一道開放性試題的探究與推廣

廣東省中山紀念中學 (528454) 鄧啟龍

數學命題一般由“條件”和“結論”兩部分組成.正確的命題揭示了“條件”與“結論”之間的必然聯系.如果我們把命題中“條件”和“結論”互換身份,就有可能得到一個有意義的逆向命題;把一個數學命題中的某些特殊的條件一般化(比如取消某些條件過強的限制),從而得到更普遍的結論,叫做數學命題的推廣.這兩種方式都是發現數學新知識的重要途徑.

經過探究發現,將c,k一般化,條件∠OMA=∠OMB不變,求出m的值只與c有關.于是得到變式1.

圖1(F在圓O內)

變式1如圖1，圓O的方程為x2+y2=1,動直線l與圓O交于兩點A,B,與x軸交于圓內點F(c,0),其中c為非零常數.點M(m,0)為x軸上一點,若∠OMA=∠OMB恒成立,求m的值.

圖2(F在圓O外)

若動直線l與x軸的交點F在圓外,如圖2，經過探究發現將條件∠OMA=∠OMB改為∠OMA+∠OMB=180°,有類似的結論.由于∠OMA=∠OMB和∠OMA+∠OMB=180°都有直線MA,MB的斜率之和為0,所以得到以下一般的結論:

變式2設圓O的方程為x2+y2=1,F(c,0),其中c為非零常數,且c≠±1.過點F的動直線l與圓O交于兩點A,B,點M(m,0)為x軸上的一點,直線MA,MB的斜率分別為k1,k2.若k1+k2=0恒成立,求m的值.

若將單位圓一般化,改為圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,則有類似的結論.

若將試題中的點F,M一般化,不限制點F,M在x軸上,本文經過探究得到以下一般結論:

變式7圓C的半徑為r,異于圓心C的點F不在圓C上.

(1)過點F的動直線l與圓C交于兩點A,B,若存在點M使得∠CMA=∠FMB恒成立,則點M在射線CF上,且|CF||CM|=r2；

(2)點M在射線CF上,且|CF||CM|=r2,過點F的動直線l與圓C交于兩點A,B,則∠CMA=∠FMB.

變式8圓C的半徑為r,異于圓心C的點M不在圓C上.

(1)如圖3，點M在圓外,直線l與圓C交于兩點A,B,若∠CMA=∠CMB,則直線l與直線CM的交點F在射線CM上,且|CF||CM|=r2；

(2)如圖4，點M在圓內,直線l與圓C交于兩點A,B,若∠CMA+∠CMB=180°,則直線l與直線CM的交點F在射線CM上,且|CF||CM|=r2.

圖3

圖4

注:點F和點M關于圓C互為反演點.