基于插值與降維方法的輸電塔線體系隨機脈動風場有效模擬

楊雄駿，黃金山，張建國，雷 鷹

(廈門大學 建筑與土木工程學院，福建 廈門 361005)

輸電導線在風致作用下將產(chǎn)生的低頻率、高振幅的振動，因此，風荷載是輸電塔線體系結構設計必須考慮的重要因素，而隨機脈動風場的模擬是輸電塔線體系抗風設計的首要任務[1]。關于風場模擬的維度，白海峰等[2]考慮輸電塔線體系結構特征與風場特性，將三維風場簡化為多個一維風場。沈國輝等[3]對比不同方法的計算一維風場的效率與結果，對不同計算方法的適用性進行了討論。樓文娟等[4]采用CFD 數(shù)值模擬與風洞試驗相結合研究山地風場特性對輸電線路風偏響應的影響。韓楓等[5]也對輸電塔線體系進行了三維多變量脈動風場模擬。

諧波疊加法是模擬脈動風速時程的傳統(tǒng)方法，該法雖有理論簡單清晰等優(yōu)點，但計算十分耗時，尤其是當需要模擬的點數(shù)較多時，效率變得更加低下[6-7]。在諧波疊加法中，Cholesky 分解與三角級數(shù)疊加將耗費大量的計算時間，因此減小二者的計算量十分重要。Yang[8]在模擬過程中引入快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)技術，提高了三角級數(shù)疊加的計算效率。Ding等[9]在互譜密度矩陣的 Cholesky 分解中引入三次 Lagrange 插值，減少了 Cholesky 分解的次數(shù)。羅俊杰等[10]采用三次均勻B樣條插值來擬合分解譜密度曲線。Tao等[11]引入Hermite插值建立的分解譜函數(shù)矩陣在全頻域內(nèi)的近似函數(shù)表達。

另一方面，諧波疊加法在本質(zhì)上屬于Monte Carlo模擬方法，而在Monte Carlo模擬方法中，處理高維的隨機變量一直是個難題。需要進行大量的隨機抽樣才能保證模擬的精度，但是數(shù)量巨大的樣本不僅增加了隨機模擬的計算量，更重要的是，結構動力響應的計算量也隨之大大增加。Chen等[12]提出隨機諧和函數(shù)表示方法，并對頻率選點進行了優(yōu)化。劉章軍等[13]通過引入隨機函數(shù)的約束條件，對脈動風場模擬的譜表示法降維處理。

目前對輸電塔-線系統(tǒng)風場模擬的研究中，較少考慮到橫風向與豎風向的脈動風的相關性，或未針對輸電塔-線系統(tǒng)結構特點對風場進行簡化，導致計算效率較低。此外，雖然插值方法在改進Cholesky 分解方面得到了廣泛的應用，但是未有將插值方法與脈動風場模擬降維方法相結合的研究。因此本文對于輸電塔，主要考慮其順風向與橫風向的脈動風，而且認為其兩個方向不存在相關性，將其簡化為一維多變量進行；而輸電導線需考慮橫風向與豎風向的脈動風，并認為兩者存在相關性。基于以上研究基礎，本文對輸電塔進行一維多變量脈動風場模擬，但對輸電線進行考慮二維多變量脈動風場的模擬，而且將改進Cholesky分解的Hermite插值和諧波表示法的降維處理技術相結合進行輸電塔線體系的脈動風場模擬，提出了一種較現(xiàn)有的輸電塔線體系脈動風場數(shù)值模擬方法更有效的模擬方法。

1 輸電塔線風場體系

在笛卡兒坐標系中空間P點t時刻的瞬時風速U(P,t)由平均風速和脈動風速組成,即

(1)

式中:u、v和w分別表示縱向、橫向和豎向風脈動分量；U(z)為縱向平均風速，用指數(shù)律分布表示為

(2)

式中:zs為離地參考高度；α為風速廓線指數(shù)。

如圖1所示的輸電塔-線系統(tǒng)中，輸電塔是垂直矗立的高聳結構，風場的垂向(Z方向)脈動能量較低，對輸電塔可忽略不計，主要分析其順風響應(X方向)與橫風響應(Y方向)；而輸電導線由于受到沿線路方向(Y方向)的約束作用，而只計縱向(X方向)及垂向(Z方向)脈動作用，且同時考慮這兩個方向的相關性，進行二維多變量脈動風場模擬。

圖1 輸電塔線體系示意圖Fig.1 Schematic of transmission tower-line system

由于輸電塔線體系具有高度高的結構特征，采用沿高度變化的風場功率譜密度函數(shù)比較符合工程實際。因此對縱向風速譜可采用的Kaimal譜，而對橫風向和豎風向均可采用Panofsky- Kaimal譜，其表達式分別如下[14]

(3)

(4)

(5)

式中：u*=KU(z)/ln(z/q0)為摩擦風速；q0為地面粗糙長度；K為Karman常數(shù)。

由實測數(shù)據(jù)可知，橫向脈動風速v(t)與縱向脈動風速u(t)及豎向脈動風速w(t)之間不存在相關性，但縱向脈動風速u(t)與豎向脈動風速w(t)之間具有相關性，因此引入縱向脈動風速u(t)與豎向脈動風速w(t)之間的交叉譜密度

(6)

綜上所述，對于輸電塔，可將風場簡化為兩個相互獨立的一維風速場(X方向與Y方向)；對于輸電線導線，則需要模擬一個X、Z方向相關的二維風速場。

2 輸電塔-線風場模擬方法

2.1 基于傳統(tǒng)諧波疊加法及Cholesky分解

2.1.1 輸電導線的風場模擬

一組有n個點的二維多變量的平穩(wěn)高斯隨機風場f(t)=[f1(t)f2(t) …fn(t)]T，節(jié)點的風速向量空間fj(t)=[uj(t)wj(t)]T。n個點的互功率譜密度矩陣S(ω)可以表示為

(7)

式中，考慮X、Z方向脈動風速相關，每個功率譜矩陣Sij(ω)為 2×2的子矩陣，Sij(ω)可以表示為

(8)

相干函數(shù)用來描述脈動風在空間上的相關性。采用Davenport相干函數(shù)表達式[15]

(9)

式中:r=x,y,z；s=u,v,w；zi、zj分別為離地高度；Crs為指數(shù)衰減系數(shù)。

S(ω)為半正定矩陣，進行Cholesky分解可得

S(ω)=H(ω)·H*T(ω)

(10)

式中，H*T(ω)為H(ω)的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。

S(ω)為實對稱矩陣，故H(ω)為實數(shù)矩陣。對某一頻率點ω的譜密度矩陣進行分解，可得

(11)

隨機過程fj(t)的樣本可由下式來模擬[16]

φ2m,l))

(12)

(13)

式中:N為頻率等分數(shù)，取為足夠大的正整數(shù)，一般取2的整數(shù)次冪;Δω=ωu/N為頻率增量；ωu為上界截止頻率，即當ω>ωu時S(ω)=0；φ為均勻分布于[0,2π]區(qū)間的隨機相位角。ωml為雙索引頻率，其表達式為

m=1,2，…，n；l=1,2，…，N

(14)

2.1.2 輸電塔的風場模擬

輸電塔的風場模擬的方法與上節(jié)輸電導線模擬風場方法類似，但縱向風場與橫向風場是分別獨立模擬。分解的譜密度矩陣S(ω)降為n階(輸電塔線風速譜密度矩陣為2n階)。以豎向風vj(t)(j=1,2,…,n)為例，對于一維n變量零均值的平穩(wěn)隨機過程vj(t)，同樣將其進行Cholesky分解

S(ω)=H(ω)·H*T(ω)

(15)

而隨機過程vj(t)的樣本可由下式來模擬

(16)

雖然運用FFT技術可以加快上述諧波疊加法中三角級數(shù)的疊加，然而在隨機過程的模擬中，仍需進行大量的Cholesky分解，尤其是對輸電導線的風場模擬，需考慮縱向脈動風與豎向脈動風的相關性，所以譜密度矩陣階數(shù)更大，Cholesky分解更加困難，使得風場模擬效率大大降低。由于Hermite插值函數(shù)具有較高的準確性，因此本文采用Hermite插值來減少諧波疊加法中Cholesky分解次數(shù),有效進行對輸電塔-導線系統(tǒng)風場的數(shù)值模擬。

2.2 基于Hermite插值改進Cholesky分解

對輸電導線或輸電塔的數(shù)值模擬，僅需在k個插值節(jié)點頻率及其鄰點處進行對互譜矩陣的 Cholesky 分解，而對其他頻率點的分解譜函數(shù)則采用Hermite插值擬合。這樣將傳統(tǒng)諧波合成法中的Cholesky分解次數(shù)由n×N次縮減為n×2k次(2k<

采用三階Hermite函數(shù)近似表達H矩陣，需要計算插值點處的函數(shù)值與其一階導數(shù)值。插值點處的一階導數(shù)值H′(ωi)，可利用插值點處的函數(shù)值與鄰近點ωi+Δω的差商近似。建立區(qū)間[ωi,ωi+1]內(nèi)的Hermite插值函數(shù)

a3(ω-ωi)2(ω-ωi+1)

(17)

a3=

(18)

將上述Hermite插值函數(shù)引入諧波疊加法，將顯著減少互譜密度矩陣S的Cholesky分解次數(shù)，插值間距可采用前密后疏指數(shù)分布的形式。

2.3 基于降維的風場譜表示法

要得到可以完備描述n×N維隨機變量空間概率信息的樣本集，需要從n×N維隨機變量空間中采樣足夠多的樣本點。顯然，隨機變量空間的維度決定了采樣點的數(shù)量。但是這里存在兩個問題，一是從高維空間中采樣出具有完備性的樣本集相當困難；二是采樣效率十分低下。本文采用一種降維方法，可以先在低維隨機空間中采樣一個完備樣本集，再用隨機函數(shù)映射到高維空間中去，從而達到在高維隨機空間中獲得完備樣本集的目的。

2.3.1 輸電塔線風場模擬的諧波疊加法的降維表示

將式(12)、(13)及(16)中的三角函數(shù)展開得

cos(ωmlt+φml)=

cos(ωmlt)cos(φml)-sin(ωmlt)sin(φml)

(19)

式(12)、(13)及(16)中的隨機變量φml并沒有獨立性的要求，它僅存在以下的約束關系[18-19]

E[cos(φml)]=0,E[sin(φml)]=0

(20a)

E[cos(φml)sin(φm′l′)]=0

(20b)

(20c)

l=1,2,…,nsel

(20d)

為此，可構造一個僅由兩個獨立的基本隨機變量表示所有φml并滿足式(20)的隨機函數(shù)映射

φml(Θ)=m×Θ1+l×Θ2

m=1,2,…,n;l=1,2,…,N

(21)

式中，Θ={Θ1,Θ2}為(0,2π)上均勻分布的獨立實值隨機變量。

由于隨機函數(shù)映射是確定性映射，為此通過隨機函數(shù)得到n×N個變量后，還需要隨機打亂其排列。這樣，每計算一個風場樣本均只需要首先從2維的隨機變量空間中采樣一個點{Θ1,Θ2}，然后通過式(22)的變換得到n×N個隨機變量，然后打亂排列，再代入式(12)～式(13)或式(16)即可得到一個風場樣本。可見，降維表示后，為得到完備的樣本集所需要的采樣空間維度將大大降低。

2.3.2 基本隨機變量的完備抽樣

為了獲得一個完備的樣本集，數(shù)論選點法[20]是一個很好的選擇。主要包括：

(1) 選一個合適的素數(shù)nsel作為樣本個數(shù)

(2) 計算nsel的一個原根a

(3) 計算整型向量h

h=([1,a])modnsel

(22)

(4) 計算最優(yōu)晶格點集

l=1,2,…,nsel

(23)

根據(jù)數(shù)論選點法得到樣本集具有完備性，且每個樣本的賦得概率均為1/nsel。由于φml與基本隨機變量之間存在確定性映射，所以模擬的風場樣本的完備性可以得到繼承，即風場樣本也是完備的，且各樣本的賦得概率也為1/nsel。完備的風場樣本集可用于風場隨機特性和結構可靠性方面的研究。

3 數(shù)值算例與分析

3.1 數(shù)值算例模型

為了驗證所提方法的準確性，進行圖2所示模型的風場模擬。輸電塔上模擬點位置取在豎向軸線上，每個塔模擬4個點，分別模擬X,Y兩個方向的風速，不考慮輸電塔之間相干性的影響。輸電線模擬點等間距布置，每層每跨均布4點，模擬X,Z方向的風速，考慮各點相干性影響。設計風速U(z10)=30 m/s，風速廓線指數(shù)α=0.16，Karman常數(shù)K=0.4，地面粗糙長度q0=0.01,上限截止頻率ωup=2π，頻率等分數(shù)N=1 024，M=2N，插值間距Δ=64Δω，時間間隔Δt=0.5 s。

3.2 模擬結果分析

圖2 輸電塔線體系示意圖 (m)Fig.2 Schematic of transmission tower-line system (m)

圖3 H矩陣元素插值精度對比Fig.3 Comparison of interpolation accuracy of H matrix elements

選取輸電塔第4點與輸電線第16點為例，進行統(tǒng)計分析。脈動風速時程曲線如圖4所示，模擬風場功率譜與目標功率譜如圖5所示，可以看出脈動風能量主要集中于低頻，且縱向風譜能量大于橫向風譜能量，橫向風譜能量大于豎向風譜能量，模擬出的縱向脈動風速也最大，橫向脈動風速次之，豎向脈動風速最小，模擬的脈動風的功率譜密度函數(shù)與目標值擬合較好。模擬風場互相關函數(shù)與目標相關函數(shù)如圖6所示。在時滯等于0時，相關性達到最大，且縱向風速的相關程度要大于橫向風速的相關程度。模擬的脈動風的互相關函數(shù)與目標值變化趨勢基本一致，都隨著時滯增大相關性迅速減小。對功率譜密度與相關函數(shù)的誤差進行定量分析，以功率譜密度為例，定義誤差如下

(a)

(a)

(a)

(24)

表1 樣本的功率譜相對誤差Tab.1 Comparisons of PSD relative errors

在降維處理方面，本文模擬樣本數(shù)選取為113，233，383。以樣本數(shù)113為例，其原根可取為33，由式(22)可知整型向量h=[1，33]，隨后基于式(23)可獲得113×2維的最優(yōu)晶格點集Θ(133)={Θ1,Θ2}(133)。將Θ(133)={Θ1,Θ2}(133)通過隨機函數(shù)式(22)變換得到4×1 024個變量后，并隨機打亂其排列得到所需完備的隨機變量φml(Θ)，最后將φml(Θ)代入譜表示式(16)即可得到模擬樣本。以第4點為例，表2為生成相同樣本數(shù)時傳統(tǒng)方法和采用插值與降維譜表示法的均值誤差及耗時的比較。計算機為：CPU是Intel i5-4 200 H@2.80 GHz、4 G內(nèi)存，采用MATLAB軟件編程。均值誤差定義如下

表2 不同數(shù)目樣本的均值相對誤差以及耗時比較Tab.2 Comparison of relative errors of mean and computation time of different numbers of samples

(25)

根據(jù)模擬結果的統(tǒng)計分析，其統(tǒng)計特征檢驗符合假定條件。并且和傳統(tǒng)譜表示法相比較，在生成相同數(shù)目樣本時，插值與降維譜表示法不僅可以達到更好的精度，同時耗時也明顯減少，表明所采用方法的合理性與高效性。

4 結 論

本文基于輸電塔線體系的結構特征和風場特性，對輸電塔與輸電線分別進行風場模擬。將輸電塔風場簡化為兩個獨立的一維風場，而對輸電線，引入縱向與豎向交叉譜的影響，模擬一個二維風場。由于傳統(tǒng)諧波疊加法中Cholesky需要較大計算量，根據(jù)函數(shù)曲線隨頻率的變化規(guī)律，采用Hermite插值來擬合Cholesky分解后譜密度曲線，從而提高計算效率。

進一步應用隨機函數(shù)的約束條件，將傳統(tǒng)的譜表示法中的隨機變量個數(shù)大大減少，實現(xiàn)隨機脈動風場的譜表示降維模擬，與傳統(tǒng)譜表示法相比，達到相同精度所需生成的代表性時程數(shù)量減少。

這樣，與目前相關的輸電塔線體系脈動風場數(shù)值模擬方法相比，本文提出了更高效的模擬方法。通過數(shù)值算例分析，表明了本文采用方法能快速準確地模擬出符合要求的多變量隨機脈動風場，可為輸電塔線體系動力響應分析提供基礎。