巧構(gòu)圖形，妙解之術(shù)

摘要：數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)的一種重要的解題方法，圖形的構(gòu)建可以使學(xué)生對較復(fù)雜的幾何題快速理解題意，清晰地找到解題的入手點和突破口。筆者在教學(xué)中不斷嘗試引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意巧構(gòu)圖形，使解題思路豁然開朗，突破常規(guī)的繁瑣的解題過程。此文結(jié)合我在教學(xué)中的實例加以探討，探究初中數(shù)學(xué)幾何題巧構(gòu)圖形的幾點小技巧及其意義。

關(guān)鍵詞：必要性 小技巧 意義 展望

初中數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)不僅要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的專有概念、掌握知識的內(nèi)涵、運用知識解決現(xiàn)實問題，而且它要求教師注重引導(dǎo)學(xué)生參與探究過程，激發(fā)學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生通過學(xué)習(xí)探究活動掌握雙基，形成技能。筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)：有些學(xué)生難以構(gòu)建簡潔明了、符合題意的圖形，以至碰到較抽象或較復(fù)雜的幾何題就放棄。長期以往，不僅教學(xué)效果極速下降，而且學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也會逐漸埋沒。因此，巧構(gòu)圖形是解決較復(fù)雜較抽象的幾何題教學(xué)的關(guān)鍵。

一、指導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形的必要性

由于學(xué)生的年齡特點和數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯抽象性決定著學(xué)生在根據(jù)題意構(gòu)建圖形的過程中存在一定的困難，以至學(xué)生難以構(gòu)建簡潔明了的圖形來快速理清題意。

（一）學(xué)生的年齡特征和知識水平?jīng)Q定必須注重引導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形

初中生大多處于13～16歲，他們已具備一定的探究的知識基礎(chǔ)，具有一定的轉(zhuǎn)化能力和化歸思想。由于學(xué)生處于初中的知識水平，他們探究的深度和理解題目的清晰度都較狹窄，以至所畫出的圖形有些繁瑣，理起思路來當(dāng)然就談不上快捷高效了。因此，引導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形是必要的。

（二）數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定必須注重引導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形

數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)特色處處盡顯“教是為了不教”的特點，課堂老師的點撥指導(dǎo)僅僅是為學(xué)生點明一種學(xué)習(xí)方法，達(dá)到去粗求精、去繁求簡、去假求真，使解題高效率，知識快消化，問題快解決。指導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形，讓學(xué)生學(xué)會自主構(gòu)建簡潔明了、準(zhǔn)確反映題意的圖形，掌握解題方法，達(dá)到“不教”的教學(xué)目的。

二、巧構(gòu)圖形的幾個技巧

技巧一：根據(jù)已有定理巧構(gòu)圖形

在求某些線段長度的數(shù)學(xué)幾何題里，應(yīng)該注重分析所有條件靠攏哪些已學(xué)的定理或公式，可以從這方面構(gòu)建圖形來理清解題思路。

如我在教學(xué)《圓》的垂徑定理后給學(xué)生出示下面一道題：

在⊙O中，⊙O的半徑為5cm，弦AB的長度為8cm，求圓心O到弦AB的距離。

題目一出示，學(xué)生馬上理會應(yīng)構(gòu)建圖形來理清題意，構(gòu)建出的圖形主要有以下幾種：

不難發(fā)現(xiàn)：構(gòu)建圖（1）、圖（2）的同學(xué)還得在已畫圖形的基礎(chǔ)上再添輔助線才能把問題的突破口找到，從深層考慮，我們可以發(fā)現(xiàn)：這些學(xué)生還沒真正理清所求問題與已學(xué)知識點的聯(lián)系。

由圖（3）分析得到：構(gòu)建此圖的步驟：①畫⊙O，畫弦AB;②畫圓心O到弦AB的距離OC;③連接弦AB的一個端點B與圓心O，形成半徑OB。這樣圖上馬上顯示了已學(xué)過的垂徑定理和勾股定理，圖形簡潔明了，解答起來自然就水到渠成了。

教完這道題后我深深反思：根據(jù)題意構(gòu)建幾何圖形不一定按題目所給條件的順序來畫圖，對于任意性的不知該擺何處才最恰當(dāng)?shù)臈l件不妨先擺后出示。如上圖的⊙O的半徑長為5cm，這個條件具有任意性，它可以在圖上任意畫一條半徑都符合題意。而對于圖（3），把這個任意性的條件在最后才出示，不僅使圖形簡潔明了，而且還使解題思路豁然開朗，達(dá)到事倍功半的教學(xué)效果。

技巧二：尋找與已知條件相同的隱性條件來巧構(gòu)圖形

有些數(shù)學(xué)題目所需的條件往往需要添加一兩個與已知條件相對應(yīng)的隱性條件才使題目解答起來簡潔明了。

技巧三：根據(jù)已知條件的特征靠攏所求的問題來巧構(gòu)圖形

如：如圖，A、B、C、D四點都在⊙O上，

AD是⊙O的直徑，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD ，

求弦AC的長。

在教學(xué)實踐中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生首先抓住“AD是⊙O的直徑”這個條件來構(gòu)建圖形，有以下兩種情況：

圖（1）與圖（2）都采用了“直徑所對的圓周角等于直角”這個性質(zhì)來構(gòu)建圖形。認(rèn)真觀察后不難發(fā)現(xiàn)：圖（1）構(gòu)建了一個△ABD與所求的線段AC無關(guān)，解答起來思路自然不夠清晰，解題當(dāng)然不夠簡潔。而在圖（2）中，連結(jié)CD后，發(fā)現(xiàn)構(gòu)建的△ACD包含所求的線段AC，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成求Rt△的一條邊長的問題了。

學(xué)生通過推導(dǎo)推理過程，進一步體會到根據(jù)題意構(gòu)建的圖形方式可能有多種情況，如果構(gòu)造的圖形能轉(zhuǎn)化成包含所求問題在內(nèi)的學(xué)生熟悉的圖形，應(yīng)當(dāng)先考慮。這樣，才能使考慮問題的范圍縮小，思路才能徹底清晰，解答起來自然水到渠成了。

技巧四：通過分割多邊形來巧構(gòu)圖形

三、巧構(gòu)圖形的意義

巧構(gòu)圖形可以提高教學(xué)質(zhì)量，是教師自身成長的催化劑，是完善教材的解題技巧的需要！

給學(xué)生一滴水，教師自己先得有一桶水。教師善于指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意巧構(gòu)簡潔明了的幾何圖形，正是數(shù)學(xué)教育工作者不斷走向成熟，教學(xué)水平不斷提高的重要體現(xiàn)。

步入二十一世紀(jì)的今天，科學(xué)技術(shù)不斷突飛猛進，社會競爭無處不在，處處要求高效率、高質(zhì)量的探究模式。在素質(zhì)教育新課堂里，也極需高效率、高質(zhì)量的學(xué)習(xí)模式。因此，善于引導(dǎo)學(xué)生巧構(gòu)圖形，正是為實現(xiàn)這一目標(biāo)而產(chǎn)生的一種解題技巧，是引領(lǐng)學(xué)生走向卓越的重要舉措！

廣東省清遠(yuǎn)市佛岡縣城東中學(xué) 肖偉英