借力多維探究助跑高三數學復習

摘 要：“一題多解”教學對提升數學核心素養，提升解題能力起到促進作用.“一題多解”教學是高三數學教學的重要組成部分，“一題多解”教學應該通過發現、分析、啟發、探究等課堂活動培養學生的思維方法 ，從而達到培育核心素養的目的.

關鍵詞：核心素養;一題多解;深度學習

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）36-0016-02

新課程標準強調高中數學教學要以培育數學核心素養為任務驅動，啟發學生思考，引導學生理解知識的本質和內在聯系，體現數學教育的功能.它引領著新課程改革以及教育教學方式改革.高三是學生最后沖刺備戰高考的重要階段.高三知識點多，綜合性強，題目變形紛繁復雜，解題方法千變萬化，對學生的思維要求很高.在高三的課堂教學中如何增效提質，如何讓核心素養落地決定高考的成敗.筆者發現“一題多解”教學對提升數學核心素養，提升解題能力起到促進作用.“一題多解”教學是高三數學教學的重要組成部分，“一題多解”教學應該通過發現、分析、啟發、探究等課堂活動培養學生的思維方法 ，從而達到培育核心素養的目的.

本文以高三教學中的兩道適合我校生情的試題為例，談談“一題多解”教學的實踐與探析

一、例題分析

1.用“一題多解”梳理整合知識，發散學生思維

例1 在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知csinB+C2=asinC.

（1）求角A;（2）若b=4，△ABC面積為33，D是BC上的點，AD平分∠BAC，求AD.

本題主要考查正弦定理、角平分線性質、三角形的面積公式和三角恒等變換等基礎知識.考察邏輯推理能力、運算求解能力等，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想等，體現基礎性和綜合性.有較大的研究空間和教學價值.第（1）小題：這是解三角形問題中常見的利用正弦定理邊化角問題.主要考查正弦定理，三角誘導公式，二倍角公式以及三角恒等變換.本題用三種方法解決問題，可以讓學生進一步熟悉邊角互化這個通法，同時引導學生回顧三角恒等變形需要儲備的知識，構建知識體系，訓練思維，培育素養.解法1把B+C轉化為π-A，進而轉化為關于角A的恒等變形.解法2中由sinB+C2=sinA引發的分類討論需要學生具有一定的邏輯推理能力，通過該題達到提升核心素養的效果.解法3思路基本和解法1一致，目標都是轉化成同角進行恒等變形，把角A轉化為B+C，通過求B+C間接求出角A.通過三種方法的解答實踐，優化解題過程，梳理、整合知識，培育邏輯推理和數學運算的素養.第（2）小題：本題主要關注∠BAC的角平分線的使用策略：解法1將大三角形拆分成2個小三角形，利用角平分線定義，根據面積關系建立等量關系.解法2仍然利用角平分線定義，將角C放在不同的三角形中通過兩次余弦定理，建立等量關系.解法3利用坐標法把點坐標全部表示出來，根據B，C，D三點共線，利用斜率公式建立等量關系.解法4著眼于角平分線重要性質得到對應線段成比例.進而通過基底法，把AD用AB與AC表示出來.利用向量的數量積的性質（a=a2）求向量的模長.坐標法中選用的是單位正交基底，運算相對簡潔.基底法中基向量更具一般性，適用范圍更廣.

通過本題讓學生感受解題方法的多樣性.教師以知識間的相互聯系引領學生思考，通過層層設問，激發學生自主探究的興趣，使學生的學習由表層走向深度.這有助于發展學生核心素養，培育學生的創新意識.

2.用“一題多解”優化解題過程，培養創新意識

例2 a，b，c為單位向量，a·b=0，求（a-c）·（b-c）的最小值.

解法1直接利用平面向量數量積運算律中的分配律展開，根據展開式把（a-c）·（b-c）的最小值轉化為求c與a+b數量積的最小值，再根據平面數量積的定義進一步轉化為求c與a+b夾角余弦的最小值，根據三角函數的有界性得出當夾角的余弦等于1時，所求最小.此法充分體現了化歸與轉化的思想，培養了學生邏輯推理的數學核心素養.坐標法是平面向量中的一種重要方法，可以把向量運算的問題轉化為函數與方程的問題.當條件給出兩個垂直的單位向量時，那么建立平面直角坐標系顯得合理科學，利用坐標法解決問題有時候會快速有效.方法2、3、4都是在坐標法的背景下將（a-c）·（b-c）轉化為含x，y二元變量的目標函數1-（x+y）.方法2利用基本不等式求x+y的最小值，方法3利用三角換元，則目標函數的最值問題就轉化為三角最值問題.方法4利用線性規劃，得到特殊位置相切時，目標函數取得最值.此法給代數賦予幾何直觀，通過數形結合的思想培育直觀想象的核心素養.

在《平面向量》的學習中，靈活掌握向量的三種轉化方法（向量法，坐標法，數形結合法）能起到事半功倍的作用.

二、感悟

1. “一題多解”是一個歸納總結，交流合作的過程數學解題活動的過程，本質就是學生思維活動的過程.在“一題多解”的課堂實踐中教師以知識為載體積極引導學生對問題展開分析，促進激發小組交流合作，比較各個方法優缺點，尋找最優解的過程.對于一個數學問題，從多角度探究，一題多解，一題多變，從通性通法到特殊技巧，從大膽猜測到小心求證，從嚴謹的邏輯推理到幾何直觀，方法多樣不唯一，不僅能夠發散學生的思維，培育思維的開闊性，還能有效發展學生的數學深度學習能力達到培育核心素養的目的.2. “一題多解”是一個追根溯源，自主探索的過程

在探究“一題多解”解決路徑的過程中，教學中一些重要的問題學生也漸漸明朗清晰起來：1）條件中關鍵詞的數學基本概念是什么;2）這類問題的基本解題策略，基本步驟是什么;3）有的方法可以直達，有的方法為什么堵死;4）如何根據自身學習特點找到最適合的思維方法;5）利用等價轉化的數學思想如何將復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化.

三、反思

1.“一題多解”教學要關注學生的差異性.

教師在“一題多解”教學中密切關注學生的差異性，不要讓這堂課成為少數優等生的課堂.讓每一個學生通過不同思維層次的問題都能夠積極參與到教學活動，提高教學實效性.例如，案例1的第二小題解法1和解法2比較基礎，大部分同學可以領悟.解法3由于對學生的數學運算能力有一定的要求，不需要所有同學都掌握.解法4向量基底法作為有效工具，往往可以快速解題，還是要求優等生、中等生掌握.這樣各個層次的學生都能各取所需.所以，“一題多解”教學要求老師要真正做到分層次教學.

2.“一題多解”教學要讓出獨立運算的體驗.

教師在“一題多解”教學中，每一個解法都要講清楚思路，但不止于此.如果學生沒有深入地將數學運算進行下去，就沒有獲得感.數學運算是重要的數學核心素養之一，好的數學運算能力不是靠教師“講出來”，而是靠學生獨立地“算出來”.所以教師必須留給學生足夠的時間獨立運算.當學生運算錯誤時，教師要耐心包容，鼓勵學生反復檢查，堅持算出最后結果.教師在運算技巧上也要給予一定的指導，這對于提升運算效率有大的幫助.因此，學生獲得獨立運算的體驗，對自身的數學運算核心素養有很大的提升.

3.“一題多解”教學要讓出自我反思，感悟提升的機會

“一題多解”不是教師“滿堂灌”，不是教師一個人的狂歡.在“一題多解”課堂，教師要引導學生對解題方法進行歸納和總結，引導學生思考探索的路徑和方向“這道題的題眼在哪里、解題策略是什么、怎么想到的、有沒有陷阱、處理哪類問題可以這么解決、會用到哪些數學思想方法”等，通過學生自我反思，會發現自己解題方法的局限性，進而感悟提升，采用更優解題方法，數學思維得到拓展升華.

總之，“一題多解”教學應該貫穿整個高三教學始終.作為一線教師，在平時的教學實踐中要善于觀察，勤于思考.多歸納，多總結，全面提高自己的業務能力，才能更好地開展“一題多解”教學.在平時教學實踐中要站在“立德樹人”的高度，不遺余力地踐行以培育核心素養為目標的教學理念，以達到更好地服務于學生終身發展地需要.

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者簡介：王妍（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.