數學建模在高中數學課堂教學中的應用

謝定亮 魏有蓮

【摘 要】教育領域關注學生核心素養的培養，高中數學教學的重點在于知識的實踐運用，數學教師要以學生創新意識以及科學精神的培養為重點，讓其經歷問題發現、提出、分析和解決的一系列過程。建模思想的應用有助于培養學生的學習興趣，引導學生主動探究，使其全面發展。對此，本文簡要介紹數學建模思想和應用價值，并對于數學建模的實踐運用做深度分析。

【關鍵詞】數學建模;高中數學;課堂教學;應用

數學建模是指結合現實問題將抽象的數學知識提取出來，并建立模型，運用相關知識的數學思想解決問題的方式。學生形成建模思想之后，能夠將數學知識和具體問題相關聯，快速尋找問題的解決途徑，不斷提高綜合素養。因此，高中數學課堂教學中適當運用建模思想十分必要，教師需要對數學建模的具體運用展開探索，發揮其在課堂中的應用價值。

1? ?數學建模概述

1.1? 建模思想介紹

數學建模屬于數學思想之一，主要是結合學科知識，包括定義、公式、定理、數學方法，對于上述內容形成本質認識，也可以將建模思想視為對數學方法和知識的總體認識。數學模型是利用數學語言描述現實世界，運用數學模型有助于學生快速理解知識，并且將數學模型運用在實踐當中，有助于學生將模型作為載體歸納常見的數學現象和問題，明確問題的實質，聯系模型和知識。總體而言，數學建模主要是指對生活問題、生活情境展開抽象分析，尋找其中存在的變量關系，利用數學語言或者符號建立模型，將模型求解出來，并將這些模型應用在同類問題的求解中[1]。

1.2? 數學建模的應用價值分析

高中數學課堂中，數學建模的應用價值主要體現在如下幾方面：第一，應用建模思想能夠轉變傳統教學觀念，關注學生應用意識和能力的培養;第二，應用建模思想可設計建模活動，激發學生對知識的探索欲望，開闊其視野;第三，靈活應用建模思想，有助于數學教師不斷更新和完善自身的知識結構，課堂教學更加高效;第四，應用建模思想能夠激發學生的想象力，培養其觀察能力，促使其深入學習數學知識，形成創新能力;第五，通過建模活動，組織學生合作交流，共同探究知識，有助于學生自學、探究與合作等能力的培養，使學生不斷增強應用意識，實現高效解題。

2? ?高中數學教學中數學建模的應用

2.1? 函數問題的應用

應用模型，主要是指通過教學，不斷深化和拓展知識，讓學生形成新理解，將建構知識和學習知識等過程加以關聯和對比，在腦海當中建立知識模型，從而對問題有深入認識，不斷完善知識結構，有助于數學素養的提升[2]。

高中數學函數知識貫穿始終，屬于重點內容。函數是利用變量關系對于客觀世界進行描述的重要工具，有助于學生解決數學問題。函數知識中的概念問題、單調性問題、導數問題屬于學習重點，而上述知識的教學均可利用建模思想完成，以數學模型關聯函數所有知識。在講解函數的概念性質等內容時，可介紹如下內容：一是初等函數，二是三角函數，三是數列知識。教學中，教師需要帶領學生感受函數模型建立和應用模型解決問題等過程。

在函數概念講解階段，可選擇生活化案例，將案例數學化，利用表格、圖象或者解析式等模型將案例呈現出來，循序漸進地將函數變量、函數關系、對應內容等展開講解，讓學生明確函數概念的本質，并理解y=f（x）的形式意義。可使用溫度變化這樣貼近生活的實例構建模型，引導學生分析函數圖象，明確其性質以及幾何意義，使用語言建立單調性模型，即當 x1f（x2），此時函數單調遞減。在函數奇偶性問題的講解中，要重點突出當f（-x）=f（x）時，函數為偶函數;當f（-x）=-f（x）時，函數為奇函數。講解函數周期性知識時，要將f（x）=f（x+T ）系列概念模型加以明確[3]。

初等函數屬于數學學習的基礎。指數函數學習中，可通過“折紙”或者“細胞分裂”等案例，引導學生配合圖象或者計算工具，將指數函數用數學語言描述出來，即 y=ax，a>0且a≠1，用數學語言描述對數函數為 y=loga x，a>0且a≠1，用數學語言描述冪函數為 y=xa。要讓學生對不同模型形式有基本了解，并掌握函數的運算規律以及變化趨勢。教學中，要指引學生利用初等函數相關模型，對函數概念、性質等模型進行提煉，并利用模型解決現實問題。

三角函數問題也可利用建模思想解決。教師要將單位圓作為基礎，完成三角函數模型的建立，引導學生分析單位圓的對稱性，使學生使用定義將誘導公式的數學模型推導出來，結合問題情境，掌握的具體意義，從多個角度進行分析和思考，完成三角函數公式變換模型的建立，不斷形成模型觀念。

講授數列模型時，也可滲透建模思想，將“人口增長”“教育貸款”等相關案例引入課堂，幫助學生構建數列的概念模型，引導其對等差、等比數列的變化規律展開探索，建立等差數列的通項公式模型 an=a1-（n-1）d ，等比數列的通項公式模型 an=a1qn-1，a1、q≠0 ，體會數列模型對解決實際問題的價值。

函數教學的重點是讓學生通過對客觀世界存在的變化規律加以描述，體會指數、對數、冪、三角等函數的實際應用價值，培養其學習信心，讓學生關注數學知識的深度和廣度，對建模思想有深入感知，結合實際問題完成探究、自主提問、模型建立以及求解的過程。

2.2? 幾何和代數問題的應用

幾何和代數知識模型建立中，應該將幾何知識和代數知識相互關聯。平面向量和其應用、幾何初步和解析幾何、空間向量和立體幾何等知識都要利用到圖形性質，教師要引導學生在腦海中形成解析幾何的解題思想，利用相關主題建立模型。

在平面向量和應用講解階段，可以和其他學科建立聯系，如將物理學科中有關速度、位移和力等知識的相關情境引入課堂，使物理情境數學化，逐漸幫助學生完成向量概念的模型建立，并將向量模型向平面、空間延伸，使學生對向量幾何意義有深入理解，明確向量代表的代數含義，并感受向量在其他學科或者生活中的應用。

立體幾何教學方面，可選擇長方體作為背景，讓學生對空間內部點、線、面位置的關系模型有初步感受，（A∈l，B∈l，A∈α，B∈αl∈α）。教學中，可利用班級內部各類實物，包括教室墻壁或者黑板等，完成幾何模型的構造，培養學生的空間觀念，使學生掌握線線平行、線面平行判定定理以及性質定理等模型意義，能夠利用數學語言表示客觀世界。

平面解析幾何講授階段，可利用拋物線的運動軌跡或者行星的運動軌跡作為教學情境，幫助學生完成代數知識和幾何圖形之間的轉換，引導學生利用坐標系完成直線模型、圓模型、橢圓模型、雙曲線模型、拋物線模型的建立。

空間向量以及立體幾何講授階段，可利用類比法以及向量法等建立空間的線面平行、面面平行判定的模型，讓學生經歷模型建立、應用等系列過程，從多個角度理解幾何問題的求解方法，并能利用向量模型完成實際問題的求解。

2.3? 統計和概率問題

統計和概率相關內容的教學中，可運用“擲色子”和“擲硬幣”相關實例，引導學生收集和整理數據，建立統計、概率等模型，感受生活中決策的可行性以及必要性。教學中可利用計術原理、概率和統計等內容，建立主題模型，使學生感受到概率、統計之間的聯系。具體教學流程如下：針對需教學的知識建立模型，利用學生熟悉的生活情境，提出問題，組織學生歸納，將問題分類，使學生體會到問題的意義。可使用“捆綁法”建立排列與組合相關計算公式的模型。內容如下，排列公式的計算模型為;組合公式的計算模型為。

教學統計和概率知識時，應該結合背景知識，選擇“擲色子”和“擲硬幣”等生活實例，建立“古典概型”和“二項式定理”等模型，即：

通過上述流程，讓學生掌握統計、概率知識的本質和意義，經歷模型建立全過程，將知識數學化，靈活運用模型解決生活問題[4]。

總之，高中數學課堂教學中，可結合具體內容，適當滲透建模思想，轉變傳統授課模式，組織課堂活動，幫助學生建立模型，培養其獨立思考問題的意識，使其能不斷發現和解決問題，利用所掌握的數學模型解決實際問題，開闊思維，形成創新意識，提高數學素養。

【參考文獻】

[1]張鑫.數學建模在高中數學教學中的應用與研究[J].科學咨詢，2020（23）.

[2]齊忠新.數學建模在高中數學課堂的有效運用[J].數學大世界，2020（3）.

[3]周建東.加強高中數學建模教學培養學生數學應用能力[J].求知導刊，2019（44）.

[4]郭潔.新課標下高中數學建模教學探微[J].南北橋，2020（5）.