“提——好問題”與“提好——問題”

王海軍

摘要：本文提出了一個如何在教學過程中設計提問題的方法，并用提問題為驅(qū)動給出了課堂的關鍵授課環(huán)節(jié)。讓學生在無形中通過一個個相關問題的解答達到主動學習知識的目的。

關鍵詞：教學;好問題;課堂設計

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）01-012

數(shù)學課堂上需要有問題，問題是活動的載體。有了問題就需要解決問題，這樣，學生的思維就活動起來了。解決了問題，也就學到了知識，而且是學生主動得到的。所以，提出一個好的問題非常重要。那么一個好的問題是如何產(chǎn)生的呢？

一、好問題的標準

1.問題要有一定的難度，有思考的空間，以促進學生思維的發(fā)展與鍛煉

設計問題的時候要考慮到這個問題的難度怎樣，對學生來說會不會太容易。沒有難度的問題只能稱為師生對話，雖然也是由教師提問，但是這樣的提問是不用經(jīng)過思考的，或者只需稍微思考就可以得到答案。而且問題簡單了，就容易多而碎，師生像打乒乓球一樣的一來一回。

在倍角公式的教學中，很多課堂基本上都是先復習剛學過的和角公式Cα+β、Sα+β、Tα+β。然后令β=α，讓學生思考并得到三個倍角公式，再結(jié)合sin2α+cos2α=1得到余弦的另外兩個倍角公式。

按照這種思路設置的問題對學生的思維缺少鍛煉，學生只需要按照教師的提示進行運算就可以了，教師幾乎直接告訴了學生要學習的內(nèi)容以及如何得到這些內(nèi)容。

變一種方式，可以這樣設計：已知sinα=35，cosα=45，你能求出sin2α的值嗎？能求出cos2α的值嗎？

如果只知道sinα=35，能求出cos2α的值嗎？只知道cosα=45呢？

由此，你能得出更一般的結(jié)論嗎？即已知sinα，cosα的值推導出求sin2α，cos2α值的公式。

2.問題要“有意義”，即反映教學內(nèi)容的本質(zhì)

“有意義”的問題能讓學生知道為什么要學習這個知識，學習任何知識都要讓學生知道學習的必要性，否則學生只是知識的容器。只要我們教師從“為什么學”的這個角度進行思考，就能提出反映教學內(nèi)容本質(zhì)的問題（有時想到的原因可能是不對的，需要查找資料進行驗證）。

在“用二分法求方程的近似解”一課的開頭，有位老師設計了這樣的問題[1]：現(xiàn)有50個小圓球，其大小、顏色等完全相同，其中有一個小球比其他49個小球略重一點。現(xiàn)給你一個天平，在不使用砝碼的情況下，請盡快將這個較重的小球找出來？

這個問題就不是一個好的問題，情境也不是一個好的問題情境。因為即使學生懂得了這個問題的答案，也不是馬上就會用二分法求方程的近似解了，解決完這個問題后還得重新學習二分法。這個問題對于學生即將要學習的知識沒有多少價值，它只能讓學生更好地理解二分法的思想。而且，這個問題的答案也并不是顯而易見的，學生有多種不同的答案，還得花時間評價學生的答案。水管漏水或電路某個地方出現(xiàn)故障的例子似乎更好些，與二分法更接近一些，但也只是更接近，也沒有完全反映到二分法的本質(zhì)。可以講完二分法以后，舉出這樣的一些例子，讓學生體會二分法思想的廣泛應用。

那么應該如何設計這節(jié)課的問題呢？我們應該從二分法的本質(zhì)考慮：學習二分法是為了縮小方程解所在的區(qū)間（直接目的不是為了求近似解），如何縮小？一半的辦法，不在這一半就在那一半。為什么是一半的方法？可以讓學生思考，展開討論。因此，問題設計如下：方程x2-2x-1=0的實數(shù)根就是函數(shù)f（x）=x2-2x-1的零點。根據(jù)圖象，發(fā)現(xiàn)f（2）<0，f（3）>0，即此函數(shù)圖象在區(qū)間（2，3）上有零點，你能否把函數(shù)f（x）=x2-2x-1的零點所在的區(qū)間縮小一下呢？學生有可能有不同的答案，如（2，2.6），（2，83），（2，2.5）等等。教師要采取追問的方式，你是怎么找到2.6，83，2.5這樣的數(shù)的？找到什么數(shù)更好？如果要再次縮小一下區(qū)間呢？應該找個什么樣的數(shù)？如何有規(guī)律的找出這個數(shù)？

這樣處理也是符合教材上的思路，教材上是這樣寫的：方程x2-2x-1=0在區(qū)間（2，3）上有唯一實數(shù)根x1。然后有一個思考：你能把此方程的一個根x1限制在更小的區(qū)間內(nèi)嗎？

3.問題的提出要符合知識的發(fā)生發(fā)展過程

“知識的發(fā)生發(fā)展過程”需要教師比較好的了解學科教學知識，高中數(shù)學每個模塊的知識都有各自的特點、數(shù)學科學也有著自己特有的研究規(guī)范，如“三角函數(shù)”是研究周期性現(xiàn)象;“立體幾何”是研究空間幾何體的形狀、大小和位置關系等等。設計問題的時候應該圍繞這些方面進行考慮。

在學習對數(shù)運算性質(zhì)時，很多老師都是先給出幾組特殊的數(shù)：（1）log33，log39，log327;（2）log24，log28，log232;（3）……然后讓學生觀察、猜測，得到對數(shù)的運算性質(zhì)logaM+logaN=loga（M·N）。按照這種方式設計出的問題就沒有反映出知識的發(fā)生發(fā)展過程，學生肯定不明白這個問題是如何產(chǎn)生的，怎么想到由幾個特殊的數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的。問題提出的很不自然，很突兀。事實上，研究了一個對象通常要考慮對象之間的運算，如集合的運算、向量的運算、復數(shù)的運算等等。學完對數(shù)之后，下面自然要考慮對數(shù)的運算，數(shù)的運算包括+、-、×、÷、乘方等。比如學習指數(shù)之后就研究了同底指數(shù)的乘法am·an=am+n、除法am÷an=am-n和乘方（am）n=amn（指數(shù)的加法和減法沒有規(guī)律）。學生明白了這些之后，就可以提出問題：你覺得對數(shù)會有哪些運算性質(zhì)？學生自然會想到對數(shù)的+、-、×、÷、乘方等。

4.問題提出的時機要恰當，讓學生有興趣思考

在問題給出之前必須有鋪墊，否則直接給出問題學生會不感興趣。

在學習解析幾何《直線與圓的位置關系》一課時，有位教師是這樣設計問題的：在幾何畫板上畫了動直線和定圓顯然相交的情況，又畫了顯然相離的情況，并依次說明是相交和相離的。第三次（圖1）是當直線與圓好像相切的時候問學生：直線與圓是什么位置關系（大部分學生都說是相切的）？然后又稍微移動了兩次直線（圖2和圖3），分別問學生直線與圓是什么位置關系（這次說相切的少了很多）？最后一次畫完圖之后，留出時間讓學生回答、談談自己的看法（剛才是相切的，這次應該不是相切的了，但看起來還是相切的，讓學生感覺到確實是個問題）。通過這幾次的畫圖和最后學生的回答就把學生完全代入到問題情境中了。這一些都鋪墊完了之后，才給出問題：怎么說清楚這個位置關系（圖3）？

如果把這三個圖中的任何一個單獨拿出來問學生，學生會沒有任何疑問的說成是相切的。三個放到一起學生自然感覺到這是個問題（最多有一個是相切的），并愿意、有興趣思考怎么樣判斷、用什么方法判斷這個位置關系。從而得到應該建立坐標系，利用直線與圓的方程判斷（兩種判斷方法）。因為“形缺數(shù)時難入微”，必須量化。

5.問題要具體明確、易于被學生理解，不至于產(chǎn)生歧義

證明《解三角形》中的正弦定理時，通常的方法都是通過作高把任意三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形進行證明。很多時候，學生只畫出銳角三角形進行證明，這樣的證明是不嚴謹?shù)模瑧撟C明在鈍角三角形中正弦定理也成立。那么當學生只證明正弦定理在銳角三角形中成立后。應該怎么啟發(fā)學生，讓學生知道鈍角三角形也需要說明呢？有位老師的問法是：“上述證法能行嗎？[2]”這個問題就不明確（“能行嗎”是指證法錯誤還是不全面），也不具體（哪個地方不行）。課堂上，學生面面相覷，不知道老師問的什么意思。還以為證明正弦定理在銳角三角形中成立的證法是錯誤的。我們可以這樣問：“上述證明過程是否嚴謹、全面？”若學生沒明白，再追問“即過A點作BC邊上的高，垂足應該在什么位置（一定在線段BC上嗎）？”這也是證明過程中要分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的原因。學生自然能發(fā)現(xiàn)當角B或角C為直角時，垂足D與B點或C點重合，當角B或角C為鈍角時，垂足在線段BC外。這樣的問法能讓學生知道為什么要分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形進行證明。不光知道是什么，還知道為什么。

6.問題要考慮到課堂上學生可能的答案，與教師希望的答案不一致時怎么處理

在學習《三角恒等變換》，得到兩角和（差）的正切公式tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ以后，教材（蘇教版，必修4）上有個思考：兩角和與差的正切公式在結(jié)構上有什么特點？對于這個問題，我們希望學生得到的答案是：有兩個角正切的和（差），還有兩個角正切的積（下面有個例題要用到這個特點）。但是學生不一定一下就能說出這個答案。學生的答案可能是：公式是個分式（因為前面學習的兩角和與差的正弦、余弦公式都是整式）。兩角和的正切公式的分子也是和，分母是差;兩角差的正切公式，分子是差，分母是和……

當學生有這樣的回答時，我們可以采用追問的方式，讓學生的觀察更本質(zhì)一些，如：公式是個分式，分子、分母的結(jié)構特點呢？分子是和，是哪兩個和;分母是差，是哪兩個差？

7.問題提出之前要注意“先行組織者”的使用，即方向的引導，利于啟發(fā)學生思考

由于學生的基礎不同，知識掌握的情況不一定都一樣。如果當堂課要學習的內(nèi)容，要用到上節(jié)課或者以前學習的知識，這時教師應該復習一遍或者強調(diào)一遍，讓學生大約處在同一起跑線上。否則問題提出后，會只有少量的掌握好的同學能思考出來。

在學習“直線與平面垂直的定義”之前，可以先復習一下學習立體幾何的思想方法：平面化與轉(zhuǎn)化。如如何說清楚兩條異面直線是否垂直？轉(zhuǎn)化為相交直線（平面化）進行說明。如何判斷直線與平面是否平行？轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的直線是否平行，即線面問題轉(zhuǎn)化為線線問題。把這兩個內(nèi)容鋪墊完了之后，就可以問學生：那么你覺得應該如何說清楚直線與平面是否垂直呢？試以圓錐的軸與底面垂直（圓錐的軸與底面內(nèi)直線的關系）為例進行說明。

二、好問題的使用

提出了一個好的問題還需要在課堂上使用好，應該讓全班同學都能參與進來、都能掌握課堂上學習的知識。

1.要留出足夠的時間讓學生思考

問題提出后，學生的思考需要時間。很多課堂，教師提出問題后，或者馬上就提問反應快的同學，或者提問學習好的同學，用學生的一言堂代替教師的一言堂。這個時候，學習的效率是比較低的，因為沒思考出來的同學還想思考，并不想聽;思考不出來的同學，沒經(jīng)過自己的思考，即使知道了答案也理解不了，理解了印象也不夠深刻。

在學生思考的過程中，教師可以巡視，了解學生思考的情況，給有困難的學生更多的提示。

2.教師要做主持人、不當復讀機

等到學生思考一段時間，大部分同學都有了答案以后，讓學生回答。學生回答的時候，教師不要打斷學生的發(fā)言，一個學生回答完了以后，教師不要急于評價，也不要重復學生的答案。問其他同學是否有不同的意見，讓有不同觀點的學生發(fā)表意見。若沒有任何不同的意見，教師再補充、評價。

3.利用好板演

若提出的問題是讓學生板演的，應該盡量地多找?guī)讉€同學，讓更多的學生展示，盡可能地暴露出學生會犯的各種錯誤。板演結(jié)束以后，讓學生評價黑板上的板演情況，而不是由教師評價。因為指出別人錯誤的時候，也是對自己的提醒。學生都沒發(fā)現(xiàn)的問題，再由教師評價。一般來說簡單的練習題應該讓學生板演（特別簡單的，能口答的除外）;有難度的題目，可以讓學生思考，得出思路，然后再板演。不能由學生說，教師寫，老師當學生的秘書;應該學生自己說、自己寫。

有了好的問題，又能使用好，再加上親切的語言與教態(tài)，恰當?shù)厥褂枚嗝襟w技術，應該就是我們所期待的好課。

參考文獻：

[1]卓斌.例談數(shù)學教學中問題串的設計與使用[J].數(shù)學通報，2013，52（6）.

[2]章建躍.如何把握啟發(fā)學生思維的度[J].中小學數(shù)學（高中版），2014（11）.

（作者單位：連云港市城南高級中學，江蘇 連云港222000）