基于斜率和（積）背景下的圓錐曲線定點問題求解新探

福建省永春第一中學 李金進

一、問題呈現

已知點A（2，1）是橢圓G：x2+4y2=8上的點，B，C是橢圓G上的兩點，設k1，k2分別是直線AB，AC的斜率，且滿足4k1·k2=1，試問：直線B，C是否過定點？如果過定點，求出定點坐標；如果不過定點，試說明理由。

分析：在圓錐曲線解答題中，常見這類以斜率的和或者斜率的積為背景探求直線過定點的問題。常規的處理方式為通過直線方程與曲線方程聯立，分別求出B，C兩點，再通過兩點式得到直線BC的方程，經過整理確定直線所過的定點，從而形成如下解法。

解法一：設直線AB，AC的方程分別為y-1=k1（x-2），y-1=k2（x-2）。

設點B（x1，y1），C（x2，y2），

聯立G：x2+4y2=8得（1+4k12）x2-（16k12-8k1）x+16k12-16k1-4=0，

所以直線BC恒過定點（0，0）。

相比解法一而言，解法二借助變換主元，也就是把常規變量x為變量的一元二次方程，轉化為以斜率k為變量的一元二次方程，通過韋達定理使計算量變小，達到比較理想的效果。

二、解后反思

1.常規方法

由韋達定理確定出兩個交點，再由兩點式求出直線方程，然后經過對式子的整理確定定點，想法自然，但計算量較大，不易完成。

2.變換主元

變換視角，以斜率k為主要變量，結合斜率的和（或者斜率的積）的樣式，借助韋達定理求定點，這樣的想法學生容易接受，計算量較小，計算的效率較高。

三、應用拓展

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB。

解：（1）過程省略。

（2）設過點M的直線方程為y=k（x-2）（易知斜率存在），

代入橢圓方程，消去y得x2+2k2（x-2）2-2=0，

按斜率k降冪整理可得2（x-2）2k2+x2-2=0，

設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2=0，

所以∠OMA=∠OMB。

題2 已知直線l過拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點，且垂直于拋物線的對稱軸，l與拋物線兩交點間的距離為2。

（1）求拋物線C的方程；

（2）若點P（2，2），過點（-2，4）的直線與拋物線C相交于A，B兩點，設直線PA與PB的斜率分別為k1和k2，求證：k1k2為定值，并求出此定值。

解：（1）過程省略，求得拋物線C的方程x2=2y。

（2）設過點P（2，2）的直線方程為y-2=k（x-2）（易知斜率存在），

代入拋物線C：x2=2y，消去x得（y-2）2+4k（y-2）+4k2=2k2y，

按斜率k降冪整理可得（4-2y）k2+4（y-2）k+（y-2）2=0，

又因為直線AB過點（-2，4），不過點P，所以y=4。

所以k1k2=-1（定值）。

圓錐曲線解答題是高考必考題型，而定點問題又是圓錐曲線解答題中的常考考點，本文通過對原本方法的改進，提供了一個嶄新的思路，對學生更快速、高效地解決此類問題提供了一種借鑒與參考，也希望借此拋磚引玉，讓學生通過對這些問題的思考獲得解決此類問題的一般方案，培養其創新意識，提升其探索精神， 從而提高解決此類問題的能力。