淺析高中概率統計中的運算

吳道凱

摘要：運算能力既是統計與概率教學的核心，也是數學核心素養的六大能力之一。在課程設計教學活動中可以通過培養學生樹立科學的運算思維意識，掌握恰當的運算方法，鼓勵學生參與數據運算的實踐活動，拓展和提高數據運算觀念，使學生自覺地去分析數據提取信息，遇到問題時通過科學的運算方法收集數據來解決問題，提升學生的數學核心素養。

關鍵詞：運算能力? 核心素養? 課堂教學? 概率統計

在概率統計的教學中經常有學生老是抱怨題目信息量大，數據多，解題速度慢，運算跟不上影響綜合成績的提升。把問題歸結于基礎不牢靠，刷題量不足等因素，究其原因，這是一個數學核心素養的問題。

高中的概率統計從內容看，主要包括排列組合，二頂式定理，隨機抽樣，用樣本估計總體，變量的相關性，隨機事件的概率，古典概率，幾何概型，回歸分析，獨立性檢驗，離散型隨機變量的分布列、期望、方差，正態分布等相關知識。

重點是用樣本估計總體，古典概率，離散型隨機變量的分布列、期望、方差，應用回歸分析與獨立性檢驗思想方法解決簡單實際問題的能力，主要強調應用性，以實際問題為背景，構建數學模型，突出培養統計與概率的思想和數據處理能力及應用意識。

但無論是哪一部分內容，體現在解題過程中至少有90%以上的結論是通過運算來獲取。可以這么說，運算能力的強弱反映了一個學生處理問題的能力。

運算能力強的學生主要表現在破題快，解題過程中能夠快速、靈活地運用法則、定理、性質、公式等，這類學生比較善于觀察、比較、分析、挖掘提煉信息。事實上，這是與記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力以及空間想象能力等其它認識能力相互滲透、相互支撐形成的一種綜合的數學核心素養，它不是簡單地通過足量的刷題就可以形成的。

根據解題的復雜程度，我們可以把運算細分成以下兩種類型：

①簡單運算：即簡單的套用公式，定理，法則，定義的運算。這一類運算比較直觀，看起來“死板”“機械”，可以通過大量的練習得以提高，這是決定運算速度的淺層次原因，這里不再贅敘。

②思維運算：即通過分析和綜合，抽象和歸納，類比和聯想，構造和建模的一種需要通過思索提煉的綜合運算。這一類運算具有一定的深刻性和創造性，有其深度與廣度，這是主宰運算速度的深層次原因。

例如下面甲、乙兩個學生對例題的解法：

例一，經統計，在某儲蓄所一個窗口等候的人數相應的概率如下：

求：至少2人排隊等候的概率.

[解] 記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.

甲解法：記“至少2人排隊等候”為事件H，則H=C+D+E+F，所以P（H）=P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.

乙解法：記“至少2人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P（H）=1-P（G）=1-0.26=0.74

題目難度不大，但比較甲、乙兩人的運算，不難看出，甲的方法有一定的運算量，且分類層次較多，因此，不僅難以提髙速度，反而易出錯;相反，乙在其思想方法下，幾乎沒什么運算量，運算速度快。

可見，運算是思維的“載體”，不是簡單的計算，它還應該有更深的內涵與深度，運算能力體現了反應能力和思維能力，是數學素質的綜合體現，是數學的核心素養。

運算速度慢的這部分學生題做了不少，看似很努力了，但其運算能力就是得不到明顯的提高，究其原因，不是計算量不足，而是思維上的運算不足，解題時停留在問題本身，跳不出思維的定勢，與只重視數學知識而忽視數學思維有關，貌似勤奮但學習上未觸及思維的靈魂。

“數學的精神和本質在于它的思想和方法”，學習中學生有沒有深刻的理解數學思想，其運算能力是大不一樣的，在概率統計的教學中，不僅要不斷引導學生從知識與方法中提煉數學思想，還要注重運用數學思想去分析問題與解決問題，這才是培養與提高學生運算能力的一條行之有效的途徑。不能夠以“練”代“思”，這樣容易造成思維上的呆滯。

那么，在概率統計中該如何開展課堂教學以培養學生的運算能力呢？

首先，數學的理論是數學運算的基礎和依據，概率統計中定義公式非常多，必須要正確理解、切實掌握有關的數學概念、公式、公理等，才能找到合理的解法，才能取得正確迅速的運算結果。

在概率統計新知識的課堂教學中，由于概率統計內容多且雜，教材中各部分內容相對獨立，教學任務又重，課時緊，部分老師在課堂上并沒有引導學生推導公式，弄清楚知識的成因由來，構建知識體系。學生單純地記憶公式就不能對公式定理有深刻的理解，導致遇到問題時未能有效地快速破題影響運算速度。例如二項式定理的考查，公式學生倒是記得，但是由二項式系數得到的一些系數和的結論學生不理解，當變式出現時就懵圈了。

建議在課堂教學中新知識的講解應盡量做到深刻分析公式、定理的實質，講明講透公式使用的條件、范圍。對公式、定理的使用要做到正用、反用、變形用。并通過課堂練習及時鞏固，使學生在頭腦中建立起清晰的第一印象。這里不要怕上課進度“慢”，課堂上講地“慢”是運算“快”的前提。

其次，概率統計問題是出了名的題干文字多，圖表多，數據多三多，在教學中要引導學生做好審題，明確運算對象，有意識地強化分析獲取數據信息，將概率統計問題化歸為運算問題的能力。學生在解題時，往往是將審題當作了讀題，而數學的條件絕大多數都是須要等價轉化的，缺少了對題干關鍵條件的分析，無法在腦海中規劃出合適的解題程序導致入手破題時步履艱難。

例如在選擇超幾何分布和二項分布的問題上，學生理解掌握了這兩種分布的區別，但在實際解題中，經常出現困難選擇癥，未能將條件與所學知識模型相結合，沒能探究到正確的運算思路與方法。

建議在課堂教學中應盡量做到引導學生分析概率統計題干中的條件，建立條件與知識的有效鏈接，不要忙于套公式計算寫答案，要細化條件與問題的聯系，這里不要怕解題進度“慢”，課堂上解地“慢”是運算“快”的基礎。

再次，精選細解典型例題后，要引導學生完成一些靈活性強、啟發性大、綜合性好、學生通過努力能解答的習題作為練習題，建議練習后要組織給學生時間對比標準答案對運算錯誤進行自查訂正，對解題運算過程進行有效的規律總結與自查反思，歸納提煉系統的運算規律，同時也應當對常用的技巧給以足夠的重視。例如排列組合常用的“捆綁法”、“插空法”等技巧性都比較強的運算方法，要鼓勵學生有意識地收集、歸納，鼓勵他們一題多解，多題一解，積累經驗，提髙運算的合理性和自覺性，從而提高運算的正確性和迅速性。這里不要怕解題自查“慢”，課堂上查地“慢”是運算“快”的保證。

目前概率統計教學中存在一種不科學的做法，為省事把運算過程結果用PPT放在屏幕上，看似制作精美但學生并不知道如何合理運算。其實運算過程需要老師引導學生觀察、分析，尋找合理的算法，往往分析解題的過程比答案本身更重要，PPT只能作為輔助手段。培養與提高學生的運算能力是個長期的過程，教學中不可能有“立竿見影”的效果，這個要靠長期地、反復地訓練，慢慢地螺旋上升，要把運算能力的培養貫穿于整個概率統計教學的始終，課堂上要有意識地運用科學的方法進行長期的滲透，使學生不斷地、經常性地受到啟迪，在潛移默化中，使學生逐步領悟運算能力的實質，從而逐步提高運算能力。

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