單元教學的整體設計與課時實施*
——以“圓錐曲線”單元教學為例

曾 榮

(南通市教育科學研究院 226001)

單元教學有利于整體規劃學生核心素養的發展，有利于借助于大背景、大問題、大思路、大框架進行高觀點統領、思想性駕馭、結構化關聯，能有效規避傳統的課時教學整體感不強、知識分解過度、學習碎片化、教學效益低下的現象．但數學單元教學不是不要課時教學，它應該在核心素養和課程目標的指引下，設計單元教學目標和課時教學目標，使之成為一個前后聯系、相互支撐的整體．本文結合“圓錐曲線”的教學談數學單元教學的整體設計與課時實施．

1 單元教學的整體設計

單元的學習任務一般都有一個明確的主線，這個主線可以是外顯的知識技能，也可以是內蘊于知識學習過程中的思想方法或學科素養．因此，一般又可根據學習主線的類型將學習單元分為兩類：以知識技能為主題的學習單元和以思想方法或學科素養為主題的學習單元[1]．

1.1 基于知識技能為主題的單元教學的整體設計

《普通高中數學課程標準(2017年)》指出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”)[2]．知識技能不等于數學素養，但卻是發展數學素養的有效載體．現階段教科書基本是以外顯的知識為明線組織的，因此，教科書中自然的章節就是天然的單元．

圓錐曲線部分包含橢圓、雙曲線、拋物線，從知識技能角度看，三者的知識結構相近，知識間存在內在的必然聯系，具有統一性．現行蘇教版教科書采用了“總——分——總”的方式，把三者整合在一起．教材先通過丹德林雙球模型總體建構橢圓、雙曲線、拋物線的概念，引出大單元的學習內容．然后分三個小單元進行學習，每個單元的研究結構是一致的，均從標準方程和幾何性質兩個方面展開研究．最后在知識學習的基礎上，進行單元總結回顧，形成圓錐曲線學習與研究的大框架．教科書的整體設計如下：

1.2 基于思想方法或學科素養為主題的單元教學的整體設計

數學學習的核心是思維方法的學習，適時地以思想方法進行單元教學的整體設計，用高觀點、思想性去引領學生的學習，更有利于學科素養的提升．

對于圓錐曲線的學習，知識的內在統一性是一條明線，內隱的用代數的方法研究幾何，深刻認識數和形的辯證統一是一條暗線．實際教學時，我們可以基于思想方法視角對傳統的知識單元進行重整，更為上位地認識學科知識．重整后的三個小單元的做法和目標各不相同，層層遞進．

橢圓小單元：采用先分后總的形式，在課時學習的基礎上及時回顧總結，形成圓錐曲線學習與研究的大框架．

雙曲線小單元：將橢圓小單元的學習經驗直接遷移到雙曲線的小單元學習之中，進一步深化對解析法的認識．

拋物線小單元：在橢圓、雙曲線的學習基礎上，用圓錐曲線學習與研究的大框架引領拋物線的標準方程和幾何性質的學習．實際教學時可以以開口向右的拋物線為例，將拋物線的標準方程和幾何性質作為一個整體進行研究．單元教學的課時實施同樣需要整體建構．

2 單元教學的課時實施

鐘啟泉教授認為，“核心素養—課程標準(學科素養/跨學科素養)—單元設計—課時計劃”是環環相扣的教師教育活動的基本環節．單元設計下的課時教學不同于傳統的以知識傳授為主的學習，強調將教學內容置于整體內容中去把控，更多地關注教學內容的本質及其蘊含的數學思想。

2.1 以思想方法為主題的單元教學的課時分配

內容學習課時圓錐曲線通過丹德林雙球模型總體建構橢圓、雙曲線、拋物線的概念1小單元1:橢圓橢圓的標準方程2(含鞏固練習)橢圓的幾何性質1(含鞏固練習)回顧與總結1小單元2:雙曲線雙曲線的標準方程1雙曲線的幾何性質2(含鞏固練習)小單元3:拋物線拋物線的標準方程與幾何性質(1)1拋物線的標準方程與幾何性質(2)2(含鞏固練習)

2.2 在小單元學習的基礎上形成學習與研究的大思路、大框架

單元設計下的橢圓小單元學習，希望在橢圓的標準方程和幾何性質的研究基礎上，通過及時回顧總結，形成如下的圓錐曲線學習與研究的大框架．

2.3 在大思路、大框架引領下的單元課時學習

【課例】拋物線的標準方程與幾何性質(1)

學習目標

1.通過實驗操作，經歷從具體情境中抽象出拋物線模型的過程，掌握它的定義．

2.通過建立直角坐標系，根據拋物線的定義建立標準方程，能根據已知條件求開口向右的拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程，并能根據拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質．

3.在已有經驗(橢圓、雙曲線的標準方程及其幾何性質)的基礎上，進一步感悟解析幾何的研究方法，體會數形結合的數學思想．

學習過程

1.問題情境

問題1． 在前面的橢圓學習中，主要研究了哪幾方面的內容？結合橢圓的研究經歷，請你談談你對解析幾何研究方法的理解．

問題2． 對于拋物線的學習，你的研究思路是怎樣的？

【設計意圖說明】 回顧橢圓小單元的研究歷程，通過數學情境進行方法引領，用圓錐曲線學習與研究的大框架引領本節課拋物線的標準方程和幾何性質的學習，確定本節課的研究思路．

2.學生活動

【實驗操作】如圖，已知直線a，b，c，d，e，g，h，i，j為一系列相互平行的直線，直線l垂直于各直線，垂足分別為A，B，C，D，E，G，H，I，J. 點F為直線e上一定點，且點F在直線l外.

折疊紙張，使點A，B，C，D，E，G，H，I，J分別與點F重合，紙張的折痕分別與a，b，c，d，e，g，h，i，j相交于點A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1.請用光滑的曲線將點A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1連接起來，觀察所得到的曲線．

【分析思考】曲線上的點具有怎樣的幾何特征？形成的是怎樣的特殊曲線？

【設計意圖說明】雖然在章節起始課已通過丹德林雙球模型介紹了拋物線的概念，但這樣的學習更多的是起到整體建構、目標引領作用，還需要適時強化，螺旋上升．為此，安排這樣的一個實驗操作，深化對拋物線概念的理解，同時為后續的標準方程的推導做好鋪墊工作．

3.數學建構

活動1. 拋物線標準方程的推導： 讓學生選擇(建立)適當的坐標系，根據拋物線的定義，列出等式，用坐標表示等式中的量，并對所得方程進行簡化，得到拋物線的標準方程(開口向右，焦點在x軸上).

【方案一】以l為y軸，過點F且垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系.

【方案二】取過點F且垂直于l的直線為x軸，x軸與l交于N,以線段NF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.

【方案三】以定點F為原點，過點F且垂直于l的直線為x軸建立直角坐標系.

【設計意圖說明】有了橢圓、雙曲線標準方程的推導經歷，研究拋物線標準方程的推導也就順理成章了．結合不同的建系方式，讓學生自主探究，感受數學的統一之美、簡潔之美．

活動2.拋物線幾何性質的發現

【思考2】 根據拋物線y2=2px(p>0)的標準方程，你認為拋物線具有怎樣的幾何性質？為什么？

【設計意圖說明】結合圖形特征研究拋物線的概念，在概念的基礎上通過“建系——設點——列式——化簡——證明”的方式研究拋物線的標準方程，并進而通過方程研究拋物線的幾何性質，感悟“數——形——數”的辯證統一之美．教學時，對教學內容作了必要的調整，僅研究開口向右的拋物線，但將標準方程與幾何性質一起研究，更能凸顯單元教學的整體性．

4.數學運用

例1請根據下表所給的信息填空.

圖形標準方程焦點坐標準線方程y2=16x12,0 x=13

例2已知拋物線y2=4x上一點到焦點的距離為5，求這點的坐標．

【設計意圖說明】例1通過表格的方式進行訓練，信息量大，且這樣的設計更能體現整體性、聯系性．例2要求學生適當轉化，考查了學生對拋物線定義的理解．

5.回顧反思

【設計意圖說明】本節課始以思想方法的引領，終以思想方法的總結，讓思想方法的主線貫穿于始終．橢圓的小單元學習采用“分——總”的方式，拋物線的小單元學習采用“總——分”的方式，不同階段學習的基礎不一樣，對思想方法理解的層次也不一樣，螺旋上升，發展素養．

6.課外作業

(1)必做題：P47習題2.4 1(1)(3)、6

(2)思考題： 填寫下表．

圖形標準方程焦點坐標準線方程幾何性質

【設計意圖說明】必做題起到訓練鞏固的作用，思考題是本節課的延續，體現了單元教學的特點．

從單元到課時，既需要站在高觀點、思想性、結構化的視角對教學內容進行整體設計，又需要用思想方法來引領課時實施，只有這樣，我們的課堂才能“既見森林又見樹木”，才能讓核心素養落地生根．