常微分方程教學方法的思考與探索

馬和平

（湖北工業大學 理學院，湖北 武漢 430068）

常微分方程對于信息與計算科學專業的學生來講是一門非常重要專業基礎課。而常微分課程的特點是方程類型多，方法多，與其他課程銜接緊密。需要較強的邏輯性推理能力以及演算能力。因此想要學好常微分方程的前提是：

第一：學生必須對數學分析中的不定積分，微分知識以及高等代數中線性方程組的知識結構清楚。

常微分方程第二章內容是一階微分方程的初等解法，其實可以叫做初等積分法，即用初等積分的方法求解微分方程。例如：變量分離方程tanydx?cotxdy= 0通過分離變量方法化為數學分析上冊學生已經學過如何求解各種形式的不定積分的方法，對于基礎知識扎實的學生來講很容易求出兩邊的不定積分，從而得到方程的通解。而對于基礎薄弱的學生，這個時候就無法繼續下去，選擇放棄，這會導致失去信心。所以如此簡單的微分方程，雖然知道求解方法但是不會不定積分則是前進中的一大絆腳石。再比如在遇到線性微分方程時，可以判斷出是可分離變量方程，接出通解為，通過常數變易法，另，再對y(x) 兩邊求導數時，學生對的導數求解不熟練，導致后面做題是求不出C'(x) 所滿足的方程，因此找不到方程的通解。當講解第四章高階微分方程的解的結構定理的時候，用到高等代數中線性方程組解的特點以及線性相關與無關的知識。例如，討論高階線性微分方程：的n解線性無關情況時，通過反證法，巧妙構造線性方程組，由高等代數中知識告訴我們齊次線性方程組系數行列式為零則得到它有非零解。學生如果對這部分知識不熟悉，則體會不到學科之間的融會貫通的奧妙，對于常微分學習的興趣大大降低，而對于基礎知識扎實的學生，這種融會貫通形成促進作用，增加學習這門課程的信心，體會到學習的樂趣。

第二：對教師來講，教師課前要精心設計與備課。

教師是這門課程的引路人，學生對課程的主動性與積極性很大程度上取決于教師對待教學的態度。教師在第一堂課中與學生講解我們這門課程是建立在數學分析與高等代數及解析幾何的基礎上，提醒學生課下復習這三門課程。

1）對于課程要有嚴格的紀律。制定獎懲措施：對于遲到的學生，定下規矩，讓他回答上節課學過的知識點，才能進入課堂。手機必須入袋，如有特殊情況請說明。請假必須有正規請假條，提交交給老師。作業按時上交，扣平時成績2分。對于上課主動到黑板做題學生，次數大于等于3次，平時成績直接給滿分。激勵學生善于積極思考。

2）教師對每個章節需要用到的以往的知識點，提前告知學生，也即教師對課程中整體內容給學生進行梳理，以便學生對知道自己該補習的內容，增強學生的好奇心與自信心。

首先要培養學生養成良好的課前預習習慣。當天要講的新課，要求學生在課前預習，引導學生通過自己已經掌握的知識來理解新課程的內容，把教材的疑點難點記錄在冊[1]。對于常微分方程中沒有學過的復變函數的內容，讓學生分成小組，課前查閱資料。例如對z(t)如何求極限，導數以及求導法則進行證明。探討歐拉公式是如何得到的？哪個公式被稱為最美的公式？為什么？復變函數是不是也有與實函數類似的基本初等函數？三角函數如何用指數函數表示？指數函數的求導公式如何來的？共軛復數概念？如果復變函數z(t)滿足齊次的解，那么它的共軛是不是方程的解呢？z(t)的實部與虛部是不是方程的解？教師在課堂上提出問題，讓學生帶著問題走進下次課的課堂。并且提問點名各小組分享他們查閱的資料。這種方式一方面打消了學生對未學過的知識的畏懼，另一方面自己動手查閱的資料，記憶深刻，培養了學生網上查閱資料，提高學生自學能力，拓寬了學生的視野，對講解用特征根法求解微分方程的通解奠定了扎實的基礎。實現了以學生為中心，教師作為輔助，補充說明，完善，總結。

3）要求學生做筆記，檢查學生的筆記，評比出最美筆記，讓學生感受到榜樣的力量。學生如果只是眼高手低，則到后面知識積累越來越多，學生記憶會越來越模糊，單純靠記憶記公式，對于論證以及演算部分很難掌握住。所以教師應該引導學生學會記講課中問題的引出，分析的層次，解決的關鍵，重要的結論以及意義，自己的疑問與體會。從而從根本上改變學生“上課記筆記、下課抄筆記、考試背筆記、畢業仍筆記”的現狀，從而培養學生獨立求知和獨立思考，解決問題的能力[2]。

4）鼓勵學生有問題及時向老師向同學討論，每講解新知，預留40秒時間，留白，詢問學生是否有疑問，可以隨時提出來，絕不留著困惑留到明天。實踐證明，善于問問題，總結的學生學的扎實，成績較好。并且學生提出問題，對教師的教學工作也起到促進作用。通過學生的問題，教師反思，與學生進行討論。使得課堂更加有活力，學生更多地參與教學工作中。

5）引入數學軟件，提高學生學習興趣。在講解奇解與包絡時，難點在于如何找到奇解與包絡，雖然書中給了判定定理，但是此定理不是萬能的，還需要進一步驗證。此時學生可能會比較困惑，因為很多方程的通解與特解，從幾何上來看是復雜的曲線，手作圖是做不出來的，也呈現不出效果。因此鼓勵學生使用軟件求解微分方程的解，并做出圖形，觀察解的優美的幾何圖形，分析奇解情況。

常微分方程課程對數學以及信息與計算科學的學生來講是一門非常重要的基礎課，起到承上啟下的作用。一方面，它是學生學習偏微分方程的基礎；另一方面，對于考數學專業相關的研究生的學生來講，常微分方程是很多學校初試或是復試都考的課程。所以對數學感興趣，想考研的學生來講，學好常微分方程，對學生考研增加了信心。另外，隨著大學生數學建模競賽的普及，并成為高等院校提高素質教育及教學改革的重要手段，學好常微分方程顯得越來越重要，常微分方程的作用也顯得越來越突出[3]。

活到老，學到老，對于教師，時刻銘記這句話，在教學中不斷探索與進步。