題解決中的作用與路徑

林煒 王偉

影響數學問題解決的認知要素

問題解決是一項認知的活動，這一過程中包含了一系列的認知因素：如記憶、意識、元認知、認知策略等，這些認知要素在理論上都與數學情感有著密切的關系。因此，問題解決中數學情感的研究，也可看作是基于認知理論的情感研究。

記憶與情感表征。記憶及表征過程在問題解決中扮演著重要的角色。但是相當長一段時期數學教育領域所關心的話題都集中在表征類型（如劃分為代數和幾何部分分別表征）、問題解決的策略（如列舉、畫圖等），較少關注情感對儲存和提取過程的影響，然而這兩個概念在數學問題解決的過程中是非常重要的。如對長時記憶的提取在問題解決中體現在是否能將新的問題連接到已有的知識當中去，信息提取失敗是阻礙順利解決問題的一大絆腳石。在儲存與提取的過程中，情感有沒有起到作用，還有待進一步的論證。

意識在問題解決中的作用。研究者們對意識的關注是源于行為主義轉向信息處理理論的發展，心理學家曼德勒指出，意識概念的出現其實是基于對人類信息處理重要性的關注，如果沒有意識的存在，人類處理信息的能力及提取長期記憶的能力將會受到相當的限制。學者Rigney提出，在問題解決中，人類的意識應當屬于情感因素中的重要部分。主要是因為意識與無意識心理過程有明顯的區別，在對比了意識到有限能力與無意識的工作記憶后，發現在意識過程比無意識過程要慢。也有學者表明，意識對問題解決過程中的短時記憶有明顯作用，至少在信息提取過程中發揮了一定分量的作用。因此，進一步研究意識在問題解決中的作用，有可能會指向意識與無意識的平行結構同步進行。

元認知在問題解決中的作用。學者舍費爾德認為，元認知對問題解決是極有幫助的，因為它可以幫助問題解決者決定采用何種策略、嘗試此種策略多長時間，以及停止和替換另一種認知策略的時機等。如果我們幫助問題解決者自我反思他們的認知處理過程，就是將他們的情緒反應作用于問題解決。持續關注學生的情緒影響，能給予他們更強有力的認知過程控制。

自動化在問題解決中的作用。工作記憶或是意識本身的局限性，決定了在問題解決中頻繁出現的心理過程自動化現象。此時個體的意識和元認知將不再參與到問題解決中去。由于有時候自動化的過程與問題解決者所要行走的方向是背道而馳的，所以消除不良自動化反應，創造積極自動化反應也一度成為數學課程領域的熱點。有些數學課程專門為發展學生的自動化反應而設計，使學生能自動地進入數學問題的思考中。

問題解決策略與數學情感。在數學問題解決的教學上，最經典的方法就是波利亞提出的啟發式教學法，包括圖表法、倒推法等各種方法。這些方法及其運用、研究一度都只集中在認知領域，幾乎沒有學者關注到情感上的影響。后期，也只有個別學者提到問題解決策略有引起學生情感變化的可能。如將一個復雜問題簡化的時候，學生會感到更有信心去解決剩下的問題，這種過程中因為得到步驟成就的信心與最終問題得以解決的信心是沒有區別的。在數學教育中，我們應該何時、如何處理學生問題解決的結果才能既保護學生繼續解決問題的信心，又及時糾正認知錯誤呢？這是值得進一步探索的問題。

數學情感在問題解決中的理論模型

數學問題解決本意上說是認知領域的活動，但近年來一直有與數學情感結合起來研究的趨勢。學者卡爾丁（Goldin）構建了一個情感表征系統與認知表征系統相結合的數學問題解決能力的模型。在此模型中，研究學生的數學情感定位于狹義的情緒性狀態，而非廣義的特質性態度等。這種狹義的、瞬間的、變化性的情感狀態更易于研究者捕捉學生在解決問題過程中的感受，看清他們在儲存和提取有用信息、操作監控、激發啟發式過程等方面的細節。因此，此研究遵循兩項約定：一是情感在擔任表征功能的作用時，具有持續激發情感路徑的可能性，并且能夠構建個人的狹義情感狀態與個體認知的互動關系;二是穩定的情感結構過于復雜，可以通過分解成部分路徑的方式來分析，即以狹義情感表征路徑來呈現情感與認知在數學問題解決中的關系。在此定義下的情感結構是可以用于標記和表征認知信息的。因此，情感表征系統應包括如下幾個方面：第一，狀態或感覺的內部結構;第二，能影響到其他表征系統的情感表征路徑;第三，基于認知事件的情感轉化路徑。

卡爾丁構建的模型分為兩大路徑來看問題解決中所經歷的數學情感，與問題解決過程中的情感狀態和啟發式結構相結合，從結構的有效性和反效性兩方面分析數學情感路徑。

數學問題解決模型對實踐教學的啟示

在卡爾丁構建的模型中，實線代表的是問題解決者個體改變可能經常會發生的狹義情感的路徑;虛線代表的是問題解決過程中個體的情感狀態可能會影響到啟發式方法策略的路徑。在這個理想化的模型中，問題解決者的情感狀態都起源于好奇心。對學生來說，問題太深，他們就會產生迷惑的感覺，從而說明他們心里覺得沒那么快能解開起初好奇的疑團。迷惑暫時還不會給問題解決個體帶來負面情緒，但是當迷惑持續下去，個體就會產生困惑的感覺。學生會感覺解決這個問題像大海撈針，腦子一片空白、混亂。許多學生到這里就停滯了，難以繼續，需要教師干預和幫助指導，才能渡過難關。在教師的指導和鼓勵下，學生慢慢能解開疑團，疑難的問題開始被分解難度，學生之前的困惑慢慢轉變成正向的喜悅之情。如果在教師的提示下，學生自我頓悟了某些節點，還可能給他們帶來莫大的快樂。最終，他們能感受到問題解決的成功和滿足，為進一步解決其他數學問題奠定了良性的心理基礎。

但是，在困惑的階段，有的學生可能會選擇（或者教師為學生選擇）自己繼續往下走多一點。走的過程中可能給他們帶來的感受是繼續堆積的負面情緒越來越強烈，持續不斷的停滯不前讓他們感到沮喪，此時的問題解決者像鉆進了一個死胡同一樣。有可能下一步會突發一種新的思路或方法，把問題解決者帶回到正能量主導的情緒狀態中。也可能一直糾纏在問題無法解決的沮喪中，最終導致情感上的焦慮。如果此時還伴隨著外部影響的效應，比如此次問題解決失敗了，學生將會受到教師的批評或者獲得很低的數學考試成績，他們會把這種外部刺激內化到自身的情緒狀態，最終害怕和恐懼，甚至是對數學這一門學科以及與它有關的學科的整體厭惡。

對于教育工作者而言，最大的挑戰就是如何消除學生的消極情緒，如何重構與平衡認知與情感需求。無論如何，認知目標都應該建立在學生可以接受和操控的情感目標之下，數學情感應成為數學教育的基礎性保障因素。