賞析一道含參恒成立問題的多種解法

湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) (430312) 李紅春湖北省武漢市教育科學(xué)研究院 (430032) 孔 峰

波利亞有一句名言：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.解題是教師數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式和主要內(nèi)容，也是職業(yè)幸福感的源泉.在眾多數(shù)學(xué)問題中，含參恒成立問題一直是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，尤其當(dāng)這類問題與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來時(shí)，解題方法更顯得靈活多變，難度不容小覷.數(shù)學(xué)試題浩如煙海，在有限的時(shí)間做很多題，淺嘗輒止，一知半解，倒不如以一道典型試題為抓手，從不同的角度進(jìn)行思考分析，領(lǐng)悟其中的方法與規(guī)律，這既能優(yōu)化思維品質(zhì)，又有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的有效構(gòu)建.

題目已知aln(x+1)-2(x+1)-ax+2ex>0對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題以不等式為載體，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔巧妙，以指數(shù)、對(duì)數(shù)混合形式出現(xiàn)，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯思維能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想，是一道難度較大，區(qū)分度較高的試題，下面研究其解法.

策略1分類討論，逐步深入

含參數(shù)的問題，往往因?yàn)閰?shù)的存在，導(dǎo)致函數(shù)的性質(zhì)具有不確定性，這時(shí)可通過“分類討論，逐步深入”的方法，將含糊的問題具體化，讓解題得以繼續(xù).

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，g″(x)>0恒成立，則g′(x)在(0,+∞)遞增，則g′(x)>g′(0)=0，故g(x)在(0,+∞)遞增，則g(x)>g(0)=0，滿足題意；

評(píng)析：以上解法有兩點(diǎn)值得注意，首先端點(diǎn)處的函數(shù)值比較特殊：g(0)=0，g′(0)=0；其次通過“x>0時(shí)ex>1+x”這一關(guān)系將超越函數(shù)g″(x)縮小為有理函數(shù)，為g″(x)尋找零點(diǎn)創(chuàng)造了條件.

策略2數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，華羅庚先生曾感嘆道：“數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分開萬事休.”通過挖掘數(shù)學(xué)式子背后形的特征，以形助數(shù)，是解決數(shù)學(xué)問題中的一種常用方法.

圖1

圖2

此時(shí)，在切點(diǎn)右側(cè)存在一個(gè)區(qū)域(0,x0)，在該區(qū)域隨著x的增大，曲線上切線斜率逐漸減小，圖像呈現(xiàn)出“上凸”的趨勢(shì)，在該區(qū)間g(x)的圖像位于h(x)圖像的下方，如圖2，顯然不符合題意.

綜上a≤2.

評(píng)析：將原不等式移項(xiàng)重新組合，得到g(x)≥h(x)恒成立，觀察出h(x)的圖像為函數(shù)g(x)在x=0處的切線，從形的角度分析問題，找準(zhǔn)解題思路.

策略3分離參數(shù)，回避討論

通過參數(shù)與變量的分離，使所得函數(shù)不含參數(shù)，進(jìn)而無需分類討論，從而簡(jiǎn)化解題.

評(píng)析：以上解答過程“巧合”頗多，推動(dòng)解題不斷深入下去的關(guān)鍵其實(shí)是“細(xì)致的觀察”與“大膽的猜想”.如：求導(dǎo)后要判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即導(dǎo)函數(shù)分子m(x)的符號(hào)，而m(x)=0，于是猜若m(x)單調(diào)，則m′(x)的符號(hào)是確定，在簡(jiǎn)單變形后將問題等價(jià)為n(x)的符號(hào)判斷后，發(fā)現(xiàn)n(0)=0，則猜想n(x)是單調(diào)的，即n′(x)的符號(hào)是確定，最終將問題歸結(jié)為判斷φ(x)的符號(hào)，可以說是猜想在推進(jìn)解題全過程.

策略4先求充分，再證必要

數(shù)學(xué)解題講究等價(jià)轉(zhuǎn)化，即含參數(shù)問題中求得的結(jié)果應(yīng)該是使得原不等式成立的“充要條件”，解題時(shí)可先求出原不等式成立的“充分條件”，然后證明其“必要性”【1】.

評(píng)析：關(guān)注函數(shù)取端點(diǎn)值的特殊性，先通過式子成立的充分條件求出參數(shù)的取值范圍，再證明其必要性，充分性表明：有了就足夠；必要性表明：少了就不行.先求充分條件，再證明其必要性，是一種逐步降低解題難度的方法.

策略5同構(gòu)轉(zhuǎn)化，歸于單調(diào)

通過將已知條件變形整理，使得不等式兩邊的式子具有“一致”的結(jié)構(gòu)，從而抽象出共同的函數(shù)，再借助單調(diào)性將問題加以解決.

評(píng)析：依據(jù)式子兩端具有相同的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出函數(shù)，再將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來求解，過程簡(jiǎn)潔明了，是本題的最佳解答，但對(duì)觀察能力提出較高的要求.

本文的五種解題方法充分展示了解決含參恒成立問題的五種基本策略：分類討論、以形助數(shù)、參變量分離、運(yùn)用充要條件以及同構(gòu)轉(zhuǎn)化.解題過程我們充分感受到了數(shù)學(xué)思維的靈活性與多樣性.需要指出的是，面對(duì)不同問題，究竟選擇哪種策略還要因題而異，比如有些式子無法實(shí)現(xiàn)參變量分離，不能使用策略3；又如策略5，只有使不等式兩邊具有一致的結(jié)構(gòu)才能構(gòu)造出函數(shù).總之，解題首先要根據(jù)已知條件選準(zhǔn)策略，然后再立足已有條件，緊盯求解目標(biāo)，圍繞當(dāng)前障礙，探尋處理方法.

另外，“工欲善其事，必先利其器”，求解含參恒成立問題還需要自身具備幾個(gè)能力，即觀察能力、猜想能力、反思能力、化歸能力和運(yùn)算能力.觀察、猜想和反思為我們的解題指引了可能的方向，化歸和運(yùn)算則是檢驗(yàn)猜想方向是否正確，完成解題過程的基本保障.