動(dòng)力學(xué)中功和能綜合分析

2021-05-14 07:32:10趙詩華

科教導(dǎo)刊·電子版 2021年7期

趙詩華朱琴艾茜

（[1]中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院北京 100083；[2]北京市昌平區(qū)第二中學(xué) 北京 102208）

功和能都是標(biāo)量函數(shù)，對(duì)應(yīng)的規(guī)律如動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律等等是標(biāo)量函數(shù)方程。所以從功和能的角度上解決動(dòng)力學(xué)問題是常用的重要方法。動(dòng)力學(xué)中的功和能內(nèi)容是物理教學(xué)的重點(diǎn)之一，本文對(duì)動(dòng)力學(xué)中功和能問題做一綜合分析，并舉例解析。

1 定義

1.1 功

1.2 功率

作用在物體上的力在單位時(shí)間內(nèi)做的功稱為功率，即

1.3 動(dòng)能

1.4 保守力、非保守力、勢(shì)能函數(shù)

做功與路徑無關(guān)的力稱為保守力，做功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力．在數(shù)學(xué)上為了描述保守力做功與路徑無關(guān)的特性引入的函數(shù)稱為該保守力的勢(shì)能函數(shù)。

常見的保守力有四種：萬有引力，重力（萬有引力的分力，一般單獨(dú)為一種力），彈簧彈性力，電場(chǎng)力。常見的非保守力有兩種：摩擦力，安培力（洛倫茲力永不做功）。

保守力勢(shì)能函數(shù) 功能關(guān)系萬有引力重力彈性力保守力的功等于對(duì)應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值。例電場(chǎng)力

2 求功的方法

2.1 按定義求功

2.2 由功能關(guān)系求功

（1）動(dòng)能定理：

①質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)所受外力做功代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，即

②質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理（由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理推得）：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力做功之和加上所有內(nèi)力做功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量，即

動(dòng)能定理解題見例1。

（2）機(jī)械能守恒定律：在只有重力或彈力做功的系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能恒定不變。即

（3）在只有重力、彈力、電場(chǎng)力做功的系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總能保持不變，即（見例2）。

（4）熱力學(xué)第一定律：一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)能增量等于外界向它傳遞的熱量與外界對(duì)它所做功的和，即。

（5）伯努利方程：作定常流動(dòng)的液體中，在同一流管中任何一點(diǎn)處，流體每單位體積的動(dòng)能和勢(shì)能以及該點(diǎn)壓強(qiáng)之和是個(gè)常量，即。

（7）能量守恒定律：能量既不會(huì)消滅，也不會(huì)創(chuàng)生，它只會(huì)從一種形式轉(zhuǎn)化為其它形式，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，而在轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的過程中，能量的總量保持不變。

實(shí)際上功能關(guān)系求功中前6種求功的方法，都是能量守恒定律的特例。

2.3 圖像法求功（見例3和例4）

2.4 微元法求功（見例5）

圖1

圖2

圖3

例3跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H=10m的跳臺(tái)自由落下。設(shè)運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量m=60kg，其體形可等效為一長(zhǎng)度L=1.0m，直徑d=0.30m的圓柱體。略去空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員入水后，水的等效阻力F作用于圓柱體的下端面。F的量值隨水的深度變化的函數(shù)曲線如圖4所示。該曲線可近似看作橢圓的一部分，該橢圓的長(zhǎng)、短軸分別與坐標(biāo)軸OY和OF重合。橢圓與Y軸相交于Y=h處，與F軸交于F=5mg/2處。為了確保運(yùn)動(dòng)員的安全，計(jì)算水池中水的深度h至少應(yīng)等于多少？（水的密度ρ=1.0×103kg/m3）