一道測試題的解題探索與思考

江蘇省無錫市洛社高級中學(xué) (214000) 馮宇斌

波利亞說過“掌握數(shù)學(xué)就意味著學(xué)會解題”.解題是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的必要途徑，同時(shí)也是課堂教學(xué)的重要組成.要做好解題教學(xué)工作，教師首先要學(xué)會解題，學(xué)會研題.以此為基，輔以適時(shí)適量的活動設(shè)計(jì)，學(xué)生才能逐漸學(xué)會解題，邏輯推理等核心素養(yǎng)也隨之孕育發(fā)展.本文呈現(xiàn)筆者對一道測試題的整個(gè)探究歷程，拋磚引玉.

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(1,0)作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點(diǎn)N，探求點(diǎn)N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.

這是我校高二期中考試模擬試卷的壓軸題，滿分12分，其中第(1)問4分，第(2)問8分.本題的年級均分不足4分，屬于難題.接下來，分三方面進(jìn)行探索與思考.

一、就題論題

教學(xué)時(shí)可設(shè)置如下的問題串：①你打算怎么解決這個(gè)問題？②解決這個(gè)問題分哪幾步？引導(dǎo)學(xué)生用流程圖的形式表示整個(gè)過程，建立框架，這也是解決問題的基本套路，下面提供三種解法.

點(diǎn)評：三種解法都是用方程來研究問題，，最終都化為非對稱式的處理，只是在細(xì)節(jié)處理上有所區(qū)別.法1更體現(xiàn)了通性通法，上手容易，但需要學(xué)生具備較強(qiáng)的計(jì)算能力和計(jì)算的勇氣，這是解析幾何教學(xué)時(shí)要關(guān)注和培養(yǎng)的；法2通過目標(biāo)意識的指引，簡化了法1的運(yùn)算過程，先猜后證也是探索性問題教學(xué)時(shí)的常用策略，應(yīng)滲透給學(xué)生；法3通過變換方程形式，大大簡化了聯(lián)立以后的方程及中間的運(yùn)算，而且借助韋達(dá)定理巧妙地把積式化為和式，整體代入直接得出了最終結(jié)果，猶如神來之筆，這一經(jīng)驗(yàn)值得積累.以后遇到非對稱式，不妨借鑒一下，或許會有意想不到的效果.

二、推廣探究

波利亞說過，解題就像采蘑菇一樣，采到一顆蘑菇以后應(yīng)四處看看，可能還會有別的收獲.一般化是一種常見而且重要的數(shù)學(xué)思維方式，是獲得數(shù)學(xué)命題的重要途徑.本題中，注意到點(diǎn)M(1,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)N所在的定直線是橢圓的右準(zhǔn)線，這是偶然還是必然？經(jīng)過一番探究，筆者成功地將其推廣到一般情形，得到了如下命題：

聯(lián)立AP，BQ的直線方程并將上式代入得

三、變式拓展

一個(gè)好問題就猶如一只會下金蛋的雞，筆者據(jù)此提供了下列三個(gè)問題，供進(jìn)一步思考：

教師研究解題，既可以模擬數(shù)學(xué)家的思維，從一般化、變式等方面展開；又可以從學(xué)生角度思考，預(yù)設(shè)卡殼點(diǎn)，設(shè)計(jì)活動去突破.只有這樣，教師解題和解題教學(xué)才可以更好地聯(lián)系起來，促進(jìn)教師素養(yǎng)和學(xué)生能力的提升.