動力學中功和能綜合分析

趙詩華 朱 琴 艾 茜

（[1]中國礦業大學（北京）理學院 北京 100083；[2]北京市昌平區第二中學 北京 102208）

功和能都是標量函數，對應的規律如動能定理、機械能守恒定律等等是標量函數方程。所以從功和能的角度上解決動力學問題是常用的重要方法。動力學中的功和能內容是物理教學的重點之一，本文對動力學中功和能問題做一綜合分析，并舉例解析。

1 定義

1.1 功

1.2 功率

作用在物體上的力在單位時間內做的功稱為功率，即

1.3 動能

1.4 保守力、非保守力、勢能函數

做功與路徑無關的力稱為保守力，做功與路徑有關的力稱為非保守力．在數學上為了描述保守力做功與路徑無關的特性引入的函數稱為該保守力的勢能函數。

常見的保守力有四種：萬有引力，重力（萬有引力的分力，一般單獨為一種力），彈簧彈性力，電場力。常見的非保守力有兩種：摩擦力，安培力（洛倫茲力永不做功）。

保守力 勢能函數 功能關系萬有引力重力彈性力保守力的功等于對應勢能增量的負值。例電場力

2 求功的方法

2.1 按定義求功

2.2 由功能關系求功

（1）動能定理：

①質點動能定理：質點所受外力做功代數和等于質點動能的增量，即

②質點系動能定理（由質點動能定理推得）：作用于質點系所有外力做功之和加上所有內力做功之和等于質點系總動能的增量，即

動能定理解題見例1。

（2）機械能守恒定律：在只有重力或彈力做功的系統內，動能與勢能相互轉化，總的機械能恒定不變。即

（3）在只有重力、彈力、電場力做功的系統內，動能、重力勢能、彈性勢能、電勢能相互轉化，總能保持不變，即（見例2）。

（4）熱力學第一定律：一個熱力學系統的內能增量等于外界向它傳遞的熱量與外界對它所做功的和，即。

（5）伯努利方程：作定常流動的液體中，在同一流管中任何一點處，流體每單位體積的動能和勢能以及該點壓強之和是個常量，即。

（7）能量守恒定律：能量既不會消滅，也不會創生，它只會從一種形式轉化為其它形式，或者從一個物體轉移到另一個物體，而在轉化和轉移的過程中，能量的總量保持不變。

實際上功能關系求功中前6種求功的方法，都是能量守恒定律的特例。

2.3 圖像法求功（見例3和例4）

2.4 微元法求功（見例5）

圖1

圖2

圖3

例3跳水運動員從高于水面H=10m的跳臺自由落下。設運動員質量m=60kg，其體形可等效為一長度L=1.0m，直徑d=0.30m的圓柱體。略去空氣阻力，運動員入水后，水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面。F的量值隨水的深度 變化的函數曲線如圖4所示。該曲線可近似看作橢圓的一部分，該橢圓的長、短軸分別與坐標軸OY和OF重合。橢圓與Y軸相交于Y=h處，與F軸交于F=5mg/2處。為了確保運動員的安全，計算水池中水的深度h至少應等于多少？（水的密度ρ=1.0×103kg/m3）

圖4

解 如圖5，根據受力不同，把運動員直線運動分為三個過程。

圖5

（1）A→B自由落體運動，只受重力作用，重力做功。

（2）B→C減速運動，剛浸入水到完全浸入水中，受重力mg、浮力f1、阻力F作用，三力均做功。

（3）C→D減速運動，完全浸入水中到剛好速度為零時接觸水池底面，受重力mg、浮力f2、阻力作用，三力均做功。

下面先求f1，如圖6

圖6

圖7

在p-V圖中畫出循環過程1-2-3-1圖線，如圖8所示．氣體在此循環過程中對外做正功，其值W等于△123的面積，即

圖8

圖9