離散數學中蘊涵詞教學改革研究

【摘要】離散數學是信息類專業的專業必修基礎課程，對提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力有重要作用。數理邏輯是離散數學課程的重要分支，本文針對數理邏輯中的蘊涵聯結詞的定義及相關命題的符號化進行教學改革研究。結合蘊涵詞的教學目標，本文給出切實的教學設計，其以守信美德為引入點，重點講授蘊涵聯結詞的定義和條件語句的符號化。蘊涵詞的重難點是掌握蘊涵式的真值只有當前件為真且后件為假時才為假、區分充分條件和必要條件，通過學生討論守信問題和思政例題突破重難點，使學生深刻掌握該知識。

【關鍵詞】離散數學? 教學改革? 思政融合? 蘊涵詞

【基金項目】國家自然科學基金（No. 61901218），江蘇省自然科學基金China（No. BK20190407）。

【中圖分類號】O158-4 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）22-0021-02

一、緒論

離散數學是信息類專業的專業必修基礎課程，含有數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四個分支，其在計算機科學理論，計算機系統結構，計算機軟件和計算機應用中具有廣泛地應用，是它們的數學理論基礎，對提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力有重要作用。

數理邏輯與集合論是同構關系，而代數結構和圖論都是在集合論的基礎上構建出來的，所以學好數理邏輯是掌握離散數學的根本。命題聯結詞，尤其是蘊涵聯結詞，是數理邏輯的入門課程，是開啟數理邏輯學習歷程的鑰匙，也是集合論中定義所用的描述語言。學好蘊涵聯結詞，不僅可以打好推理理論的學習基礎，也是學習集合論中關系的性質等重點知識的必備工具。但是學生一般難以理解蘊涵詞前件為假的真值，由此無法有效地進行后續課程的學習。因此，如何令學生熟練掌握蘊涵詞的真值表和蘊涵詞的符號化變得至關重要。

根據習近平總書記的講話精神，高校教育要專業能力培養和思想政治工作兩手抓，培養有正確思想觀念、價值取向和人生態度的優秀專業人才。當今社會金錢主義、消費主義等不良思潮盛行，高校教育更應全方面多維度地開展思政融合改革，以避免學生遭受消極思想影響。離散數學作為大學的先導課程，是培養人工智能、計算機、通訊等未來工程人才的必備課程，是進行思政融合的最佳陣地，是落實立德樹人的根本任務的重要抓手。因此，進行離散數學和思政教育的融合研究刻不容緩，勢在必行。本文在蘊涵詞的教學過程中加入了愛黨誠信的思政元素，通過愛黨和誠信讓學生更深刻地理解蘊涵詞，并深受啟發。該教學改革可推動離散數學課程和思政教育的融合的研究工作。

二、蘊涵詞的教學設計

在蘊涵詞的課程任務中，教學的重難點是如何讓學生理解并掌握前件為假時蘊涵詞的真值，并對生活化的蘊涵語句進行正確地符號化。教學前要做好學情分析，離散數學一般開設在大學伊始，而且數理邏輯部分一般在離散數學的前端，蘊涵詞是學好數理邏輯的必備條件。因此，學生在高中數學的基礎上開始學習數理邏輯，難免出現不理解不消化的情況，應注意引導學生克服重難點，徹底掌握蘊涵詞的重點內容。

本教學設計從學生的學情出發，融合愛黨誠信等思政元素，以期突破教學難點，使學生能很好地掌握本節內容。具體的教學設計如下：

（一）復習命題的相關概念

命題既是上節課內容，又是蘊涵詞的學習載體，因此，掌握命題的相關概念是學習蘊涵詞的必備條件。為了讓學生更好地投入到本節課的學習中，應復習命題的相關概念。首先，復習命題的定義：非真即假的陳述句。該陳述句的判斷結果稱為命題的真值，真值為真或假。真值為真的命題稱為真命題，真值為假的命題稱為假命題。其次，復習命題的表示方法：用小寫英文字母p， q， r， s， …，表示命題。最后，強調命題的相關概念是學習蘊涵詞所必須的基礎知識，通過復習讓學生回顧和鞏固相關知識，打牢基礎。

（二）以“他是一個守信的人么”引發學生討論

學生學習蘊涵詞的重難點在于如何理解前件為假時整個蘊涵式的真值卻為真。為了讓學生更輕松地掌握該知識點，以學生的生活舉例：“××說：如果我的離散數學考年級第一，那么我請所有同學吃冰淇淋”，那如果他沒有考年級第一，而且不請所有同學吃冰淇淋，是否表示他仍然是個守信的人呢？以此為主題，引發學生討論。結合學生討論的結果，引出結論。按照常理來講，我們認為××仍然是誠信的人，因為他所要求的條件并未達到。我們以是否誠信作為蘊涵式真值的取值，從而引出蘊涵詞的定義和真值表。

（三）蘊涵聯結詞的相關定義

結合自然語言常見的“如果……那么……”語句，給出蘊涵聯結詞的定義：設p， q為兩個命題，復合命題“如果p， 則q”稱作p與q的蘊涵式，記作p→q，并稱p是蘊涵式的前件，q為蘊涵式的后件， →稱作蘊涵聯結詞，讀作p蘊含q.規定：p→q為假當且僅當p為真q為假，即蘊涵式的真值情況見下表。

可以發現，該真值表與討論是否誠信的結論完全一致。在這里，要注意強調p→q 的邏輯關系： q為 p 的必要條件。但是要令學生明白p和q可以是毫無關聯的兩個命題，這點不同于自然語言。在自然語言中，前件和后件需要滿足一定的邏輯關系，但是數理邏輯中，研究更關注的符號和真值情況，而非兩者之間的邏輯關系，p和q只要是命題即可。

此外，可簡要介紹古代和中世紀蘊涵思想的研究發展歷程，并推薦擴展閱讀書籍以激發學生的研究興趣，并培養學生的科研精神。

（四）命題符號化

符號化是指將自然語言符號寫為形式語言，方便進行演算和證明，是將自然語言處理成數理邏輯中的語言的有力工具。給出蘊涵式符號化的步驟：找到必要條件，寫成蘊涵式的后件;找到充分條件，寫成蘊涵式的前件。

此處的教學難點是在有些自然語言中很難區分充分條件和必要條件。具體地講，如果p發生，那么q必然發生，p是q的充分條件，符號化為p→q;如果p不發生，那么q必然不發生，p是q的必要條件，符號化為q→p。常見的難點是“只要p就q”寫成p→q，但是“只有p才q”寫成q→p。為了令學生深刻理解兩類語句之間的區別，本課給出例句“只有社會主義才能救中國”，“只要中國共產黨振臂一呼，人民群眾就會跟隨響應”，結合共產黨建黨歷史和淮海戰役，學生能切實地理解兩者之間的區別，并引導學生的愛國愛黨思潮。

（五）符號化學生討論的主題和相關例題，給出結論

針對討論的主題：“××說：如果我的離散數學考年級第一，那么我請所有同學吃冰淇淋”，令p：我的離散數學考年級第一，q： 我請所有同學吃冰淇淋，那么這句話可以符號化p→q。那他沒有考年級第一，而且不請所有同學吃冰淇淋意味著p，q同時為假，根據蘊涵式的定義，p→q為真命題，那么在數理邏輯中，認為該句仍是真命題，那么也可以認為他是守信的。

此外，結合復雜的復合命題的例句，通過提問、雨課堂等多樣方式考查學生是否掌握。若學生仍不理解，要重申蘊涵詞的學習重難點，詢問學生的盲點，并在課堂上立即解決疑問，積極推進授課任務的完成。

（六）課堂小結，布置作業

在課程的最后，總結本節內容，尤其強調本課的重難點。通過反復講授蘊涵詞的真值表和符號化方法，以春風化雨般滋養滲透學生，從而讓學生更深入全面地掌握本節課的內容。另外，給出作業文檔和擴展閱讀資料。作業應針對教學重難點設計豐富的內容，并根據學生掌握的程度給出難度分布合理的作業。針對積極鉆研的同學，可讓其閱讀蘊涵詞的中內外發展過程，切實體會定義定理從無到有，從有到優的研究過程，從而內化稱自己的研究路徑，初步掌握科研的基本步驟，為國家輸送更高品質的科研人才。

（七）引出等價聯結詞

通過留疑問：“如果兩個條件互為充分必要條件，那應該怎么表示呢”，讓學生思考這種情況如何通過蘊涵詞表示，從而在下節課時可以順勢引出等價聯結詞。并讓學生尋找生活是否存在等價關系，那是否滿足互為充分必要條件。以生活為引，讓學生理解離散數學實際遍布生活的各個角落，學好離散數學不僅能用于鉆研科研難題，更能回饋在生活中。

三、小結

本文以離散數學的重要內容蘊涵詞為研究內容，結合愛黨誠信等思政因素，給出了具體的教學設計文稿。本設計首先通過課堂討論引發學生的激烈討論，從而活躍課堂，以調動學生的學習熱情。其次，本設計通過愛黨的思政例題讓學生更好地掌握蘊涵式的真值表，并感悟中國在中國共產黨的領導下的砥礪前行，繁榮昌盛，從而突破蘊涵詞這節內容的重難點，更加深刻地掌握本節內容。最后，本教學設計通過留疑問和增加擴展閱讀材料，啟發學生自動思考，去鉆研生活中的離散數學難題和相關科研難題，從而培養了學生的科研精神，具有很強的操作性，有助于培養具有縝密的邏輯思維能力和高道德品質的專業性人才。本教學改革充分考慮了學生的學情，突破了教學重難點，并結合思政元素以期為國家培養具備愛國愛黨的家國情懷的信息類專業人才。

參考文獻：

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作者簡介：

周玉倩（1989年-）女，漢族，河南新鄉人，講師，研究生（博士），研究方向為離散數學教學改革。