關于拉格朗日中值定理應用的教學探究

王建云　王甜甜　全宏波　田智鯤　楊雪花

【摘要】拉格朗日中值定理是微積分的理論基礎，是建立函數和導數相互關系的重要橋梁。介紹了拉格朗日中值定理的一些應用，如求解函數極限、證明不等式、證明恒等式、判斷函數的一致連續性、證明方程根的存在性、判斷函數的單調性、判別級數的斂散性等。

【關鍵詞】拉格朗日中值定理? 輔助函數? 應用

【基金項目】湖南省普通高等學校教學改革研究項目（湘教通〔2019〕291號，序號729）;湖南省普通高等學校教學改革研究項目（HNJG-2020-0587）;湖南工業大學教學改革研究項目（2020A16）。

【中圖分類號】O172? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）08-0108-02

1.引言

拉格朗日中值定理是微積分的理論基礎，為微分中值定理的核心，它是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的一種特殊情形。它建立起了函數值與導數之間的定量關系，成為討論由導數的已知性質推斷函數具有某些性質的一個有效工具。拉格朗日中值定理的應用非常廣泛，許多學者也對其進行了一些相關的研究[1-9]。本文主要在求解函數極限、證明不等式、證明恒等式、判斷函數的一致連續性、證明方程根的存在性、判斷函數的單調性、判別級數的斂散性等方面，對拉格朗日中值定理的應用進行了詳細地分析和討論，并通過具體例子來呈現一些應用技巧。

2.拉格朗日中值定理的應用

2.1求解函數極限

在拉格朗日中值定理的表達式中，f（b）-f（a）就是函數f（x）在區間[a， b]上的增量。從而拉格朗日中值定理可以看作是，函數f（x）在區間[a， b]上的增量與其區間長度的比值等于f（x）在某一點的導數。因此，當求解函數極限的類型為函數是同一類型函數之差與自變量之差的比值，這時就可以使用拉格朗日中值定理先將其化簡再求極限。

2.2證明不等式

2.3證明恒等式

2.4判斷函數的一致連續性

因為拉格朗日中值定理是微分中值定理中一個重要的內容，它也具備微分中值定理的一些性質，它也可以將函數與其導數聯系起來。因此，我們可以運用拉格朗日中值定理來探討導數的性質。從而以此來了解函數在區間上的一些整體性質，比如研究函數在區間上的一致連續性。

2.5證明方程根的存在性

利用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性，要根據題目中的方程構造輔助函數f（x），將題目中的區間設為區間[a，b]。如果關系式中出現某函數的導數在兩個不同點處的值、某函數的二階導數在某點處的值或者出現兩個函數的導數在兩個不同點處的值等情形，這時都可以利用拉格朗日中值定理證明其根的存在性。

2.6 判斷函數的單調性

一般可以利用函數的一階導數在區間上的符號來判斷函數的單調性，有時候在函數一階導數的表達式中會出現或包含f（b）-f（a）的形式，這時候可以巧妙結合拉格朗日中值定理，化簡導數的表達式，從而容易判斷其正負。

2.7 判別級數的斂散性

當級數的通項表達式中含有對數或具有單調性，則可以構造一個適當的輔助函數，利用拉格朗日中值定理得到一個關于級數通項的不等式，再利用級數的部分和數列的極限存在性來判斷該級數的斂散性。

3.結語

拉格朗日中值定理是微分學一個重要的定理，它的應用非常廣泛，在很多問題的解答中，若能很好地結合拉格朗日中值定理，就可以拓寬學生的解題思路，使問題更加靈活地得到解決。在這個求解問題的過程中，關鍵點是將求解問題所需的輔助函數構建出來，既能使函數滿足拉格朗日中值定理的條件，又能讓求解的問題變得簡單易行。

參考文獻：

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作者簡介：

王建云（1981年-），男，湖南常寧人，博士，講師，研究方向：微分方程數值方法及應用。

田智鯤（1979年-），女，湖南龍山人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程數值方法。